【高等数学】第七章 微分方程——第三节 齐次方程

上一节：【高等数学】第七章 微分方程——第二节 可分离变量的微分方程
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1. 齐次方程

• 如果一阶微分方程可化成
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\phi \left(\frac{y}{x}\right)$$
  的形式，那么就称这方程为齐次方程
• 解法
  令$u=\frac{y}{x},y=ux,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u$
  代入齐次方程得：$x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+u=\phi (u)$
  分离变量得：$\frac{\mathrm{d}u}{\phi (u)-u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$
  两边积分得：$\int \frac{\mathrm{d}u}{\phi (u)-u}=\int \frac{\mathrm{d}x}{x}$
  求出积分，再将$u=\frac{y}{x}$回代，便得齐次方程的通解

2. 可化为齐次的方程

• 方程
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1}$$
  当$c=c_1=0$时是齐次的，否则不是齐次的. 在非齐次的情形，可用变换把它化为齐次方程
• 解法
  令$x=X+h,y=Y+k$，其中$h,k$是待定系数
  $\mathrm{d}x=\mathrm{d}X,\mathrm{d}y=\mathrm{d}Y$
  $\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{aX+bY+ah+bk+c}{a_{1}X+b_{1}Y+a_{1}h+b_{1}k+c_1}$
  • 如果方程组
    $$\{\begin{array}{l}ah+bk+c=0\\ a_{1}h+b_{1}k+c_1=0\end{array}$$
    的系数行列式$\left|\begin{array}{cc}a& b\\ a_1& b_1\end{array}\right|\ne 0$，即$\frac{a_1}{a}\ne \frac{b_1}{b}$，那么可以定出$h$及$k$使它们满足上述方程组. 这样便化为齐次方程
    $$\frac{\mathrm{d}Y}{\mathrm{d}X}=\frac{aX+bY}{a_{1}X+b_{1}Y}.$$
  • 当$\frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b}$时，$h$及$k$无法求得，因此上述方法不能应用. 但这时令$\frac{a_1}{a}=\frac{b_1}{b}=\lambda$，从而方程可写成
    $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{ax+by+c}{\lambda (ax+by)+c_1}.$$
    令$v=ax+by$，则
    $$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=a+b\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\text{或}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{b}\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a\right).$$
    于是方程成为
    $$\frac{1}{b}\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}-a\right)=\frac{v+c}{\lambda v+c_1},$$
    这是可分离变量的方程.
• 以上所介绍的方法可以应用于更一般的方程
  $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f\left(\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1}\right).$$

  关键在于消除$c,c_1$或者$x,y$

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