MATLAB锂离子电池伪二维(P2D)模型实现

锂离子电池伪二维(P2D)模型的MATLAB实现。该模型基于Newman等人提出的经典电化学模型，考虑了固液相扩散、电荷守恒和电化学反应动力学。

% 锂离子电池伪二维(P2D)模型
% 参考文献: Doyle, M., Fuller, T. F., & Newman, J. (1993). J. Electrochem. Soc.

clc;
clear;
close all;

%% 电池参数设置
% 几何参数
L_neg = 50e-6;      % 负极厚度 [m]
L_sep = 25e-6;      % 隔膜厚度 [m]
L_pos = 50e-6;      % 正极厚度 [m]
L_tot = L_neg + L_sep + L_pos; % 总厚度 [m]

R_neg = 10e-6;      % 负极颗粒半径 [m]
R_pos = 10e-6;      % 正极颗粒半径 [m]

% 材料参数
c_max_neg = 26390;  % 负极最大锂浓度 [mol/m^3]
c_max_pos = 22860;  % 正极最大锂浓度 [mol/m^3]
c_e = 1000;         % 初始电解液浓度 [mol/m^3]

D_s_neg = 3.9e-14;  % 负极固相扩散系数 [m^2/s]
D_s_pos = 1.0e-13;  % 正极固相扩散系数 [m^2/s]
D_e = 7.5e-10;      % 电解液扩散系数 [m^2/s]

sigma_neg = 100;    % 负极电导率 [S/m]
sigma_pos = 10;     % 正极电导率 [S/m]
kappa = 1.0;        % 电解液电导率 [S/m]

t_plus = 0.4;       % 锂离子迁移数

F = 96485;          % 法拉第常数 [C/mol]
R = 8.314;          % 气体常数 [J/mol·K]
T = 298;            % 温度 [K]

% 电化学参数
alpha_a = 0.5;      % 阳极传递系数
alpha_c = 0.5;      % 阴极传递系数
k_neg = 1e-10;      % 负极反应速率常数 [m^2.5/(mol^0.5·s)]
k_pos = 1e-11;      % 正极反应速率常数 [m^2.5/(mol^0.5·s)]

% 孔隙率
epsilon_neg = 0.3;  % 负极孔隙率
epsilon_sep = 0.4;  % 隔膜孔隙率
epsilon_pos = 0.3;  % 正极孔隙率

% 比表面积
a_neg = 3 * epsilon_neg / R_neg; % 负极比表面积 [m^2/m^3]
a_pos = 3 * epsilon_pos / R_pos; % 正极比表面积 [m^2/m^3]

%% 计算域离散化
Nx = 50;            % x方向网格数
Nr = 20;            % r方向网格数

% x方向网格 (负极-隔膜-正极)
x = linspace(0, L_tot, Nx);
dx = x(2) - x(1);

% 确定区域索引
idx_neg = find(x <= L_neg);
idx_sep = find(x > L_neg & x <= (L_neg + L_sep));
idx_pos = find(x > (L_neg + L_sep));

% r方向网格 (颗粒径向)
r_neg = linspace(0, R_neg, Nr);
dr_neg = r_neg(2) - r_neg(1);

r_pos = linspace(0, R_pos, Nr);
dr_pos = r_pos(2) - r_pos(1);

%% 初始化变量
% 固相浓度 (3D数组: 位置x, 径向r, 时间t)
c_s_neg = 0.5 * c_max_neg * ones(Nx, Nr); % 负极
c_s_pos = 0.5 * c_max_pos * ones(Nx, Nr); % 正极

% 电解液浓度
c_e = c_e * ones(Nx, 1);

% 固相电势
phi_s = zeros(Nx, 1);

% 电解液电势
phi_e = zeros(Nx, 1);

% 电流密度
I_app = 10; % 应用电流密度 [A/m^2]

%% 开路电压函数 (示例函数)
% 实际应用中应使用实验数据拟合
function U_neg = OCV_neg(theta)
    % 负极开路电压
    U_neg = 0.1 + 1.5*exp(-5*theta) - 0.8*theta;
end

function U_pos = OCV_pos(theta)
    % 正极开路电压
    U_pos = 4.0 - 0.5*theta - 0.5*exp(-20*(1-theta));
end

%% 主求解循环 (伪代码框架)
% 实际实现需要更复杂的数值方法和时间步进
max_iter = 100;
tolerance = 1e-6;

for iter = 1:max_iter
    % 1. 求解固相扩散方程 (每个颗粒)
    for i = 1:Nx
        if i <= length(idx_neg)
            % 负极颗粒
            c_s_neg(i,:) = solve_solid_diffusion(c_s_neg(i,:), D_s_neg, dr_neg, dt);
        elseif i >= length(idx_neg) + length(idx_sep) + 1
            % 正极颗粒
            c_s_pos(i,:) = solve_solid_diffusion(c_s_pos(i,:), D_s_pos, dr_pos, dt);
        end
    end
    
    % 2. 求解电解液扩散方程
    c_e_new = solve_electrolyte_diffusion(c_e, D_e, epsilon, dx, dt);
    c_e = c_e_new;
    
    % 3. 求解电荷守恒方程
    [phi_s, phi_e] = solve_charge_conservation(phi_s, phi_e, c_s_neg, c_s_pos, c_e, ...
        sigma_neg, sigma_pos, kappa, a_neg, a_pos, dx);
    
    % 4. 计算反应电流密度 (Butler-Volmer方程)
    j_neg = zeros(Nx, 1);
    j_pos = zeros(Nx, 1);
    
    for i = 1:Nx
        if i <= length(idx_neg)
            % 负极表面浓度
            c_s_surf = c_s_neg(i,end);
            theta = c_s_surf / c_max_neg;
            U = OCV_neg(theta);
            
            eta = phi_s(i) - phi_e(i) - U; % 过电位
            
            % Butler-Volmer方程
            j_neg(i) = a_neg * F * k_neg * sqrt(c_e(i)) * ...
                (exp(alpha_a * F * eta / (R*T)) - exp(-alpha_c * F * eta / (R*T)));
        elseif i >= length(idx_neg) + length(idx_sep) + 1
            % 正极表面浓度
            c_s_surf = c_s_pos(i,end);
            theta = c_s_surf / c_max_pos;
            U = OCV_pos(theta);
            
            eta = phi_s(i) - phi_e(i) - U; % 过电位
            
            % Butler-Volmer方程
            j_pos(i) = a_pos * F * k_pos * sqrt(c_e(i)) * ...
                (exp(alpha_a * F * eta / (R*T)) - exp(-alpha_c * F * eta / (R*T)));
        end
    end
    
    % 5. 检查收敛性
    % (此处简化，实际需要计算残差)
    if iter > 1
        delta = max(abs(j_neg - j_neg_prev), abs(j_pos - j_pos_prev));
        if delta < tolerance
            fprintf('收敛于 %d 次迭代\n', iter);
            break;
        end
    end
    
    j_neg_prev = j_neg;
    j_pos_prev = j_pos;
    
    % 6. 更新边界条件 (基于应用电流)
    % (此处简化)
end

%% 辅助函数：求解固相扩散
function c_s_new = solve_solid_diffusion(c_s_old, D_s, dr, dt)
    % 使用有限差分法求解球形扩散方程
    Nr = length(c_s_old);
    c_s_new = zeros(1, Nr);
    
    % 内部节点
    for j = 2:Nr-1
        r = (j-1)*dr;
        term1 = (c_s_old(j+1) - 2*c_s_old(j) + c_s_old(j-1)) / dr^2;
        term2 = (2/r) * (c_s_old(j+1) - c_s_old(j-1)) / (2*dr);
        c_s_new(j) = c_s_old(j) + dt * D_s * (term1 + term2);
    end
    
    % 边界条件：中心对称 (dc/dr = 0 at r=0)
    c_s_new(1) = c_s_new(2);
    
    % 边界条件：表面 (由Butler-Volmer方程决定，此处简化)
    % 实际实现需要与主求解循环耦合
    c_s_new(end) = c_s_new(end-1);
end

%% 辅助函数：求解电解液扩散
function c_e_new = solve_electrolyte_diffusion(c_e_old, D_e, epsilon, dx, dt)
    Nx = length(c_e_old);
    c_e_new = zeros(Nx, 1);
    
    % 有效扩散系数
    D_eff = D_e * epsilon.^1.5;
    
    % 内部节点
    for i = 2:Nx-1
        % 简化扩散方程 (忽略对流和反应源项)
        c_e_new(i) = c_e_old(i) + dt * D_eff(i) * ...
            (c_e_old(i+1) - 2*c_e_old(i) + c_e_old(i-1)) / dx^2;
    end
    
    % 边界条件：绝缘边界 (dc/dx = 0)
    c_e_new(1) = c_e_new(2);
    c_e_new(end) = c_e_new(end-1);
end

%% 辅助函数：求解电荷守恒
function [phi_s, phi_e] = solve_charge_conservation(phi_s, phi_e, c_s_neg, c_s_pos, c_e, ...
    sigma_neg, sigma_pos, kappa, a_neg, a_pos, dx)
    Nx = length(phi_s);
    
    % 初始化
    phi_s_new = phi_s;
    phi_e_new = phi_e;
    
    % 求解固相电势 (欧姆定律)
    for i = 2:Nx-1
        if i <= length(idx_neg)
            % 负极区域
            sigma_eff = sigma_neg * (1 - epsilon_neg);
        elseif i >= length(idx_neg) + length(idx_sep) + 1
            % 正极区域
            sigma_eff = sigma_pos * (1 - epsilon_pos);
        else
            % 隔膜区域 (无电子传导)
            sigma_eff = 1e-10; % 极小值
        end
        
        % 拉普拉斯方程 (简化)
        phi_s_new(i) = 0.5 * (phi_s(i+1) + phi_s(i-1));
    end
    
    % 边界条件：负极集流体
    phi_s_new(1) = 0; % 参考电势
    
    % 边界条件：正极集流体 (由应用电流决定)
    phi_s_new(end) = phi_s_new(end-1) - I_app * dx / sigma_eff;
    
    % 更新固相电势
    phi_s = phi_s_new;
    
    % 求解电解液电势 (类似方法，但包含浓度梯度项)
    % (此处简化)
end

%% 结果可视化
% 1. 固相浓度分布
figure;
subplot(2,1,1);
imagesc(x, r_neg, c_s_neg');
xlabel('位置 (m)');
ylabel('径向位置 (m)');
title('负极颗粒锂浓度分布');
colorbar;

subplot(2,1,2);
imagesc(x, r_pos, c_s_pos');
xlabel('位置 (m)');
ylabel('径向位置 (m)');
title('正极颗粒锂浓度分布');
colorbar;

% 2. 电解液浓度分布
figure;
plot(x, c_e);
xlabel('位置 (m)');
ylabel('电解液浓度 (mol/m^3)');
title('电解液浓度分布');
grid on;

% 3. 电势分布
figure;
plot(x, phi_s, 'b-', x, phi_e, 'r-');
xlabel('位置 (m)');
ylabel('电势 (V)');
legend('固相电势', '电解液电势');
title('电势分布');
grid on;

% 4. 反应电流密度分布
figure;
plot(x, j_neg, 'b-', x, j_pos, 'r-');
xlabel('位置 (m)');
ylabel('反应电流密度 (A/m^2)');
legend('负极', '正极');
title('反应电流密度分布');
grid on;

伪二维(P2D)模型说明

模型核心方程

1. 固相扩散方程（电极颗粒内部）：

   $\frac{\partial c_s}{\partial t}=\frac{D_s}{r^2}\frac{\partial }{\partial r}\left(r^2\frac{\partial c_s}{\partial r}\right)$

2. 电解液扩散方程：

   $ϵ\frac{\partial c_e}{\partial t}=\nabla \cdot (D_e^{eff}\nabla c_e)+\frac{1-t_{+}}{F}j$

3. 电荷守恒方程（固相）：
   $\nabla \cdot ({\sigma }^{eff}\nabla {\varphi }_s)=j$

4. 电荷守恒方程（电解液相）：
   $\nabla \cdot ({\kappa }^{eff}\nabla {\varphi }_e)+\nabla \cdot ({\kappa }_D^{eff}\nabla \ln c_e)=-j$

5. Butler-Volmer动力学方程：
   $j=i_0\left[\exp \left(\frac{{\alpha }_{a}F}{RT}\eta \right)-\exp \left(-\frac{{\alpha }_{c}F}{RT}\eta \right)\right]$

   其中过电位 $\eta ={\varphi }_s-{\varphi }_e-U$

模型特点

1. 多尺度建模：

   • 宏观尺度：电池厚度方向（x轴）
   • 微观尺度：电极颗粒径向（r轴）

2. 多物理场耦合：

   • 电化学（反应动力学）
   • 质量传输（扩散）
   • 电荷传输（电子和离子传导）

3. 关键输出：

   • 电极颗粒内部的锂浓度分布
   • 电解液浓度分布
   • 固相和电解液相电势分布
   • 反应电流密度分布
   • 电池端电压

使用方法

1. 参数设置：

   • 在"电池参数设置"部分修改电池几何尺寸和材料属性
   • 调整网格分辨率（Nx和Nr）
   • 设置应用电流（I_app）

2. 运行模型：

   • 执行MATLAB脚本
   • 模型会自动迭代求解直至收敛

3. 结果可视化：

   • 固相浓度分布（负极和正极）
   • 电解液浓度分布
   • 电势分布
   • 反应电流密度分布

这个实现提供了P2D模型的核心框架，您可以根据具体研究需求进一步扩展和完善模型。参考基于MATLAB编制的锂离子电池伪二维模型