Python Day58

Task：
1.时序建模的流程
2.时序任务经典单变量数据集
3.ARIMA（p，d，q）模型实战
4.SARIMA摘要图的理解
5.处理不平稳的2种差分
a.n阶差分—处理趋势
b.季节性差分—处理季节性
建立一个ARIMA模型，通常遵循以下步骤：

1. 数据可视化：观察原始时间序列图，判断是否存在趋势或季节性。
2. 平稳性检验：
   • 对原始序列进行ADF检验。
   • 如果p值 > 0.05，说明序列非平稳，需要进行差分。
3. 确定差分次数 d:
   • 进行一阶差分，然后再次进行ADF检验。
   • 如果平稳了，则 d=1。否则，继续差分，直到平稳。
4. 确定 p 和 q:
   • 对差分后的平稳序列绘制ACF和PACF图。
   • 根据昨天学习的规则（PACF定p，ACF定q）来选择p和q的值。
5. 建立并训练ARIMA(p, d, q)模型。
   6.模型评估与诊断：查看模型的摘要信息，检查残差是否为白噪声。
   a.AIC用来对比不同模型选择，越小越好
   b.关注系数是否显著，通过p值或者置信区间均可
   c.残差的白噪声检验+正态分布检验
6. 进行预测（需要还原回差分前的结构）
   太棒了！这是一个非常系统和全面的知识点回顾。下面我将结合您的总结，并加入更详细的解释和实际代码示例，来帮助您深入理解并实战ARIMA模型。

1. 时序建模的流程

时间序列建模不仅仅是运行一个算法，它是一个端到端的问题解决过程。

1. 问题定义与数据收集: 明确业务目标（比如：预测未来3个月的销售额）。收集与时间相关的数据，确保数据的粒度（天、周、月等）和覆盖范围符合需求。
2. 数据探索与可视化 (EDA):
   • 时间序列图: 最重要的第一步，直观判断趋势（上升/下降）、季节性（周期性模式）、周期性（不规则的重复模式）、波动性（方差是否恒定）、异常值。
   • 分解图: 使用statsmodels.tsa.seasonal.seasonal_decompose可以将时间序列分解为趋势、季节性和残差，帮助我们更清晰地理解数据的组成部分。
   • ACF/PACF 图: 初步判断数据的自相关性，为选择ARIMA模型的p, q参数提供线索。
3. 数据预处理:
   • 缺失值处理: 插值（线性插值、多项式插值、样条插值）、前向/后向填充、删除。
   • 异常值处理: 识别并处理（平滑、替换、删除）。
   • 平稳化: 这是ARIMA模型的核心要求。非平稳序列的统计特性（均值、方差、自协方差）随时间变化，导致模型参数不稳定。主要通过差分来达到平稳。
4. 模型选择: 基于数据特性（是否平稳、是否存在季节性、线性/非线性）选择合适的模型。ARIMA处理线性、单变量、平稳或可差分至平稳的序列。
5. 模型训练: 将数据集分为训练集和测试集。使用训练集数据拟合模型，估计模型参数。
6. 模型评估与诊断:
   • 性能指标: 使用RMSE (均方根误差)、MAE (平均绝对误差)、MAPE (平均绝对百分比误差) 等评估模型在测试集上的预测准确性。
   • 残差分析: 关键一步。理想的残差应该是：
     • 白噪声 (White Noise): 均值为零，方差为常数，且相互之间没有相关性。这意味着模型已经捕捉了数据中所有的信息。
     • 正态分布: 误差通常假定服从正态分布。
     • 通过绘制残差图、残差ACF/PACF图、Q-Q图、进行Ljung-Box检验（白噪声检验）和Jarque-Bera检验（正态性检验）来诊断。
7. 模型预测: 使用训练好的模型对未来进行预测。
8. 模型部署与监控: 将模型投入实际使用，并持续监控其性能，及时更新。

2. 时序任务经典单变量数据集

这些数据集是时间序列分析的“Hello World”，它们通常具有明显的特征，适合作为教学和实验的素材：

• 航空旅客数据 (Air Passengers): 著名的月度数据集，特点是明显的上升趋势和年度季节性，方差也随时间增大。是SARIMA模型的典型应用案例。
• 太阳黑子数据 (Sunspots): 年度数据，呈现约11年的周期性。
• 强生公司季度收益 (Johnson & Johnson Quarterly Earnings): 季度数据，通常包含趋势和季节性。
• 股票收盘价/日交易量: 金融时间序列，波动性强，通常是非平稳的。
• 零售销售数据: 通常有季节性（节假日）、趋势（经济增长）和周期性（商业周期）。

3. ARIMA (p,d,q) 模型实战

ARIMA模型是AR（自回归）、I（差分）、MA（滑动平均）的结合。

• AR§: p 是自回归阶数。表示当前值与前p个历史值相关。例如，AR(1) 意味着 $Y_t=c+{\varphi }_1{Y}_{t-1}+{ϵ}_t$。
• I(d): d 是差分阶数。表示需要对原始序列进行 d 次差分才能使其平稳。例如，d=1 意味着我们分析的是 $Y_t-Y_{t-1}$ 这个差分序列。
• MA(q): q 是滑动平均阶数。表示当前值与前q个历史预测误差相关。例如，MA(1) 意味着 $Y_t=c+{\theta }_1{ϵ}_{t-1}+{ϵ}_t$。

模型表达式 (一阶差分，AR§, MA(q)):
$$(1-\sum _{i=1}^p{\varphi }_i{L}^i)(1-L{)}^d{y}_t=(1+\sum _{j=1}^q{\theta }_j{L}^j){ϵ}_t$$
其中，$L$ 是滞后运算符（$L{y}_t=y_{t-1}$），$\varphi$ 是AR系数，$\theta$ 是MA系数，${ϵ}_t$ 是白噪声误差。

4. SARIMA 摘要图的理解

当您使用statsmodels库中的SARIMA（或现在更新的ARIMA类，它同时支持ARIMA和SARIMA）模型进行训练后，model.fit().summary()会输出一个摘要表，其中包含了大量诊断信息。理解这个摘要至关重要。

SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s：在ARIMA的基础上，增加了季节性参数。

• (p,d,q): 非季节性部分。
• (P,D,Q)s: 季节性部分。P是季节性AR阶数，D是季节性差分阶数，Q是季节性MA阶数，s是季节周期（例如，月度数据s=12，季度数据s=4）。

摘要表中的关键信息:

1. 模型参数:

   • Model: 显示你建立的模型类型，例如 SARIMAX(p, d, q)(P, D, Q)[s]。
   • Log Likelihood: 对数似然值，用于模型比较，越大越好。
   • AIC, BIC, HQIC: 信息准则 (Akaike Information Criterion, Bayesian Information Criterion, Hannan-Quinn Information Criterion)。它们衡量模型拟合优度和模型复杂度的平衡。值越小越好。通常用于比较不同 (p,d,q) 或 (P,D,Q) 组合的模型优劣。
   • No. Observations, Covariance Type, Date, Time 等基本信息。

2. 系数表 (Coefficients):

   • coef: 对应参数的估计值（如 ar.L1、ma.L1、ar.S.L12、ma.S.L12 等）。
   • std err: 系数估计值的标准误差。
   • z: Wald检验的z统计量（coef / std err）。
   • P>|z|: p值。这是最重要的部分之一。如果 p值 < 0.05 (或您选择的显著性水平)，则认为该系数是统计显著的，即它对模型有贡献。如果 p值很大，可能说明该参数是不必要的，可以尝试将其对应的阶数设为0。
   • [0.025, 0.975]: 系数的95%置信区间。如果这个区间不包含0，也说明该系数是显著的。

3. 残差诊断 (Ljung-Box, Jarque-Bera, Hetereoscedasticity):

   • Ljung-Box (Q): 白噪声检验。
     • 原假设 (H0): 残差是白噪声（即残差之间没有相关性）。
     • P-value (JB): 如果p值 > 0.05，我们接受原假设，认为残差是白噪声，模型拟合良好。如果p值 < 0.05，说明残差中仍存在模式，模型可能需要改进。
   • Jarque-Bera (JB): 正态性检验。
     • 原假设 (H0): 残差服从正态分布。
     • P-value (JB): 如果p值 > 0.05，我们接受原假设，认为残差近似正态分布。
   • Skew: 残差的偏度，衡量对称性。
   • Kurtosis: 残差的峰度，衡量尾部厚度。
   • Heteroscedasticity (H): 异方差性检验。
     • 原假设 (H0): 残差方差是齐性的（常数）。
     • P-value (H): 如果p值 > 0.05，接受原假设，残差方差恒定。

5. 处理不平稳的2种差分

平稳性是时间序列分析的基石。非平稳序列通过差分可以转化为平稳序列。

• a. n阶差分 (Non-seasonal differencing):

  • 定义: $Y_t^{\prime }=Y_t-Y_{t-d}$。例如，一阶差分是 $Y_t-Y_{t-1}$。
  • 目的: 主要用于去除趋势 (Trend)。如果序列有线性趋势，一阶差分通常可以去除；如果趋势更复杂（如二次趋势），可能需要二阶差分。
  • 对应ARIMA中的 d 参数。

• b. 季节性差分 (Seasonal differencing):

  • 定义: $Y_t^{\prime \prime }=Y_t-Y_{t-s}$，其中 s 是季节周期（例如，月度数据 s=12，季度数据 s=4）。
  • 目的: 主要用于去除季节性 (Seasonality)。它通过减去去年同期的值来消除季节性模式。
  • 通常在非季节性差分之后进行（即对差分后的序列再次进行季节性差分），或者直接对原始序列进行季节性差分（如果只有季节性而无明显趋势）。
  • 对应SARIMA中的 D 参数。

建立一个ARIMA模型实战 (Python 代码解释)

我们将使用经典的 “Air Passengers” 数据集来演示ARIMA模型的建立过程。

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.seasonal import seasonal_decompose # 用于分解
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller # ADF 平稳性检验
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf, plot_pacf # 绘制ACF和PACF
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA # ARIMA 模型
from sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolute_error # 评估指标
from math import sqrt
import warnings
warnings.filterwarnings("ignore") # 忽略一些不必要的警告

# --- 1. 数据可视化 ---
print("--- 1. 数据可视化 ---")
# 加载数据
# 由于AirPassengers通常是作为内置数据集或csv文件提供，这里假设为csv文件
# 您可以从 statsmodels.datasets.airpassengers.load_pandas().data 获得
try:
    df = pd.read_csv('AirPassengers.csv', index_col='Month', parse_dates=True)
except FileNotFoundError:
    print("AirPassengers.csv 未找到，尝试使用内置数据集...")
    from statsmodels.datasets import airpassengers
    data = airpassengers.load_pandas().data
    df = pd.DataFrame(data['value'])
    df.index = pd.to_datetime(data['year_month'])
    df.index.name = 'Month'

df.columns = ['Passengers'] # 重命名列
print("原始数据前5行:\n", df.head())
print("\n数据信息:\n", df.info())

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(df)
plt.title('Air Passengers Original Series')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Passengers')
plt.grid(True)
plt.show()

# 观察：明显的上升趋势和年度季节性，且季节性波动幅度随时间增大（方差非恒定）。
# 这提示我们可能需要对数变换来稳定方差，然后进行差分。
# 为了简化，我们先不进行对数变换，直接差分。
# 如果方差变化显著，建议先进行对数变换：df['log_Passengers'] = np.log(df['Passengers'])

# 进一步分解观察趋势和季节性
decomposition = seasonal_decompose(df['Passengers'], model='additive', period=12) # 月度数据，周期为12
fig = decomposition.plot()
fig.set_size_inches(10, 8)
plt.tight_layout()
plt.show()

# --- 2. 平稳性检验 (ADF 检验) ---
print("\n--- 2. 平稳性检验 (ADF 检验) ---")

def adf_test(series, name='Original Series'):
    """进行ADF检验并打印结果"""
    print(f"\n对 {name} 进行ADF检验:")
    result = adfuller(series.dropna(), autolag='AIC')
    print(f'ADF Statistic: {result[0]:.2f}')
    print(f'p-value: {result[1]:.3f}')
    print('Critical Values:')
    for key, value in result[4].items():
        print(f'   {key}: {value:.2f}')
    if result[1] <= 0.05:
        print(f"结论: p-value ({result[1]:.3f}) <= 0.05，序列 {name} 是平稳的。")
    else:
        print(f"结论: p-value ({result[1]:.3f}) > 0.05，序列 {name} 是非平稳的，需要差分。")

adf_test(df['Passengers'], 'Original Passengers')

# --- 3. 确定差分次数 d ---
print("\n--- 3. 确定差分次数 d ---")
# 第一次差分 (去除趋势)
df_diff1 = df['Passengers'].diff(1).dropna()
plt.figure(figsize=(12, 4))
plt.plot(df_diff1)
plt.title('Air Passengers - 1st Order Differencing')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Differenced Passengers')
plt.grid(True)
plt.show()

adf_test(df_diff1, '1st Order Differencing')

# 观察：第一次差分后，趋势基本消除，但仍然有明显的季节性。
# 此时ADF检验可能仍然显示非平稳，因为季节性也是非平稳的一种形式。
# 对于Air Passengers，除了非季节性差分 (d)，还需要季节性差分 (D)。
# 但这里我们主要演示ARIMA，所以先假设我们只需要非季节性差分来处理趋势。
# 如果ADF仍然不平稳，继续差分。
# 实际中，对于Air Passengers，通常需要进行 1 阶非季节性差分 (d=1) 和 1 阶季节性差分 (D=1, s=12)

# 为了演示ARIMA，我们假设经过1次差分后，我们主要关注非季节性部分的平稳性。
# 更好的方法是进行季节性差分后再进行非季节性差分，以获得更平稳的序列来确定p,q。
# 但为了严格遵循ARIMA的d，我们先只做非季节性差分。
# 通常，d=1或d=2就足够了。

# 确定d：这里我们可以看到1阶差分后，p值接近0.05，但仍受季节性影响。
# 如果我们只考虑非季节性ARIMA，通常d=1是处理线性趋势的常用选择。
# 实际应用中，d的确定也可以借助auto_arima库，它会自动寻找最佳d（和D）。

# --- 4. 确定 p 和 q ---
print("\n--- 4. 确定 p 和 q ---")
# 对差分后的序列（这里用1阶差分后的序列）绘制ACF和PACF图
# 因为Air Passengers有强季节性，即使1阶差分后，ACF/PACF在季节滞后（如12, 24）也会有显著峰值。
# 在确定非季节性p,q时，我们主要关注非季节性滞后。
# 为了更准确地确定p,q，我们通常会使用一个经过季节性差分后的序列（如果存在季节性）
# 比如 `df_diff12_1 = df['Passengers'].diff(12).diff(1).dropna()`
# 这里我们用 `df_diff1` 来演示，并解释其局限性。

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.subplot(211) # 2行1列第1个
plot_acf(df_diff1, lags=30, ax=plt.gca(), title='ACF of 1st Order Differenced Series')
plt.subplot(212) # 2行1列第2个
plot_pacf(df_diff1, lags=30, ax=plt.gca(), title='PACF of 1st Order Differenced Series')
plt.tight_layout()
plt.show()

# 规则 (昨天学习的规则):
# PACF 定 p: 偏自相关函数图在某个滞后阶数后突然截断或迅速衰减，那么该滞后阶数就是 p。
# ACF 定 q: 自相关函数图在某个滞后阶数后突然截断或迅速衰减，那么该滞后阶数就是 q。

# 对 `df_diff1` (1阶差分后的序列) 的观察:
# *   PACF: 在滞后1处有显著的峰值，之后迅速衰减。这可能提示 p=1。
# *   ACF: 在滞后1处有显著的峰值，之后衰减但并非截断。在滞后12处有显著峰值（季节性）。
# *   由于季节性的存在，确定非季节性p,q变得复杂。
# *   **经验法则:**
#     *   PACF在`p`处截尾，ACF拖尾 -> AR(p)
#     *   ACF在`q`处截尾，PACF拖尾 -> MA(q)
#     *   ACF和PACF都拖尾 -> ARMA(p,q)
# *   根据Air Passengers的特性，通常`d=1`且`D=1, s=12`是比较合适的。
# *   我们暂时选择一个经典的ARIMA(p,d,q)组合来演示，比如 (1,1,1) 或 (2,1,2)。
# *   **这里我们选择 `d=1` (根据ADF测试，虽然有季节性但已削弱趋势)**
# *   **根据ACF/PACF图，我们初步猜测 `p=1` 或 `p=2`，`q=1` 或 `q=2`。**
# *   **为了避免季节性混淆，实际通常用 `auto_arima` 来自动选择参数。**
#     *   使用 `pmdarima` 库的 `auto_arima` 可以自动确定最优的 (p,d,q)(P,D,Q)s 参数。
#     *   这里我们手动选择一组参数来演示 ARIMA。
#     *   让我们尝试一个相对简单的 ARIMA(1,1,1) 作为初始模型。

# --- 5. 建立并训练ARIMA(p, d, q)模型 ---
print("\n--- 5. 建立并训练ARIMA(p, d, q)模型 ---")

# 定义训练集和测试集
train_size = int(len(df) * 0.8)
train_data, test_data = df[0:train_size], df[train_size:]

print(f"训练集大小: {len(train_data)}")
print(f"测试集大小: {len(test_data)}")

# 建立ARIMA模型 (选择 (1,1,1) 作为示例，d=1已在上面确定)
# statsmodels的ARIMA模型会自动处理差分
order = (1, 1, 1) # (p, d, q)
print(f"建立ARIMA模型，阶数: {order}")

model = ARIMA(train_data['Passengers'], order=order)
model_fit = model.fit()

# --- 6. 模型评估与诊断 ---
print("\n--- 6. 模型评估与诊断 ---")
print(model_fit.summary())

# a. AIC 用来对比不同模型选择，越小越好
# 在summary中查找AIC值。如果要比较不同 (p,d,q) 组合，可以训练多个模型，比较它们的AIC。

# b. 关注系数是否显著，通过p值或者置信区间均可
# 在summary的 "coef" 表格中，查看 `P>|z|` 列。
# 如果 `P>|z|` 小于 0.05（或0.1，取决于显著性水平），则该系数是统计显著的。
# 例如，如果 `ar.L1` 的p值很小，说明AR(1)项很重要。

# c. 残差的白噪声检验 + 正态分布检验
# 在summary的底部：
# *   **Ljung-Box (Q):** 关注 `P-value (Q)`。如果它大于 0.05，则残差是白噪声。
# *   **Jarque-Bera (JB):** 关注 `P-value (JB)`。如果它大于 0.05，则残差服从正态分布。

# 绘制残差图
print("\n--- 残差诊断图 ---")
model_fit.plot_diagnostics(figsize=(15, 10))
plt.tight_layout()
plt.show()

# 诊断图解读：
# *   **Standardized Residuals:** 标准化残差图。理想情况是残差围绕0波动，无明显趋势、无明显模式、无异常大波动。如果出现趋势或模式，说明模型捕捉信息不足。
# *   **Histogram plus kde estimate:** 残差的直方图和核密度估计。理想情况是近似正态分布，均值在0附近。
# *   **Normal Q-Q:** Q-Q图。理想情况是点沿着45度直线分布。如果点偏离直线，表示残差不服从正态分布。
# *   **Correlogram (ACF):** 残差的ACF图。理想情况是所有滞后的自相关系数都在置信区间内（即不显著），这表示残差是白噪声，模型已充分提取信息。如果仍有显著的峰值，说明残差中仍有自相关性，模型需要改进（如增加p,q阶数或考虑季节性参数）。

# 对于Air Passengers，ARIMA(1,1,1)可能不足以完全处理季节性，残差的ACF图很可能在滞后12处仍有显著峰值。
# 这再次提示我们需要SARIMA模型。

# --- 7. 进行预测 (需要还原回差分前的结构) ---
print("\n--- 7. 进行预测 ---")

# 预测测试集数据
# statsmodels的predict/forecast方法会自动处理差分还原
start_index = len(train_data)
end_index = len(df) - 1
# forecast = model_fit.predict(start=start_index, end=end_index, dynamic=False) # dynamic=False 表示使用所有历史数据进行一步预测
forecast = model_fit.forecast(steps=len(test_data)) # forecast更适合多步预测

# 将预测结果转换为Series，并匹配测试集的索引
forecast_series = pd.Series(forecast, index=test_data.index)

# 绘制结果
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(train_data['Passengers'], label='Training Data')
plt.plot(test_data['Passengers'], label='Actual Test Data')
plt.plot(forecast_series, label='ARIMA Forecast')
plt.title(f'Air Passengers ARIMA({order}) Forecast vs Actual')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

# 计算评估指标
rmse = sqrt(mean_squared_error(test_data['Passengers'], forecast_series))
mae = mean_absolute_error(test_data['Passengers'], forecast_series)
print(f'RMSE: {rmse:.2f}')
print(f'MAE: {mae:.2f}')

# 进一步预测未来 N 个月
future_steps = 12 # 预测未来12个月
future_forecast = model_fit.forecast(steps=future_steps)

# 创建未来时间的索引
last_date = df.index[-1]
future_dates = pd.date_range(start=last_date, periods=future_steps + 1, freq='MS')[1:] # MS = Month Start

future_forecast_series = pd.Series(future_forecast, index=future_dates)

plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(df['Passengers'], label='Historical Data')
plt.plot(future_forecast_series, label='Future Forecast')
plt.title(f'Air Passengers ARIMA({order}) Future Forecast')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

print("\n--- 预测结果 ---")
print(future_forecast_series)

代码解释和关键点总结:

1. 数据加载与可视化 (步骤1):

   • 使用pandas.read_csv加载数据，index_col指定时间列，parse_dates=True将其解析为日期时间对象，这对于时间序列非常重要。
   • df.plot()快速查看数据走势。
   • seasonal_decompose用于将序列分解为趋势、季节性和残差，帮助我们直观理解数据结构。period=12因为是月度数据，季节周期为12个月。

2. 平稳性检验 (步骤2):

   • statsmodels.tsa.stattools.adfuller执行ADF检验。
   • p-value <= 0.05是判断序列平稳性的常用阈值。如果p值大于此，说明序列非平稳。

3. 确定差分次数 d (步骤3):

   • df['Passengers'].diff(1)进行一阶差分，dropna()去除差分后产生的NaN值。
   • 每次差分后，重新绘制图并进行ADF检验，直到序列平稳。
   • 重要提示: Air Passengers数据具有强季节性。即使一阶非季节性差分，ADF检验可能仍然显示不平稳，因为季节性部分未被消除。严格来说，对于这类数据，应使用SARIMA，它会包含季节性差分 D。但本例为演示ARIMA，我们假设d=1足以处理趋势。

4. 确定 p 和 q (步骤4):

   • statsmodels.graphics.tsaplots.plot_acf 和 plot_pacf 绘制自相关和偏自相关图。
   • 判断方法:
     • PACF (定 p): 如果PACF图在某个滞后处突然截断（迅速下降到零线以下），则这个滞后值就是AR的阶数p。
     • ACF (定 q): 如果ACF图在某个滞后处突然截断，则这个滞后值就是MA的阶数q。
     • 拖尾: 如果ACF/PACF逐渐衰减而不是突然截断，则称为拖尾。
   • 对于Air Passengers，其差分序列的ACF/PACF会显示季节性滞后（如12, 24）上的显著峰值，这进一步强调了SARIMA的必要性。在没有auto_arima的帮助下，手动选择p,q需要经验和多次尝试。

5. 建立并训练ARIMA模型 (步骤5):

   • statsmodels.tsa.arima.model.ARIMA 是最新推荐的模型类，它统一了ARIMA和SARIMA。
   • order=(p,d,q) 指定模型的非季节性参数。
   • model.fit() 训练模型。

6. 模型评估与诊断 (步骤6):

   • model_fit.summary() 输出模型的详细报告，这是模型诊断的核心。
     • AIC/BIC: 越小越好，用于比较不同模型的拟合优度。
     • P>|z|: 参数的p值。小于0.05通常认为参数显著。
     • Ljung-Box (Q): 残差白噪声检验。P-value (Q) 大于0.05表示残差是白噪声，模型拟合较好。
     • Jarque-Bera (JB): 残差正态性检验。P-value (JB) 大于0.05表示残差近似正态分布。
   • model_fit.plot_diagnostics() 提供四个有用的诊断图，直观检查残差的特性。

7. 进行预测 (步骤7):

   • model_fit.forecast(steps=N) 用于进行未来N步的预测。这个方法会自动将差分还原，输出原始尺度的预测值。
   • model_fit.predict(start=..., end=..., dynamic=False) 可以用于in-sample（训练集内）或out-of-sample（测试集内）的预测。dynamic=False意味着在预测每一步时都使用所有可用的历史数据（包括实际值），而dynamic=True则表示从某个点开始，只使用模型自身的预测值作为输入。
   • 将预测结果与真实值进行可视化对比，并计算RMSE和MAE等评估指标，以量化预测准确性。

ARIMA模型的局限性与SARIMA的引入:

通过Air Passengers的例子，我们可以明显看到，即使建立了ARIMA模型，由于数据强烈的季节性，模型可能仍然不能完美捕捉所有模式（如残差ACF图中季节性滞后处的显著性）。这时，就需要引入SARIMA模型，它在ARIMA的基础上加入了季节性差分和季节性AR/MA项，能够更好地处理具有季节性特征的时间序列。