相机内外参矩阵：从3D世界坐标到2D像素坐标变换

介绍

相机参数矩阵描述了三维世界到二维图像的投影关系，分为内参矩阵（Intrinsic Matrix）和外参矩阵（Extrinsic Matrix）。以下是详细解释和坐标变换公式：

1. 内参矩阵（Intrinsic Matrix, K）

作用：将相机坐标系下的3D点投影到图像像素坐标系（2D），描述相机自身的几何和光学特性。
公式：
$$K=\left[\begin{array}{ccc}{f}_x& s& u_0\\ 0& f_y& v_0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$
参数含义：

• (f_x, f_y)：焦距（单位为像素），分别表示x和y方向的缩放因子（受传感器尺寸和镜头焦距影响）。
• (u_0, v_0)：主点坐标（Principal Point），即光轴与图像平面的交点（通常接近图像中心）。
• (s)：轴倾斜参数（Skew），描述图像坐标轴的倾斜程度（现代相机通常为0）。

2. 外参矩阵（Extrinsic Matrix, [R|t]）

作用：将世界坐标系下的3D点变换到相机坐标系，描述相机在空间中的位置和姿态（旋转+平移）。
公式：
$$\text{外参}=[R\mid t]=\left[\begin{array}{cccc}{r}_{11}& r_{12}& r_{13}& t_x\\ r_{21}& r_{22}& r_{23}& t_y\\ r_{31}& r_{32}& r_{33}& t_z\end{array}\right]$$
参数含义：

• (R)：3×3旋转矩阵（正交矩阵），表示相机相对于世界坐标系的朝向。
• (t)：3×1平移向量，表示相机光心在世界坐标系中的位置。

3. 完整投影过程（世界坐标 → 像素坐标）

设一个3D点在世界坐标系中的齐次坐标为 $P_w=[X_w,Y_w,Z_w,1{]}^T$，其投影到像素坐标 $p=[u,v,1{]}^T$ 的流程如下：

步骤1：世界坐标 → 相机坐标（外参变换）

$$\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]\text{或}{P}_c=R\cdot P_w+t$$

步骤2：相机坐标 → 归一化图像坐标（透视投影）

$$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\frac{1}{Z_c}\left[\begin{array}{c}{X}_c\\ Y_c\\ Z_c\end{array}\right]\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=X_c/Z_c\\ y=Y_c/Z_c\end{array}$$

步骤3：归一化坐标 → 像素坐标（内参变换）

$$\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=K\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_{x}x+sy+u_0\\ f_{y}y+v_0\\ 1\end{array}\right]$$

整合公式（直接投影）

$$Z_c\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]=K\cdot [R\mid t]\left[\begin{array}{c}{X}_w\\ Y_w\\ Z_w\\ 1\end{array}\right]$$

4. 关键坐标变换总结

5. 畸变参数（补充）

实际相机还需考虑镜头畸变（径向畸变、切向畸变），使用以下模型修正归一化坐标 $(x,y)$：
$$\{\begin{array}{l}{x}_{\text{corrected}}=x(1+k_1{r}^2+k_2{r}^4)+2p_{1}xy+p_2(r^2+2x^2)\\ y_{\text{corrected}}=y(1+k_1{r}^2+k_2{r}^4)+p_1(r^2+2y^2)+2p_{2}xy\end{array}$$
其中 $r^2=x^2+y^2$，参数 $k_1,k_2$ 为径向畸变系数，$p_1,p_2$ 为切向畸变系数。

6. 示例（OpenCV 模型）

在OpenCV中，投影过程定义为：

u = f_x * (X_c / Z_c) + u_0
v = f_y * (Y_c / Z_c) + v_0

外参通过 solvePnP 求解，内参和畸变参数通过 calibrateCamera 标定。

总结

• 内参矩阵 $K$：相机自身属性（焦距、主点、倾斜）。
• 外参 $[R\mid t]$：相机在世界中的位置和姿态。
• 投影公式：$Z_{c}p=K[R\mid t]P_w$
• 畸变模型：修正非线性误差，提升精度。