本文涉及知识点
C++图论 缩点 强连通分量
P1262 间谍网络
题目描述
由于外国间谍的大量渗入，国家安全正处于高度的危机之中。如果 A 间谍手中掌握着关于 B 间谍的犯罪证据，则称 A 可以揭发 B。有些间谍收受贿赂，只要给他们一定数量的美元，他们就愿意交出手中掌握的全部情报。所以，如果我们能够收买一些间谍的话，我们就可能控制间谍网中的每一分子。因为一旦我们逮捕了一个间谍，他手中掌握的情报都将归我们所有，这样就有可能逮捕新的间谍，掌握新的情报。
我们的反间谍机关提供了一份资料，包括所有已知的受贿的间谍，以及他们愿意收受的具体数额。同时我们还知道哪些间谍手中具体掌握了哪些间谍的资料。假设总共有 n n n 个间谍（ n n n 不超过 3000 3000 3000），每个间谍分别用 1 1 1 到 3000 3000 3000 的整数来标识。
请根据这份资料，判断我们是否有可能控制全部的间谍，如果可以，求出我们所需要支付的最少资金。否则，输出不能被控制的一个间谍。
输入格式
第一行只有一个整数 n n n。
第二行是整数 p p p。表示愿意被收买的人数， 1 ≤ p ≤ n 1\le p\le n 1≤p≤n。
接下来的 p p p 行，每行有两个整数，第一个数是一个愿意被收买的间谍的编号，第二个数表示他将会被收买的数额。这个数额不超过 20000 20000 20000。
紧跟着一行只有一个整数 r r r， 1 ≤ r ≤ 8000 1\le r\le8000 1≤r≤8000。然后 r r r 行，每行两个正整数，表示数对 ( A , B ) (A, B) (A,B)， A A A 间谍掌握 B B B 间谍的证据。
输出格式
如果可以控制所有间谍，第一行输出 YES，并在第二行输出所需要支付的贿金最小值。否则输出 NO，并在第二行输出不能控制的间谍中，编号最小的间谍编号。
输入输出样例 #1
输入 #1
3
2
1 10
2 100
2
1 3
2 3
输出 #1
YES
110
输入输出样例 #2
输入 #2
4
2
1 100
4 200
2
1 2
3 4
输出 #2
NO
3
缩点 无向图寻找环
简化： 存在某个节点能访问所有节点，如节点0。
m_vTime[cur]记录cur的DFS序。未处理的节点,m_vTime[cur]等于-1。已经处理的节点，DFS直接返回，保证每个点只DFS一次。
性质一：cur直接或间接DFS到的任何节点node，m_vTime[cur] < m_vTime[node]。则node一定是cur的后代。且DFS(cur)结束时，cur所有的后代都访问结束。
vPar[cur]记录cur的父节点，由于只会DFS一次，除根节点外，故只有一个父节点。
一，树边。 父节点 → 子节点 父节点\rightarrow 子节点 父节点→子节点。DSF序小指向DFS序大。
二，前向边。 祖先 → 后代 祖先\rightarrow 后代 祖先→后代，全部删除不影响环。任意祖先通过树边可以到达任意后代。DSF序小指向DFS序大。
三，后向边(回边)。 后代 → 祖先 后代\rightarrow 祖先 后代→祖先DSF序大指向DFS序小。
四，横向边。其它边。 D S F 序大指向 D F S 序小。 ∗ ∗ 性质二 ∗ ∗ ：任意环一定不包括横边，令横边 DSF序大指向DFS序小。 **性质二**：任意环一定不包括横边，令横边 DSF序大指向DFS序小。∗∗性质二∗∗：任意环一定不包括横边，令横边u\rightarrow v$，由于是环v也能访问u，且DFS序小，根据性质一是回边。
性质三：只有树边无法构成环，DFS只会越来越大；同理，只有回边，也无环。环必须有树边和回边。
性质四：一个环有多条回边，可以拆分若干个只有一条回边的环（我简称基础环)。
时间复杂度：O(边数+点数)
环的合并 多个环有共同点则是一个强连通区域
性质五：基础环的回边是 u → v u\rightarrow v u→v,长度是len，则构成的点是： u 的 [ 0 到 l e n − 1 ] 级祖先 u的[0到len-1]级祖先 u的[0到len−1]级祖先。
极端情况下，长度n的链，回边 n × ( n − 1 ) 2 \frac{n\times(n-1)}{2} 2n×(n−1)，环长n。时间复杂度：O(nnn)
cnt[cur]=i，表示节点cur的0到i-1级祖先构成环。如果cur有多个环，取cnt[cur]最大的。
m_vSortToNode[i] 记录DFS序为i的节点。
通过cur逆序访问m_vSortToNode。如果cur存在父节点，且cnt[cur] > 0{uf.连通cur和父节点。MaxSelf(cnt[父节点],cur[cur]-1)}
uf中的连通区域可以缩成一个点。
时间复杂度：O(n)
不知道是否有点连通所有点
DFS(0…N-1)。由于环上任意一点，可以访问环上其它点，故DFS到环上任意一点，则可以DFS到整个环。即环不会分成两部分。
注意：DFS的时候，生成各点层次、父节点、各节点DFS序、各DFS序对应节点。
DFS(当前节点，父节点，层次)
缩点
如果存在环，缩成点，收买价格取最小值。
出掉自环，重边出不出都可以。
所有入度为0的间谍都要收买。
如果存在无法收买的间谍
缩点后的有向图G1的临接表为neiBo1，can记录所有能够收买的间谍组(一个间谍对应原图的一个点，一组间谍对应G1的一个点)。
以can为0层，求层次。层次-1的间谍组无法收买。求无法收买的间谍组的间谍的最小编号。
代码
核心代码
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
cin >> n;
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
vector<T> ret;
T tmp;
while (cin >> tmp) {
ret.emplace_back(tmp);
if ('\n' == cin.get()) { break; }
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = -x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp--] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p - puffer > N - 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
class CNeiBo
{
public:
static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(n);
for (const auto& [i1, i2] : edges)
{
vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
for (const auto& [u, v, w] : edges)
{
vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
{
vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
{
for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
{
if (neiBoMat[i][j])
{
neiBo[i].emplace_back(j);
neiBo[j].emplace_back(i);
}
}
}
return neiBo;
}
};
class CBFSLeve {
public:
static vector<int> Leve(const vector<vector<int>>& neiBo, vector<int> start) {
vector<int> leves(neiBo.size(), -1);
for (const auto& s : start) {
leves[s] = 0;
}
for (int i = 0; i < start.size(); i++) {
for (const auto& next : neiBo[start[i]]) {
if (-1 != leves[next]) { continue; }
leves[next] = leves[start[i]] + 1;
start.emplace_back(next);
}
}
return leves;
}
template<class NextFun>
static vector<int> Leve(int N, NextFun nextFun, vector<int> start) {
vector<int> leves(N, -1);
for (const auto& s : start) {
leves[s] = 0;
}
for (int i = 0; i < start.size(); i++) {
auto nexts = nextFun(start[i]);
for (const auto& next : nexts) {
if (-1 != leves[next]) { continue; }
leves[next] = leves[start[i]] + 1;
start.emplace_back(next);
}
}
return leves;
}
static vector<vector<int>> LeveNodes(const vector<int>& leves) {
const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());
vector<vector<int>> ret(iMaxLeve + 1);
for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {
ret[leves[i]].emplace_back(i);
}
return ret;
};
static vector<int> LeveSort(const vector<int>& leves) {
const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());
vector<vector<int>> leveNodes(iMaxLeve + 1);
for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {
leveNodes[leves[i]].emplace_back(i);
}
vector<int> ret;
for (const auto& v : leveNodes) {
ret.insert(ret.end(), v.begin(), v.end());
}
return ret;
};
};
class CSCCTarjan {
public:
CSCCTarjan(vector<vector<int>>& neiBo) :m_neiBo(neiBo) {
const int N = neiBo.size();
m_vTime.assign(N, -1);
m_vBack.assign(N, -1);
m_vIsStack.assign(N, false);
for (int i = 0; i < N; i++) {
DFS(i);
}
}
vector<vector<int>> m_sccs;
protected:
void DFS(int cur) {
if (-1 != m_vTime[cur]) { return; }
m_vTime[cur] = m_vBack[cur] = m_iTimes++;
m_vIsStack[cur] = true;
m_sta.emplace(cur);
for (const auto& next : m_neiBo[cur]) {
if (-1 == m_vTime[next]) {
DFS(next);
m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vBack[next]);
}
else if (m_vIsStack[next]) {
m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vTime[next]);
}
}
if (m_vTime[cur] != m_vBack[cur]) { return; }
vector<int> scc;
while (m_sta.size())
{
auto u = m_sta.top(); m_sta.pop();
scc.emplace_back(u);
m_vIsStack[u] = false;
if (cur == u) { break; }
}
m_sccs.emplace_back(scc);
}
vector<vector<int>>& m_neiBo;
int m_iTimes = 0;
vector<int> m_vTime, m_vBack;
vector<bool> m_vIsStack;
stack<int> m_sta;
};
class Solution {
public:
pair<bool, int> Ans(const int N, vector<pair<int, int>>& vNoMoney, vector<pair<int, int>>& edge) {
vector<int> need(N, INT_MAX / 2);
for (const auto& [v, Mon] : vNoMoney) {
need[v - 1] = Mon;
}
auto neiBo = CNeiBo::Two(N, edge, true, 1);
CSCCTarjan sp(neiBo);
vector<vector<int>>& sccs = sp.m_sccs;
vector<int> ptNew(N);
iota(ptNew.begin(), ptNew.end(), 0);
vector<int> v0;
for (auto& v : sccs) {
nth_element(v.begin(), v.begin(), v.end());
v0.emplace_back(v[0]);
for (int i = 1; i < v.size(); i++) {
need[v[0]] = min(need[v[0]], need[v[i]]);
ptNew[v[i]] = v[0];
}
}
sort(v0.begin(), v0.end());
vector<int> in(N);
vector<vector<int>> neiBo1(N);
for (int i = 0; i < N; i++) {
const int p1 = ptNew[i];
for (const auto& next : neiBo[i]) {
const int p2 = ptNew[next];
if (p1 == p2) { continue; }//忽略自环
in[p2]++;
neiBo1[p1].emplace_back(p2);
}
}
int ans = 0;
bool bCanAll = true;
for (auto& n : v0) {
if (0 != in[n]) { continue; }
if (need[n] >= INT_MAX / 2) { bCanAll = false; break; }
ans += need[n];
}
if (bCanAll) {
return { true,ans };
}
vector<int> can;
for (auto& n : v0) {
if (need[n] >= INT_MAX / 2) { continue; }
can.emplace_back(n);
}
auto leves = CBFSLeve::Leve(neiBo1, can);
int iMin = INT_MAX / 2;
for (const auto& n : v0) {
if (-1 == leves[n]) { return { false,n + 1 }; }
}
return { true,-1 };
}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
int n;
cin >> n;
auto noMoney = Read<pair<int, int>>();
auto edge = Read<pair<int, int>>();
#ifdef _DEBUG
printf("N=%d",n);
Out(noMoney, ",noMoney=");
Out(edge, ",edge=");
#endif // DEBUG
auto res = Solution().Ans(n,noMoney,edge);
cout << (res.first ? "YES" : "NO")<<"\n";
cout << res.second << "\n";
return 0;
};
单元测试
int N;
vector<pair<int, int>> noMoney, edge;
TEST_METHOD(TestMethod01)
{
N = 3, noMoney = { {1,10},{2,100} }, edge = { {1,3},{2,3} };
auto res = Solution().Ans(N, noMoney,edge);
AssertEx({true,110 }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod02)
{
N = 4, noMoney = { {1,100},{4,200} }, edge = { {1,2},{3,4} };
auto res = Solution().Ans(N, noMoney, edge);
AssertEx({ false,3 }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod03)
{
N = 4, noMoney = { {1,2},{2,2} ,{3,3},{4,4} }, edge = { {1,2},{1,3},{1,4},{4,3},{3,2},{2,1} };
auto res = Solution().Ans(N, noMoney, edge);
AssertEx({ true,2 }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod05)
{
N = 9, noMoney = { {1,100},{9,10000} }, edge = { {1,3},{4,3},{2,4},{2,1},{8,5},{8,7},{5,6},{7,6},{4,5} };
auto res = Solution().Ans(N, noMoney, edge);
AssertEx({ false,2 }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod06)
{
N = 4, noMoney = { {4,10} }, edge = { {3,2},{3,1} };
auto res = Solution().Ans(N, noMoney, edge);
AssertEx({ false,1 }, res);
}
TEST_METHOD(TestMethod04)
{
int n = 5; // Number of nodes
vector<vector<int>> adj(n);
// Example graph
adj[0] = { 1 };
adj[1] = { 2 };
adj[2] = { 0, 3 };
adj[3] = { 4 };
adj[4] = { 3 };
vector<vector<int>> sccs = CShrinkPoint().kosaraju(adj, n);
}
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视频课程
先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
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https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
