使用马尔科夫蒙特卡洛方法对非常规的概率密度函数进行样本抽取

马尔科夫蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo，MCMC）方法是一种强大的工具，用于从复杂的概率分布中抽取样本。对于非常规的概率密度函数（PDF），MCMC方法尤其有用，因为这些分布可能难以直接采样。其中，Metropolis-Hastings算法是MCMC方法中最常用的一种。

Metropolis-Hastings算法的基本步骤

1. 初始化：选择一个初始状态 $x_0$。

2. 提议分布：选择一个提议分布 $q(x^{\prime }|x)$ ，用于生成候选样本 $x^{\prime }$ 。

3. 接受率计算：计算接受率 $\alpha$ ：

   $\alpha =\min \left(1,\frac{p(x^{\prime })q(x|x^{\prime })}{p(x)q(x^{\prime }|x)}\right)$

   其中 $p(x)$ 是目标分布。

4. 采样决策：生成一个均匀分布的随机数 $u$ 。如果 $u<\alpha$，则接受 $x^{\prime }$ 作为新的样本；否则，保持当前样本不变。

5. 重复：重复上述步骤，直到获得足够多的样本。

MATLAB实现

使用Metropolis-Hastings算法从非常规概率密度函数中抽取样本的MATLAB示例。

定义目标分布

假设我们有一个非常规的概率密度函数 $p(x)$，例如：
$p(x)=\frac{1}{Z}\exp \left(-\frac{(x-3{)}^2}{2}-\frac{(x+3{)}^2}{2}\right)$
其中 $Z$ 是归一化常数。

function p = target_pdf(x)
    % 目标概率密度函数
    p = exp(-((x-3).^2)/2 - ((x+3).^2)/2);
end

Metropolis-Hastings算法实现

function [samples, acceptance_rate] = metropolis_hastings(target_pdf, num_samples, initial_state, proposal_std)
    % 输入参数：
    % target_pdf - 目标概率密度函数
    % num_samples - 需要生成的样本数量
    % initial_state - 初始状态
    % proposal_std - 提议分布的标准差

    % 初始化
    samples = zeros(1, num_samples);
    current_state = initial_state;
    accepted = 0;

    % 提议分布为正态分布
    proposal_dist = @(x) normpdf(x, 0, proposal_std);

    % Metropolis-Hastings算法
    for i = 1:num_samples
        % 生成候选样本
        candidate = current_state + proposal_std * randn;

        % 计算接受率
        alpha = min(1, (target_pdf(candidate) * proposal_dist(current_state - candidate)) / ...
                         (target_pdf(current_state) * proposal_dist(candidate - current_state)));

        % 决定是否接受候选样本
        if rand < alpha
            current_state = candidate;
            accepted = accepted + 1;
        end

        % 保存样本
        samples(i) = current_state;
    end

    % 计算接受率
    acceptance_rate = accepted / num_samples;
end

示例

% 参数设置
num_samples = 10000; % 需要生成的样本数量
initial_state = 0; % 初始状态
proposal_std = 1; % 提议分布的标准差

% 调用Metropolis-Hastings算法
[samples, acceptance_rate] = metropolis_hastings(@target_pdf, num_samples, initial_state, proposal_std);

% 显示结果
figure;
histogram(samples, 100);
title('Sampled Distribution');
xlabel('x');
ylabel('Frequency');

disp(['Acceptance Rate: ', num2str(acceptance_rate)]);

参考代码 使用马尔科夫蒙特卡洛方法对非常规的概率密度函数进行样本抽取 youwenfan.com/contentcsa/78939.html

说明

1. 目标分布：目标分布 ( p(x) ) 可以是任意复杂的函数，只要能够计算其值即可。
2. 提议分布：提议分布 ( q(x’|x) ) 通常选择为正态分布，但也可以根据问题选择其他分布。
3. 接受率：接受率是一个重要的指标，通常希望接受率在0.2到0.5之间。如果接受率过高或过低，可以通过调整提议分布的标准差来优化。

上述代码，可以使用Metropolis-Hastings算法从非常规的概率密度函数中抽取样本，并通过直方图观察样本分布。