李雅普诺夫函数（Lyapunov function）

李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是分析动态系统稳定性的一种工具。其核心思想是：如果你能给系统状态找一个“能量”或“势能”函数 $V(x)$，满足

1. 正定性
   $$V(0)=0,V(x)>0(\forall x\ne 0),$$
   通常还要求随着 $\Vert x\Vert \to \infty$，$V(x)\to \infty$（称为“趋外性”或“去势性”），保证它能覆盖任意大范围的状态。

2. 导数（或增量）符号

   • 对于连续时间系统 $\dot{x}=f(x)$，要求沿系统轨迹的时间导数
     $$\dot{V}(x)=\frac{\partial V}{\partial x}f(x)\le 0(\forall x),$$
     若进一步有 $\dot{V}(x)<0$（对 $x\ne 0$），则能证明系统关于平衡点 $x=0$ 渐近稳定。若仅 $\dot{V}(x)\le 0$，则可证明李雅普诺夫稳定（Lyapunov stability）。
   • 对于离散时间系统 $x_{k+1}=f(x_k)$，则要求增量
     $$\Delta V(x_k)=V(f(x_k))-V(x_k)\le 0.$$

有了这样的 $V(x)$，你就可以不用求解系统方程，也能判断平衡点稳定性：

• 李雅普诺夫稳定（或称小范围内不发散）：只要 $\dot{V}\le 0$ 且 $V$ 正定，就能保证系统状态不会跑得越来越远。
• 渐近稳定：若 $\dot{V}<0$（或 $\Delta V<0$）严格成立，则状态不仅不发散，还会逐渐趋向平衡点。
• 如果能找到使 $\dot{V}\le -W(x)$（$W$ 为正定函数），则系统是指数稳定，收敛速度可被估计。

一个最常见的例子

对线性连续系统
$$\dot{x}=Ax,$$
如果存在对称正定矩阵 $P$ 使得李雅普诺夫方程
$$A^{\mathrm{T}}P+PA=-Q$$
中 $Q$ 也是对称正定的，那么取
$$V(x)=x^{\mathrm{T}}Px$$
就满足
$$\dot{V}=x^{\mathrm{T}}(A^{\mathrm{T}}P+PA)x=-x^{\mathrm{T}}Qx<0(x\ne 0),$$
从而证明系统关于零点渐近稳定。

小结

• 李雅普诺夫函数是一个“能量”量度，帮助我们判断平衡点是否稳定。
• 关键在于检查 $V(x)$ 的正定性和它随系统演化时的变化符号。
• 只要找到了合适的 $V$，就能避免直接解系统微分／差分方程，也能得到全局或局部稳定性结论。