求解线性系统特征及通解

题目

求系统 $$U_u+A{U}_x=0$$ 的特征并写出通解，其中矩阵 $$A$$ 如下：

$$A_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right),A_2=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),$$

$$A_3=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),A_4=\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right),$$

$$A_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 0& 3\\ 2& 3& 0\end{array}\right).$$

解答

系统为 $$\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial u}+A\frac{\partial \mathbf{U}}{\partial x}=0$$，其中 $$\mathbf{U}=(u_1,u_2,u_3{)}^T$$ 是向量函数，$$u$$ 和 $$x$$ 是自变量。

• 特征：指矩阵 $$A$$ 的特征值 $$\lambda$$，它们决定了特征曲线的方向。特征曲线由方程 $$x-\lambda u=\text{常数}$$ 给出。
• 通解：通过求解特征值问题和对角化（或类似方法）得到。通解形式为 $$\mathbf{U}(u,x)=\sum _k{f}_k(x-{\lambda }_{k}u){\mathbf{v}}_k$$，其中 $${\lambda }_k$$ 是特征值，$${\mathbf{v}}_k$$ 是相应的特征向量，$$f_k$$ 是任意可微函数。

下面针对每个矩阵 $$A$$ 求解特征值并写出通解。

1. 对于 $$A_1=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=3$$, $${\lambda }_2=2$$, $${\lambda }_3=1$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=2$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=1$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x-3u)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+f_2(x-2u)\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+f_3(x-u)\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 2\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=f_1(x-3u)-2f_2(x-2u)+f_3(x-u)\\ u_2(u,x)=f_2(x-2u)-2f_3(x-u)\\ u_3(u,x)=2f_3(x-u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数。

2. 对于 $$A_2=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& 2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=3$$, $${\lambda }_2=2$$, $${\lambda }_3=-1$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=2$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=-1$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -12\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x-3u)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+f_2(x-2u)\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+f_3(x+u)\left(\begin{array}{c}1\\ 4\\ -12\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=f_1(x-3u)-2f_2(x-2u)+f_3(x+u)\\ u_2(u,x)=f_2(x-2u)+4f_3(x+u)\\ u_3(u,x)=-12f_3(x+u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数。

3. 对于 $$A_3=\left(\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=3$$, $${\lambda }_2=-2$$, $${\lambda }_3=-1$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=-2$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=-1$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x-3u)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+f_2(x+2u)\left(\begin{array}{c}-2\\ 5\\ 0\end{array}\right)+f_3(x+u)\left(\begin{array}{c}-3\\ 4\\ 4\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=f_1(x-3u)-2f_2(x+2u)-3f_3(x+u)\\ u_2(u,x)=5f_2(x+2u)+4f_3(x+u)\\ u_3(u,x)=4f_3(x+u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数。

4. 对于 $$A_4=\left(\begin{array}{ccc}-3& 2& 1\\ 0& -2& 1\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=-3$$, $${\lambda }_2=-2$$, $${\lambda }_3=-1$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=-3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=-2$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=-1$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x+3u)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right)+f_2(x+2u)\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+f_3(x+u)\left(\begin{array}{c}3\\ 2\\ 2\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=f_1(x+3u)+2f_2(x+2u)+3f_3(x+u)\\ u_2(u,x)=f_2(x+2u)+2f_3(x+u)\\ u_3(u,x)=2f_3(x+u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数。

5. 对于 $$A_5=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 0& 3\\ 2& 3& 0\end{array}\right)$$

• 特征值：$${\lambda }_1=-3$$, $${\lambda }_2=2+\sqrt{11}$$, $${\lambda }_3=2-\sqrt{11}$$（全部实数且互异）。
• 特征向量：
  • $${\lambda }_1=-3$$: $${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 8\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_2=2+\sqrt{11}$$: $${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}4+\sqrt{11}\\ 3+\sqrt{11}\\ 3+\sqrt{11}\end{array}\right)$$
  • $${\lambda }_3=2-\sqrt{11}$$: $${\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}4-\sqrt{11}\\ 3-\sqrt{11}\\ 3-\sqrt{11}\end{array}\right)$$
• 通解：
  $$\mathbf{U}(u,x)=f_1(x+3u)\left(\begin{array}{c}-3\\ -6\\ 8\end{array}\right)+f_2(x-(2+\sqrt{11})u)\left(\begin{array}{c}4+\sqrt{11}\\ 3+\sqrt{11}\\ 3+\sqrt{11}\end{array}\right)+f_3(x-(2-\sqrt{11})u)\left(\begin{array}{c}4-\sqrt{11}\\ 3-\sqrt{11}\\ 3-\sqrt{11}\end{array}\right)$$
  即分量形式：
  $$\{\begin{array}{l}{u}_1(u,x)=-3f_1(x+3u)+(4+\sqrt{11})f_2(x-(2+\sqrt{11})u)+(4-\sqrt{11})f_3(x-(2-\sqrt{11})u)\\ u_2(u,x)=-6f_1(x+3u)+(3+\sqrt{11})f_2(x-(2+\sqrt{11})u)+(3-\sqrt{11})f_3(x-(2-\sqrt{11})u)\\ u_3(u,x)=8f_1(x+3u)+(3+\sqrt{11})f_2(x-(2+\sqrt{11})u)+(3-\sqrt{11})f_3(x-(2-\sqrt{11})u)\end{array}$$
  其中 $$f_1,f_2,f_3$$ 是任意可微函数，$$\sqrt{11}\approx 3.3166$$。

总结

• 所有矩阵的特征值均为实数且互异，因此系统是严格双曲的，通解如上所示。
• “特征”在本题中主要指特征值 $${\lambda }_k$$，它们决定了特征曲线的斜率（$$dx/du={\lambda }_k$$)。
• 通解中的任意函数 $$f_k$$ 由初始条件或边界条件确定。