【高等数学】第七章 微分方程——第六节 高阶线性微分方程

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• 方程$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+P(x)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+Q(x)y=f(x)$$叫做二阶微分方程。当$f(x)\equiv 0$，方程是齐次的；当$f(x)\not\equiv 0$，方程是非齐次的

1. 线性微分方程解的结构

• 二阶齐次线性微分方程解的性质$$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$$
  • 线性叠加性
    如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次线性微分方程的两个解
    那么$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$也是该方程的解，其中$C_1,C_2$是任意常数

    这个性质说明二阶齐次线性微分方程解空间是线性空间

  • 通解结构
    如果$y_1(x)$与$y_2(x)$是二阶齐次线性微分方程的两个线性无关的特解
    那么$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$就是该方程的通解，其中$C_1,C_2$是任意常数

    二阶齐次线性微分方程的解需要两个初值条件才能确定，因此解空间是二维的

• $n$阶齐次线性微分方程的通解结构
  如果$y_1(x),y_2(x),\cdots ,y_n(x)$是$n$阶齐次线性方程$$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}(x)y^{\prime }+a_n(x)y=0$$的$n$个线性无关的解
  那么，此方程的通解为
  $$y=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)+\cdots +C_n{y}_n(x)$$其中$C_1,C_2,\cdots ,C_n$为任意常数.

  $n$阶齐次线性微分方程的解需要$n$个初值条件才能确定，因此解空间是$n$维的

• 二阶非齐次线性微分方程的通解结构（可以推广到$n$阶）
  设 $y^{\ast }(x)$ 是二阶非齐次线性方程
  $$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f(x)$$
  的一个特解
  $Y(x)$ 是与二阶非齐次线性方程对应的齐次方程的通解,
  则$$y=Y(x)+y^{\ast }(x)$$
  是二阶非齐次线性微分方程的通解

  二阶非齐次线性微分方程的解需要两个初值条件才能确定，因此解空间是二维的

• 线性微分方程的叠加原理（可以推广到$n$阶）
  设非齐次线性方程的右端$f(x)$是两个函数之和，即
  $$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)+f_2(x)$$
  而$y_1^{\ast }(x)$与$y_2^{\ast }(x)$分别是方程
  $$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_1(x)$$
  与
  $$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=f_2(x)$$
  的特解
  则$y_1^{\ast }(x)+y_2^{\ast }(x)$就是原方程的特解

2. 常数变易法

• 思想（可以推广到高阶）
  将齐次线性微分方程通解中的任意常数换成未知函数，求对应的非齐次线性微分方程的通解
• 以二阶非齐次线性微分方程为例
  已知二阶齐次线性微分方程的通解为$Y(x)=C_1{y}_1(x)+C_2{y}_2(x)$
  令$C_1=v_1(x),C_2=v_2(x)$，得$y=v_1{y}_1+v_2{y}_2$
  $y^{\prime }=y_1{v}_1^{\prime }+y_2{v}_2^{\prime }+y_1^{\prime }{v}_1+y_2^{\prime }{v}_2$
  由于$v_1,v_2$只需使得$y=v_1{y}_1+v_2{y}_2$满足二阶非齐次线性微分方程，所以可规定$v_1,v_2$再满足$y_1{v}_1^{\prime }+y_2{v}_2^{\prime }=0$
  从而$y^{\prime }=y_1^{\prime }{v}_1+y_2^{\prime }{v}_2$
  $y^{\prime \prime }=y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }+y_1^{\prime \prime }{v}_1+y_2^{\prime \prime }{v}_2$
  把$y,y^{\prime },y^{\prime \prime }$代入二阶非齐次线性微分方程得
  $y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }+(y_1^{\prime \prime }+P{y}_1^{\prime }+Q{y}_1)v_1+(y_2^{\prime \prime }+P{y}_2^{\prime }+Q{y}_2)v_2=f$
  由于$y_1,y_2$是对应的二阶齐次线性微分方程的解，因此
  $y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }=f$
  联立方程$$\{\begin{array}{l}{y}_1{v}_1^{\prime }+y_2{v}_2^{\prime }=0\\ y_1^{\prime }{v}_1^{\prime }+y_2^{\prime }{v}_2^{\prime }=f\end{array}$$
  如果系数行列式$$W=\left|\begin{array}{cc}{y}_1& y_2\\ y_1^{\prime }& y_2^{\prime }\end{array}\right|=y_1{y}_2^{\prime }-y_1^{\prime }{y}_2\ne 0$$
  可求得$$v_1^{\prime }=-\frac{y_{2}f}{W},v_2^{\prime }=\frac{y_{1}f}{W}.$$
  对上两式积分(假定$f(x)$连续)，得
  $$v_1=C_1+\int \left(-\frac{y_{2}f}{W}\right)\mathrm{d}x,v_2=C_2+\int \frac{y_{1}f}{W}\mathrm{d}x.$$
  于是得二阶非齐次线性微分方程的通解为
  $$y=C_1{y}_1+C_2{y}_2-y_1\int \frac{y_{2}f}{W}\mathrm{d}x+y_2\int \frac{y_{1}f}{W}\mathrm{d}x.$$

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