8.2 线性变换的矩阵

一、线性变换的矩阵

本节将对每个线性变换 $T$ 都指定一个矩阵 $A$. 对于一般的列向量，输入 $\mathbf{v}$ 在空间 $\text{V}={\text{R}}^n$ 中，输出 $T(\mathbf{v})$ 在空间 $\text{W}={\text{R}}^m$ 中，则这个变换的矩阵 $A$ 即是 $m\times n$ 的，我们在 $\text{V}$ 和 $\text{W}$ 中基向量的选取将决定 $A$.
${\text{R}}^n$ 和 ${\text{R}}^m$ 中的标准基向量是 $I$ 的列向量，这种选择可以得到一个标准矩阵，就是通常情况下的 $T(\mathbf{v})=A\mathbf{v}$. 但是这些空间也有其它的基，所以同样的变换 $T$ 还可以用其它的矩阵表示。线性代数的主要研究目的之一就是选择出线性变换 $T$ 的最佳矩阵（对角矩阵）。
所有的向量空间 $\text{V}$ 和 $\text{W}$ 都有基，选择每一种基都会得到 $T$ 的一个矩阵，当输入基和输出基不相等时，$T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$ 的矩阵就不再是单位矩阵 $I$，而是 “基变换矩阵（change of basis matrix）”. 以下是核心思想：

假设我们已知输入基向量 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$ 的变换 $T({\mathbf{v}}_1),T({\mathbf{v}}_2),\cdots ,T({\mathbf{v}}_n)$.
则这个矩阵 $A$ 的第 $1$ 列到第 $n$ 列是这些输出 $T({\mathbf{v}}_1),T({\mathbf{v}}_2),\cdots ,T({\mathbf{v}}_n)$. 此处输出基向量是标准正交基向量。
$A左乘\mathbf{c}=矩阵左乘向量=A的n个列向量的线性组合$.
$A\mathbf{c}$ 就是线性组合 $c_{1}T({\mathbf{v}}_1)+c_{2}T({\mathbf{v}}_2)+\cdots +c_{n}T({\mathbf{v}}_n)=T(\mathbf{v})$.

原因： 每个 $\mathbf{v}$ 都是基向量 ${\mathbf{v}}_j$ 唯一的线性组合 $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n$，由于 $T$ 是线性变换，$T(\mathbf{v})$ 一定是输出向量 $T({\mathbf{v}}_j)$ 相同的线性组合 $c_{1}T({\mathbf{v}}_1)+c_{2}T({\mathbf{v}}_2)+\cdots +c_{n}T({\mathbf{v}}_n)$.
例1 中给出的矩阵 $A$ 选择的是 ${\text{R}}^2$ 和 ${\text{R}}^3$ 空间中的标准基向量。

【例1】假设变换 $T$ 将基向量 ${\mathbf{v}}_1=(1,0)$ 变换为 $T({\mathbf{v}}_1)=(2,3,4)$，将第二个基向量 ${\mathbf{v}}_2=(0,1)$ 变换为 $T({\mathbf{v}}_2)=(5,5,5)$. 如果 $T$ 是 ${\text{R}}^2$ 到 ${\text{R}}^3$ 的线性变换，则这个 “标准矩阵” 是 $3\times 2$ 的。输出向量 $T({\mathbf{v}}_1)$ 和 $T({\mathbf{v}}_2)$ 是 $A$ 的列向量：$$A=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 5\\ 4& 5\end{array}\right]c_1=1且c_2=1得到T({\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2)=\left[\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 5\\ 4& 5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}7\\ 8\\ 9\end{array}\right]$$

二、基的变换

【例2】假设输入空间 $\text{V}={\text{R}}^2$ 也是输出空间 $\text{W}={\text{R}}^2$，$T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$ 是恒等变换（identity transformation），此时我们可能会认为变换矩阵就是单位矩阵 $I$，但是这只有在输入基和输出基相同的情况下才会出现。下面会选择不同的基以演示矩阵是如何构造的。
对于这种特殊情况 $T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$，这里用矩阵 $B$ 来替代 $A$，我们要将基 ${\mathbf{v}}_i$ 变换为基 ${\mathbf{w}}_i$，每个 ${\mathbf{v}}_i$ 均为 ${\mathbf{w}}_1$ 和 ${\mathbf{w}}_2$ 的线性组合。$$\begin{array}{lccc}输入基\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 3& 8\end{array}\right]& 输出基\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right]& 基的变换& \begin{array}{c}{\mathbf{v}}_1=1{\mathbf{w}}_1+1{\mathbf{w}}_2\\ {\mathbf{v}}_2=2{\mathbf{w}}_1+3{\mathbf{w}}_2\end{array}\end{array}$$请注意！这里将输入基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 用输出基 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2$ 来表示，这是因为按照定义，恒等变换 $T$ 作用于每个输出基向量：$T({\mathbf{v}}_1)={\mathbf{v}}_1,T({\mathbf{v}}_2)={\mathbf{v}}_2$，则这里我们将输出向量 ${\mathbf{v}}_1$ 和 ${\mathbf{v}}_2$ 用输出基 ${\mathbf{w}}_1$ 和 ${\mathbf{w}}_2$ 来表示。这些加粗的数字 $1,1$ 和 $2,3$ 给出了矩阵 $B$（基的变换矩阵 the change of basis matrix）的第一列和第二列：$WB=V$，所以 $B=W^{-1}V$.$$\begin{array}{lccc}基变换矩阵B& \left[\begin{array}{cc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}B\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2\end{array}\right]& 就是& \left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 3& 8\end{array}\right]\end{array}(\mathrm{8.2.1})$$

$$\begin{array}{l}当输入基是矩阵\text{V}的列向量，输出基是矩阵\text{W}的列向量时，T(\mathbf{v})=\mathbf{v}的基变换矩阵是B=W^{-1}V\end{array}$$

关键点： 理解 $B=W^{-1}V$ 的简单方法：假设同一个向量 $\mathbf{u}$ 分别由输入基 ${\mathbf{v}}_i$ 和 输出基 ${\mathbf{w}}_j$ 来表示，有下面三种方法：$$\begin{array}{lc}\mathbf{u}=c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n& \\ \mathbf{u}=d_1{\mathbf{w}}_1+d_2{\mathbf{w}}_2+\cdots +d_n{\mathbf{w}}_n& \end{array}即\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{v}}_1& {\mathbf{v}}_2& \cdots & {\mathbf{v}}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ ⋮\\ c_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2& \cdots & {\mathbf{w}}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ ⋮\\ d_n\end{array}\right]和Vc=Wd$$新基 ${\mathbf{w}}_j$ 的系数 $d$ 是 $d=W^{-1}Vc$，则 $B=W^{-1}V.(\mathrm{8.2.2})$
公式 $B=W^{-1}V$ 给出一个有趣的现象：当标准基 $V=I$ 变成一个不同的基 $W$ 时，基变换矩阵是不是 $W$ 而是 $B=W^{-1}V$. 大的基向量有小的系数！标准基向量 $\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$ 在 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2$ 的这组基向量情况下的系数是 ${\left[\begin{array}{cc}{\mathbf{w}}_1& {\mathbf{w}}_2\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$.

三、变换矩阵的构造

下面我们构造任意一个线性变换的矩阵。假设 $T$ 将 $n$ 维的空间 $\text{V}$ 变换成 $m$ 维的空间 $\text{W}$，我们在空间 $\text{V}$ 中选择一组基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$，在空间 $\text{W}$ 中选择一组基 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\cdots ,{\mathbf{w}}_n$，则变换矩阵 $A$ 是 $m\times n$ 的。为了求得 $A$ 的第一列，将 $T$ 作用于第一个基向量 ${\mathbf{v}}_1$，则输出 $T({\mathbf{v}}_1)$ 在空间 $\text{W}$ 中。

$$T({\mathbf{v}}_1)是空间\text{W}输出基的一种线性组合a_{11}{\mathbf{w}}_1+a_{21}{\mathbf{w}}_2+\cdots +a_{m1}{\mathbf{w}}_m$$

$a_{11},a_{21},\cdots ,a_{m1}$ 这些数是 $A$ 的第一列，将 ${\mathbf{v}}_1$ 变换为 $T({\mathbf{v}}_1)$ 对应 $A$ 左乘 $(1,0,\cdots ,0)$，这给出了变换矩阵 $A$ 的第一列。当 $T$ 是求导且第一个基向量是 $1$ 时，它的导数是 $T({\mathbf{v}}_1)=0$，所以下面的导数矩阵中，第一列全为零。

【例3】$T$ 是求导运算：$T(\mathbf{v})=\frac{\text{d}v}{\text{d}x}$，此时矩阵 $A$ 是 “求导矩阵（derivate matrix）”，输入基 ${\mathbf{v}}_i$ 是 $1,x,x^2,x^3$，输出基 ${\mathbf{w}}_j$ 是 $1,x,x^2$：$$\begin{array}{l}如果\mathbf{v}=c_1+c_{2}x+c_3{x}^2+c_4{x}^3\\ 则\frac{d\mathbf{v}}{\text{d}x}=1c_2+2c_{3}x+3c_4{x}^2\end{array}A\mathbf{c}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\\ c_3\\ c_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{c}_2\\ 2c_3\\ 3c_4\end{array}\right]$$

$关键准则:A的第j列是变换T作用在第j个基向量{\mathbf{v}}_j所得$
$$T({\mathbf{v}}_j)=a_{1j}{\mathbf{w}}_1+a_{2j}{\mathbf{w}}_2+\cdots +a_{mj}{\mathbf{w}}_m是输出基向量的线性组合(\mathrm{8.2.3})$$

这些数字 $a_{ij}$ 构成了变换矩阵 $A$. 变换矩阵可以直接得到基向量的像（basis vectors right），然后线性性质得到所有向量的像。任意向量 $\mathbf{v}$ 都可以写成线性组合 $c_1{\mathbf{v}}_1+c_2{\mathbf{v}}_2+\cdots +c_n{\mathbf{v}}_n$，$T(\mathbf{v})$ 是基向量 ${\mathbf{w}}_j$ 的一种线性组合。当 $A$ 左乘 $\mathbf{v}$ 的组合系数向量 $\mathbf{c}=(c_1,c_2,\cdots ,c_n)$，$A\mathbf{c}$ 得到 $T(\mathbf{v})$ 关于输出基向量的组合系数。这是因为矩阵乘法（列向量的线性组合）和 $T$ 一样是线性的。
矩阵 $A$ 告诉了我们线性变换 $T$ 做了什么，每一个从 $\text{V}$ 到 $\text{W}$ 的线性变换都可以用一个矩阵来表示，这个矩阵取决于基的选择。

【例4】对于积分 $T^{+}(\mathbf{v})$，第一个基函数也是 $1$，它的积分是第二个基函数 $x$，所以 “积分矩阵（integral matrix）” $A^{+}$ 的第一列是 $(0,1,0,0)$$$\begin{array}{l}{d}_1+d_{2}x+d_3{x}^2的积分是\\ d_{1}x+\frac{1}{2}{d}_2{x}^2+\frac{1}{3}{d}_3{x}^3\end{array}{A}^{+}\mathbf{d}=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& \frac{1}{2}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{d}_1\\ d_2\\ d_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ d_1\\ \frac{1}{2}{d}_2\\ \frac{1}{3}{d}_3\end{array}\right]$$如果对一个函数先积分再求导，将得到原函数，因此，$A{A}^{+}=I$. 但是如果是先求导再积分，则常数项会消失，因此 $A^{+}A$ 不是 $I$. 对 $1$ 先求导再积分的结果是零：$$T^{+}T(1)=零函数的积分=0$$这和 $A^{+}A$ 是相符的，其第一列都是零。求导变换 $T$ 有一个核（常数函数），它的矩阵 $A$ 有一个零空间。再次出现的主要思想：$A\mathbf{v}$ 表示 $T(\mathbf{v})$ 的结果。
求导和积分的例子有三个重要的点：第一，线性变换 $T$ 无处不在，例如在微积分、微分方程和线性代数中；第二，与 ${\text{R}}^n$ 不同的空间很重要，输入空间 $\text{V}$ 和输出空间 $\text{W}$ 都可以是函数空间；第三，如果我们先求导再积分，我们可以将它们的矩阵乘起来 $A^{+}A$ 后计算。

四、矩阵乘积 AB 对应于变换 TS

下面是一些重要内容 —— 矩阵乘法规则的真正原因。两个线性变换 $T$ 和 $S$ 的矩阵分别是 $A$ 和 $B$，现在比较 $TS$ 和乘积 $AB$：
当将变换 $T$ 作用于 $S$ 的输出时，由以下规则得到 $TS$：$$(TS)(\mathbf{u})定义为T(S(\mathbf{u})),输出S(\mathbf{u})成了T的输入.$$ 将矩阵 $A$ 作用于 $B$ 的输出时，由以下规则得到乘积 $AB$：$$(AB)(\mathbf{x})定义为A(B(\mathbf{x})),输出B\mathbf{x}成了A的输入.$$$$矩阵乘法规则得到的矩阵AB是变换TS的矩阵.$$变换 $S$ 是从空间 $\text{U}$ 到空间 $\text{V}$，它的矩阵使用了空间 $\text{U}$ 的基 ${\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,\cdots ,{\mathbf{u}}_p$ 和空间 $\text{V}$ 的基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$，这个矩阵是 $n\times p$ 的。变换 $T$ 是从空间 $\text{V}$ 到空间 $\text{W}$，它的变换矩阵一定要使用空间 $\text{V}$ 的同一组基 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$，$\text{V}$ 是 $S$ 的输出空间也是 $T$ 的输入空间。此时矩阵 $AB$ 对应于变换 $TS$.

乘法： 线性变换 $TS$ 将 $\text{U}$ 中的任一向量变换到 $\text{V}$ 中的 $S(\mathbf{u})$，再变换到 $\text{W}$ 中的 $T(S(\mathbf{u}))$. 矩阵 $AB$ 作用于 ${\text{R}}^p$ 空间中的任一向量 $\mathbf{x}$，先得到 ${\text{R}}^n$ 中的 $B\mathbf{x}$，然后得到 ${\text{R}}^m$ 中的 $AB\mathbf{x}$. 矩阵 $AB$ 就是变换 $TS$ 的矩阵：$$TS：\text{U}\to \text{V}\to \text{W}AB：(m\times n)(n\times p)=(m\times p)$$

输入是 $\mathbf{u}=x_1{\mathbf{u}}_1+x_2{\mathbf{u}}_2+\cdots +x_p{\mathbf{u}}_p$，输出 $T(S(\mathbf{u}))$ 对应于输出 $AB\mathbf{x}$. 变换 $TS$ 的复合对应于矩阵的乘积 $AB$.
最重要的情况是空间 $\text{U,V,W}$ 均相同且均选择相同的基，当 $m=n=p$ 时，则变换矩阵均为方阵，所以可以相乘。

【例5】$S$ 将平面逆时针旋转 $\theta$，$T$ 也是逆时针旋转 $\theta$，则 $TS$ 逆时针旋转 $2\theta$，变换 $T^2$ 的对应旋转矩阵 $A^2$ 也是逆时针旋转 $2\theta$：$$T=SA=B{T}^2是逆时针旋转2\theta A^2=\left[\begin{array}{cc}\cos 2\theta & -\sin 2\theta \\ \sin 2\theta & \cos 2\theta \end{array}\right](\mathrm{8.2.4})$$通过对比变换的平方 $T^2$ 和它们矩阵的平方 $A^2$，我们可以得到 $\cos 2\theta$ 和 $\sin 2\theta$ 的公式。$A$ 乘 $A$：$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta & -2\sin \theta \cos \theta \\ 2\sin \theta \cos \theta & {\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta \end{array}\right](\mathrm{8.4.5})$$比较（8.2.4）和（8.2.5）可以得到 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 和 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$. 三角公式（至少是倍角公式）可由线性代数得到。

【例6】$S$ 逆时针选择角度 $\theta$，$T$ 逆时针选择角度 $-\theta$，则由 $TS=I$ 可以得到 $AB=I$. 该情形下 $T(S(\mathbf{u}))$ 就是 $\mathbf{u}$，旋转后又旋转回来了。相应的矩阵表示，$AB\mathbf{x}$ 一定就是 $\mathbf{x}$，这两个矩阵互为逆矩阵。将 $\cos (-\theta )=\cos \theta$ 和 $\sin (-\theta )=-\sin \theta$ 代入旋转矩阵 $A$ 中即可验证：$$AB=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta & 0\\ 0& {\cos }^{\theta }+{\sin }^2\theta \end{array}\right]=I$$

五、选择最佳基

下面是本节的最后一部分：选择最佳基使得变换矩阵为对角矩阵。使用标准基（$I$ 的列向量）时，变换 $T$ 的矩阵 $A$ 可能不是对角矩阵；当使用不同的基时，同样的变换 $T$ 会由不同的矩阵表示。选择基向量时，两个很好的选择是特征向量和奇异向量：$$\begin{array}{l}特征向量如果变换T将{\text{R}}^n映射到{\text{R}}^n，则它的矩阵A是个方阵。但是使用标准基时，矩阵A可能不是对角的。\\ 如果A有n个线性无关的特征向量，选择它们作为输入和输出基，使用这组“好基”时，T的变换矩阵为\Lambda ，其对\\ 角元素是A的特征值。\end{array}$$【例7】投影矩阵 $T$ 将 ${\text{R}}^2$ 中的每个向量 $\mathbf{v}=(x,y)$ 投影到直线 $y=-x$ 上。若使用标准基，${\mathbf{v}}_1=(1,0)$ 的投影为 $T({\mathbf{v}}_1)=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$；${\mathbf{v}}_2=(0,1)$ 的投影为 $T({\mathbf{v}}_2)=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，这些投影构成了 $A$ 的列：$$\begin{array}{l}标准基下的\\ 投影矩阵是\\ 非对角矩阵\end{array}A=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right]有A^T=A且A^2=A$$下面是关于选取特征向量作为基向量的情况，可以对角化变换矩阵！
当基向量是原变换矩阵 $A$ 的特征向量时，变换矩阵将变为对角矩阵。$$\begin{array}{l}{\mathbf{v}}_1={\mathbf{w}}_1=(1,-1)投影到自身：T({\mathbf{v}}_1)={\mathbf{v}}_1，对应{\lambda }_1=1\\ {\mathbf{v}}_2={\mathbf{w}}_2=(1,1)投影到零向量：T({\mathbf{v}}_2)=0，对应{\lambda }_2=0\end{array}$$$$\begin{array}{l}特征向量基\\ 对应对角矩阵\end{array}新的变换矩阵是\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\lambda }_1& 0\\ 0& {\lambda }_2\end{array}\right]=\Lambda (\mathrm{8.2.6})$$特征向量是完美的基向量，它们给出特征值矩阵 $\Lambda$.
当输入基和输出基相同但并不一定是特征向量时会怎样的？将这些基向量 ${\mathbf{b}}_i$ 作为 $B$ 的列，则基变换矩阵（从标准基到新基）是 $B_{\text{in}}=B$，$B_{\text{out}}=B^{-1}$，$T$ 新的变换矩阵和 $A$ 相似：

新基 ${\mathbf{b}}_i$ 的变换矩阵 $A_{\text{new}}=B^{-1}AB$ 与标准基的变换矩阵 $A$ 相似：$$A_{{\mathbf{b}}_i到{\mathbf{b}}_i}=B_{标准基到{\mathbf{b}}_i}^{-1}{A}_{标准基}{B}_{{\mathbf{b}}_i到标准基}(\mathrm{8.2.7})$$

原因： 设标准基下的坐标向量为 $\mathbf{v}$，变换矩阵是 $A$。新基矩阵为 $B$，新的变换矩阵是 $A_{\text{new}}$. $\mathbf{v}$ 在新基的坐标可以由 $\mathbf{v}=B\mathbf{x}$ 求得，即新基下的坐标向量 $\mathbf{x}=B^{-1}\mathbf{v}$，其中 $B^{-1}$ 即为基变换矩阵。经变换 $T$ 作用后的坐标为 $A_{\text{new}}\mathbf{x}=A_{\text{new}}{B}^{-1}\mathbf{v}$。而 $\mathbf{v}$ 在标准基下经过 $T$ 变换后为 $A\mathbf{v}$，将其转换为新基的坐标即为 $B^{-1}A\mathbf{v}$，这两者应相等，即 $A_{\text{new}}{B}^{-1}\mathbf{v}=B^{-1}A$，即可求得 $A_{\text{new}}=B^{-1}AB$！
这里也可以通过变换的乘积法则理解：对于变换 $ITI$，$I$ 是恒等变换，它们的矩阵分别是 $B^{-1},A,B$. 矩阵 $B$ 是由标准基下的输入向量 ${\mathbf{b}}_i$ 组成。将其理解成左乘，即先是基变换矩阵由新基到标准基 $B$，然后在标准基下进行变换得 $AB$，最后再变换为新基即得到 $B^{-1}AB$.
最后考虑 $V$ 和 $W$ 是不同的空间情形，此时有不同的基 ${\mathbf{v}}_i$ 和 ${\mathbf{w}}_j$. 当我们选定基后且给出变换 $T$，我们可以得到一个矩阵 $A$，此时 $A$ 可能不是对称的，甚至可能不是方阵，但是我们总可以选择出基 ${\mathbf{v}}_i$ 和 ${\mathbf{w}}_j$ 使得这个矩阵是对角矩阵。这个矩阵就是奇异值分解 $A=U\Sigma V^T$ 中的奇异值矩阵 $\Sigma =\text{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_r)$，其中 $\text{diag}({\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_r)$ 是 MATLAB 中的函数，表示对角元素是 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,\cdots ,{\sigma }_r$ 的对角矩阵。$$\begin{array}{l}奇异向量\text{SVD}给出了U^{-1}AV=\Sigma ，右奇异值向量{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n是输入基，左奇异值向量{\mathbf{u}}_1,{\mathbf{u}}_2,\cdots ,{\mathbf{u}}_m\\ 是输出基。由矩阵的乘法法则，在这些新基下的同样的变换矩阵为B_{\text{out}}^{-1}A{B}_{\text{in}}=U^{-1}AV=\Sigma .\end{array}$$这里就不能称 $\Sigma$ 和 $A$ “相似” 了。现在是有两个基，输入基和输出基，它们都是标准正交基所以保持了向量的长度。这里我们可以称 $\Sigma$ 和 $A$ 是 “等距的（isometric）”。$$定义如果Q_1和Q_2均为正交矩阵，则C=Q_1^{-1}A{Q}_2与A等距.$$【例8】为了构造变换 $T=\frac{\text{d}}{\text{d}x}$ 的矩阵 $A$，我们选择了输入基 $1,x,x^2,x^3$ 和输出基 $1,x,x^2$，矩阵 $A$ 很简单但可惜的是它并不是对角矩阵。但是我们可以取每组基的反序。
现在输入基是 $x^3,x^2,x,1$，输出基是 $x^2,x,1$，基变换矩阵 $B_{\text{in}}$ 和 $B_{\text{out}}$ 是置换矩阵。$T(\mathbf{u})=\frac{\text{d}\mathbf{u}}{\text{d}x}$ 在新基下的变换矩阵是对角奇异值矩阵 $B_{\text{out}}^{-1}A{B}_{\text{in}}=\Sigma$，且奇异值 ${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3=3,2,1$：$$B_{\text{out}}^{-1}A{B}_{\text{in}}=\left[\begin{array}{ccc}& & 1\\ & 1& \\ 1& & \end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}& & & 1\\ & & 1& \\ & 1& & \\ 1& & & \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right](\mathrm{8.2.8})$$从上式可以看到 $x^3$

六、主要内容总结

1. 如果我们已知一组基的线性变换 $T({\mathbf{v}}_1),T({\mathbf{v}}_2),\cdots ,T({\mathbf{v}}_n)$，那么线性性质将会决定其它所有的变换 $T(\mathbf{v})$.
2. 线性变换 $T$ 的输入基是 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\cdots ,{\mathbf{v}}_n$，输出基是 ${\mathbf{w}}_1,{\mathbf{w}}_2,\cdots ,{\mathbf{w}}_m$，则存在 $m\times n$ 的矩阵 $A$ 来表示这个线性变换。
3. 基变换矩阵 $B=W^{-1}V=B_{\text{out}}^{-1}{B}_{\text{in}}$ 表示恒等变换 $T(\mathbf{v})=\mathbf{v}$.
4. 如果矩阵 $A$ 和 $B$ 分别表示变换 $T$ 和 $S$，并且 $S$ 的输出基是 $T$ 的输入基，则矩阵 $AB$ 表示变换 $T(S(\mathbf{u}))$.
5. 最佳的输入-输出基是 $A$ 特征向量或奇异向量，且$$B^{-1}AB=\Lambda =特征值矩阵B_{\text{out}}^{-1}A{B}_{\text{in}}=\Sigma =奇异值矩阵$$

七、例题

【例9】$2\times 2$ 的矩阵空间有下面四个 “向量” 作为一组基：$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{v}}_2=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]{\mathbf{v}}_3=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right]{\mathbf{v}}_4=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$线性变换 $T$ 是转置每个 $2\times 2$ 的矩阵，那么在这组基下表示变换 $T$ 的矩阵 $A$ 是什么（输入基 = 输出基）？逆矩阵 $A^{-1}$ 是什么？转置变换的逆变换 $T^{-1}$ 是什么？
解： 转置这四个 “基矩阵” 仅仅是交换 ${\mathbf{v}}_2$ 和 ${\mathbf{v}}_3$：$$\begin{array}{l}T({\mathbf{v}}_1)={\mathbf{v}}_1\\ T({\mathbf{v}}_2)={\mathbf{v}}_3\\ T({\mathbf{v}}_3)={\mathbf{v}}_2\\ T({\mathbf{v}}_4)={\mathbf{v}}_4\end{array}给出了变换矩阵的四列A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$逆矩阵 $A^{-1}$ 和 $A$ 相同，逆变换 $T^{-1}$ 和 $T$ 相同。如果我们转置两次，最终得到的矩阵和原始矩阵相同。
注意 $2\times 2$ 的矩阵空间是 $4$ 维的，所以矩阵 $A$（转置变换 $T$ 的变换矩阵）是 $4\times 4$ 的，$A$ 的零空间是 $Z$，$T$ 的核是零矩阵 —— 转置后为零矩阵的只有零矩阵。$A$ 的特征值是 $1,1,1,-1$.
对应特征值 $\lambda =-1$，即满足 $T(A)=A^T=-A$ 的 “矩阵直线” 是什么？反对称矩阵！