自适应反步控制
1. 基本思想
基于传统反步法，考虑了系统方程中以线性形式出现的未知参数。核心思想包括参数估计率和控制率。
考虑二阶系统：
{ x ˙ 1 = x 2 + φ 1 T ( x 1 ) θ x ˙ 2 = u + φ 2 T ( x 1 , x 2 ) θ (1) \begin{cases} \dot{x}_1 = x_2 + \varphi_1^{T}(x_1)\theta \\ \dot{x}_2 = u + \varphi_2^{T}(x_1, x_2)\theta \end{cases} \tag{1} {x˙1=x2+φ1T(x1)θx˙2=u+φ2T(x1,x2)θ(1)
其中 θ \theta θ 是未知的常数参数（列向量）， φ 1 ( x 1 ) \varphi_1(x_1) φ1(x1) 和 φ 2 ( x 1 , x 2 ) \varphi_2(x_1,x_2) φ2(x1,x2) 为已知的非线性函数。 u u u 是控制输入， x r x_r xr 是 x 1 x_1 x1 期望跟踪到的轨迹。
设计目标有二：确保闭环系统的所有状态保持有界；让 x 1 x_1 x1 渐进跟踪到 x r x_r xr。
假设：参考轨迹 x r x_r xr 及其导数有界并可预测； φ 1 ( x 1 ) \varphi_1(x_1) φ1(x1) 和 φ 2 ( x 1 , x 2 ) \varphi_2(x_1,x_2) φ2(x1,x2) 是已知且连续可微的；参数不确定性是线性形式出现的。这些假设的目的是保证在设计自适应律时，Lyapunov 导函数可以被有效约束，并且更新率是可实现的。
如果参数 θ \theta θ 已知，可以使用静态积分分反步法设计虚拟控制率 α 1 \alpha_1 α1，但此处的参数 θ \theta θ 并非已知，所以需要设计合适的 θ \theta θ 更新规则以保证闭环稳定。
A. 第一步
定义跟踪误差
z 1 = x 1 − x r (2) z_1 = x_1 - x_r \tag{2} z1=x1−xr(2)
z 2 = x 2 − α 1 − x ˙ r (3) z_2 = x_2 - \alpha_1 - \dot{x}_r \tag{3} z2=x2−α1−x˙r(3)
z 2 z_2 z2 表示“实际 x 2 x_2 x2 与理想目标值 α 1 + x ˙ r \alpha_1 + \dot{x}_r α1+x˙r 之间的偏差”。
对(2)求导数，并将(1)、(3)带入：
z ˙ 1 = x ˙ 1 − x ˙ r = x 2 + φ 1 T ( x 1 ) θ − x 2 + z 2 + α 1 = z 2 + α 1 + φ 1 T θ (4) \dot{z}_1 = \dot{x}_1 - \dot{x}_r = x_2 + \varphi_1^{T}(x_1)\theta - x_2 + z_2 + \alpha_1 = z_2 + \alpha_1 + \varphi_1^{T}\theta \tag{4} z˙1=x˙1−x˙r=x2+φ1T(x1)θ−x2+z2+α1=z2+α1+φ1Tθ(4)
其中 θ \theta θ 是未知的，不能直接使用已知参数的反步法。设计 θ ^ 1 \hat{\theta}_1 θ^1 用以近似 θ \theta θ；同时设计一个参数更新率来在线调整 θ ^ 1 \hat{\theta}_1 θ^1。
设计 Lyapunov 候选函数：
V 1 = 1 2 z 1 2 + 1 2 θ ~ 1 T Γ − 1 θ ~ 1 (5) V_1 = \frac{1}{2} z_1^2 + \frac{1}{2} \tilde{\theta}_1^{T} \Gamma^{-1} \tilde{\theta}_1 \tag{5} V1=21z12+21θ~1TΓ−1θ~1(5)
其中 Γ > 0 \Gamma > 0 Γ>0 是参数更新率的自适应增益矩阵， θ ~ 1 = θ − θ ^ 1 \tilde{\theta}_1 = \theta - \hat{\theta}_1 θ~1=θ−θ^1 表示参数估计误差。
对其求导：
V ˙ 1 = z 1 z ˙ 1 + θ ~ 1 T Γ − 1 θ ~ ˙ 1 (6) \dot{V}_1 = z_1 \dot{z}_1 + \tilde{\theta}_1^{T} \Gamma^{-1} \dot{\tilde{\theta}}_1 \tag{6} V˙1=z1z˙1+θ~1TΓ−1θ~˙1(6)
将(4)带入：
V ˙ 1 = z 1 ( z 2 + α 1 + φ 1 T θ ) + θ ~ 1 T Γ − 1 θ ~ ˙ 1 (7) \dot{V}_1 = z_1(z_2 + \alpha_1 + \varphi_1^{T}\theta) + \tilde{\theta}_1^{T} \Gamma^{-1} \dot{\tilde{\theta}}_1 \tag{7} V˙1=z1(z2+α1+φ1Tθ)+θ~1TΓ−1θ~˙1(7)
展开：
V ˙ 1 = z 1 z 2 + z 1 α 1 + z 1 φ 1 T θ ^ 1 + z 1 φ 1 T θ ~ 1 − θ ~ 1 T Γ − 1 θ ^ ˙ 1 (8) \dot{V}_1 = z_1 z_2 + z_1 \alpha_1 + z_1 \varphi_1^{T} \hat{\theta}_1 + z_1 \varphi_1^{T} \tilde{\theta}_1 - \tilde{\theta}_1^{T} \Gamma^{-1} \dot{\hat{\theta}}_1 \tag{8} V˙1=z1z2+z1α1+z1φ1Tθ^1+z1φ1Tθ~1−θ~1TΓ−1θ^˙1(8)
由于 φ 1 T θ ~ = θ ~ 1 T φ 1 \varphi_1^{T}\tilde{\theta} = \tilde{\theta}_1^{T}\varphi_1 φ1Tθ~=θ~1Tφ1，可得：
V ˙ 1 = z 1 z 2 + z 1 α 1 + z 1 φ 1 T θ ^ 1 + θ ~ 1 T ( φ 1 z 1 − Γ − 1 θ ^ ˙ 1 ) (9) \dot{V}_1 = z_1 z_2 + z_1 \alpha_1 + z_1 \varphi_1^{T} \hat{\theta}_1 + \tilde{\theta}_1^{T}(\varphi_1 z_1 - \Gamma^{-1} \dot{\hat{\theta}}_1) \tag{9} V˙1=z1z2+z1α1+z1φ1Tθ^1+θ~1T(φ1z1−Γ−1θ^˙1)(9)
定义虚拟控制 α 1 \alpha_1 α1 和参数更新率：
α 1 = − c 1 z 1 − φ 1 T θ ^ 1 \alpha_1 = -c_1 z_1 - \varphi_1^{T} \hat{\theta}_1 α1=−c1z1−φ1Tθ^1
θ ^ ˙ 1 = Γ φ 1 z 1 (10) \dot{\hat{\theta}}_1 = \Gamma \varphi_1 z_1 \tag{10} θ^˙1=Γφ1z1(10)
带入可得：
V ˙ 1 = − c 1 z 1 2 + z 1 z 2 (11) \dot{V}_1 = -c_1 z_1^2 + z_1 z_2 \tag{11} V˙1=−c1z12+z1z2(11)
B. 第二步
设计实际控制输入 u u u，使 z 2 → 0 z_2 \to 0 z2→0。
由(3)可得：
z ˙ 2 = x ˙ 2 − α ˙ 1 − x ¨ r (12) \dot{z}_2 = \dot{x}_2 - \dot{\alpha}_1 - \ddot{x}_r \tag{12} z˙2=x˙2−α˙1−x¨r(12)
注意 α 1 \alpha_1 α1 实际上是 x 1 x_1 x1、 θ ^ 1 \hat{\theta}_1 θ^1、 x r x_r xr 的函数，故采用复合函数求导方式。
选取新的 Lyapunov 函数：
V 2 = V 1 + 1 2 z 2 2 (14) V_2 = V_1 + \frac{1}{2} z_2^2 \tag{14} V2=V1+21z22(14)
求导：
V ˙ 2 = − c 1 z 1 2 + z 2 ( z 1 + z ˙ 2 ) (15) \dot{V}_2 = -c_1 z_1^2 + z_2(z_1 + \dot{z}_2) \tag{15} V˙2=−c1z12+z2(z1+z˙2)(15)
为消除未知参数项 θ \theta θ，设计：
u = − z 1 − c 2 z 2 + ∂ α 1 ∂ x 1 x 2 − ( φ 2 − ∂ α 1 ∂ x 1 φ 1 ) T θ ^ 2 + ∂ α 1 ∂ θ ^ 1 Γ φ 1 z 1 + ∂ α 1 ∂ x r x ˙ r + x ¨ r (18) u = -z_1 - c_2 z_2 + \frac{\partial \alpha_1}{\partial x_1} x_2 - \left( \varphi_2 - \frac{\partial \alpha_1}{\partial x_1} \varphi_1 \right)^T \hat{\theta}_2+ \frac{\partial \alpha_1}{\partial \hat{\theta}_1} \Gamma \varphi_1 z_1 + \frac{\partial \alpha_1}{\partial x_r} \dot{x}_r + \ddot{x}_r \tag{18} u=−z1−c2z2+∂x1∂α1x2−(φ2−∂x1∂α1φ1)Tθ^2+∂θ^1∂α1Γφ1z1+∂xr∂α1x˙r+x¨r(18)
此时(13)变为：
z ˙ 2 = − z 1 − c 2 z 2 + ( φ 2 − ∂ α 1 ∂ x 1 φ 1 ) T ( θ − θ ^ 2 ) (19) \dot{z}_2 = -z_1 - c_2 z_2 + \left( \varphi_2 - \frac{\partial \alpha_1}{\partial x_1} \varphi_1 \right)^T (\theta - \hat{\theta}_2) \tag{19} z˙2=−z1−c2z2+(φ2−∂x1∂α1φ1)T(θ−θ^2)(19)
定义新的 Lyapunov 函数：
V 2 = V 1 + 1 2 z 2 2 + 1 2 θ ~ 2 T Γ − 1 θ ~ 2 (20) V_2 = V_1 + \frac{1}{2} z_2^2 + \frac{1}{2} \tilde{\theta}_2^{T} \Gamma^{-1} \tilde{\theta}_2 \tag{20} V2=V1+21z22+21θ~2TΓ−1θ~2(20)
求导：
V ˙ 2 = − c 1 z 1 2 − c 2 z 2 2 − θ ~ 2 T Γ − 1 θ ^ ˙ 2 + θ ~ 2 T ( φ 2 − ∂ α 1 ∂ x 1 φ 1 ) z 2 (21) \dot{V}_2 = -c_1 z_1^2 - c_2 z_2^2 - \tilde{\theta}_2^{T} \Gamma^{-1} \dot{\hat{\theta}}_2 + \tilde{\theta}_2^{T} \left( \varphi_2 - \frac{\partial \alpha_1}{\partial x_1} \varphi_1 \right) z_2 \tag{21} V˙2=−c1z12−c2z22−θ~2TΓ−1θ^˙2+θ~2T(φ2−∂x1∂α1φ1)z2(21)
令：
θ ^ ˙ 2 = Γ ( φ 2 − ∂ α 1 ∂ x 1 φ 1 ) z 2 (22) \dot{\hat{\theta}}_2 = \Gamma \left( \varphi_2 - \frac{\partial \alpha_1}{\partial x_1} \varphi_1 \right) z_2 \tag{22} θ^˙2=Γ(φ2−∂x1∂α1φ1)z2(22)
最终得到：
V ˙ 2 = − c 1 z 1 2 − c 2 z 2 2 (23) \dot{V}_2 = -c_1 z_1^2 - c_2 z_2^2 \tag{23} V˙2=−c1z12−c2z22(23)
可保证系统全局渐近稳定。