信息安全数学基础(4)群

发布于：2025-07-27 ⋅ 阅读:(12) ⋅ 点赞:(0)

一、群的定义

定义1-1：设 $S$ 是一非空集合。如果在 $S$ 上定义了一个代数运算，记为 $a\cdot b$ （对于乘法也可以省略乘号写出 $ab$ ），而且这个运算满足下列条件，对于 $(S,\cdot )$ 称为一个半群。

(1) $S$ 关于乘法是封闭的，即对于 $S$ 中任意元素 $a,b$ ，有 $a\cdot b\in S$
(2) $S$ 对于乘法，结合律成立，即对于 $S$ 中任意元素 $a,b,c$ ，有 $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

定义1-2：设 $G$ 是一非空集合。如果在 $G$ 上定义了一个乘法运算，这个运算满足如下条件，那么 $(G,\cdot )$ 称为一个群。

(1) $G$ 关于乘法满足封闭性，即对于 $G$ 中任意元素 $a,b$ ，有 $a\cdot b \in G$
(2) $G$ 关于乘法，结合律成立，即对于 $G$ 中任意元素 $a,b,c$ ， $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$
(3)单位元存在，即在 $G$ 中有一个元素 $e$ ，对于中任意元素 $a$ ，有 $e\cdot a=a\cdot e=a$
(4)逆元存在，即对于 $G$ 中任一元素 $a$ 都存在 $G$ 中的一个元素 $b$ ，有 $b\cdot a=a\cdot b=e$

定义1-3：如果群中的运算满足交换律，即对于 $G$ 中任意元素 $a,b$ 有 $a\cdot b=b\cdot a$ ，则这个群称为交换群或阿贝尔群；

定义1-4：如果一个群 $G$ 中元素的个数是无限多个，则称 $G$ 是无限群；如果 $G$ 中的元素个数是有限多个，则称 $G$ 是有限群， $G$ 中的元素的个数称为群的阶，记为 $|G|$ ;

由于群里结合律是满足的，所有元素连乘 $a_1a_2...a_n$ 有意义，它也是 $G$ 中的一个元；

把 $a$ 的 $n$ 次连乘记为 $a^n$ ,称为 $a$ 的 $n$ 次幂(或称乘方)，还将 $a$ 的逆元 $a^{-1}$ 的 $n$ 次幂记为 $a^{-n}$ ;

显然有 $a^{-n}a^{n}=e$ 可知 $a^{-n}$ 还是 $a^n$ 的逆元。

定理1-1：设 $G$ 是一个乘法群，则乘法满足消去律，即设 $a,x,x',y,y'\in G$ ，

如果 $ax=ax'$ ，则 $x=x'$ ；如果 $ya=y'a$ ，则 $y=y'$ ;

定理1-2：如果 $G$ 是一个群，对于任意 $a,b\in G$ ，方程 $ax=b,ya=b$ 有解；反之，如果上述方程在非空集合 $G$ 中有解，而且其中的运算封闭且满足结合律，则 $G$ 是一个群；

二、子群

定义2-1：一个群 $G$ 的一个子集 $H$ ，如果对于 $G$ 的乘法构成一个群，则称为 $G$ 的子群。

可以得到如下引理：

（1） $G$ 的单位元和 $H$ 的单位元是同一的；
（2）如果 $a\in H$ ， $a^{-1}$ 是 $a$ 在 $G$ 中的逆元，则 $a^{-1}\in H$

定理2-1：一个群 $G$ 的一个非空子集 $H$ 构成一个子群的充分必要条件是：

(1)对于任意的 $a,b\in H$ ，有 $ab\in H$
(2)对于任意 $a\in H$ ，有 $a^{-1}\in H$

定理2-2：一个群 $G$ 的一个非空子集 $H$ 构成一个子群的充分必要条件是:对于任意 $a,b \in H$ ,有

$ab^{-1}\in H$ ;

定理2-3：一个群 $G$ 的一个非空子集 $H$ 构成一个子群的充分必要条件是:对于任意 $a,b \in H$ ,有

$ab\in H$ ;

定义2-2：设 $H$ 是群 $G$ 的一个子群。对于任意 $a\in G$ ，集合 $aH=\left \{ ah|h\in H \right \}$ 称为 $H$ 的一个左陪集，记为 $aH$ 。同样定义右陪集 $Ha=\left \{ ha|h\in H \right \}$ ;

定理2-4：设 $H$ 是群 $G$ 的一个子集。 $H$ 的任意两个左(右)陪集或者相等或者无公共元素。群 $G$ 可以表示成若干互不相交的左(右)陪集的并集。

推论：设 $G$ 是一个有限群， $H$ 是一个子群，则 $H$ 的阶是 $G$ 的阶的因子；

定义2-3：设 $H$ 是群 $G$ 的子群。如果 $H$ 的每一个左陪集也是右陪集，即对于任意 $a\in G$ ，总有 $aH=Ha$ 则称 $H$ 为 $G$ 的正规子群，或不变子群。

定理2-5：设 $H$ 是群 $G$ 的子群。则下面4个命题是等价的。

(1) $H$ 是群的正规子群；
(2)对于任意 $a\in G$ ，总有 $aHa^{-1}=H$
(3)对于任意 $a\in G$ 及任意 $h \in H$ ，总有 $aha^{-1} \in H$
(4)对于任意 $a\in G$ ，总有 $aHa^{-1} \subseteq H$

三、循环群