线性代数 · 矩阵 | 最小多项式

注：本文为 “矩阵 | 最小多项式” 相关合辑。
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最小多项式

橘子蜂蜜 于 2019-05-22 22:48:25 发布

根据哈密顿 - 凯莱（Hamilton - Cayley）定理，任给数域 $P$ 上的一个 $n$ 级矩阵 $A$，总可以找到数域 $P$ 上一个多项式 $f(x)$，使 $f(A)=0$。如果多项式 $f(x)$ 满足 $f(A)=0$，我们就称 $f(x)$ 以 $A$ 为根。在所有以 $A$ 为根的多项式中，次数最低且首项系数为 $1$ 的多项式称为 $A$ 的最小多项式。

接下来讨论如何应用最小多项式来判断一个矩阵能否对角化。

引理 1：矩阵 $A$ 的最小多项式是唯一的。

引理 2：设 $g(x)$ 是矩阵 $A$ 的最小多项式，那么 $f(x)$ 以 $A$ 为根的充分必要条件是 $g(x)$ 整除 $f(x)$，即 $g(x)\mid f(x)$。

由此可知，矩阵 $A$ 的最小多项式是 $A$ 的特征多项式的一个因式。

例 1：数量矩阵 $kE$ 的最小多项式为 $x-k$。特别地，单位矩阵的最小多项式为 $x-1$，零矩阵的最小多项式为 $x$。

另一方面，如果 $A$ 的最小多项式是一次多项式，那么 $A$ 一定是数量矩阵。

例 2：设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& \\ & 1& \\ & & 1\end{array}\right)$，求 $A$ 的最小多项式。

解：因为 $A$ 的特征多项式为 $|xE-A|=(x-1{)}^3$，所以 $A$ 的最小多项式为 $(x-1{)}^3$ 的因式。由于 $A-E\ne 0$，而 $(A-E{)}^2=0$，因此 $A$ 的最小多项式为 $(x-1{)}^2$。

如果矩阵 $A$ 与 $B$ 相似，即 $B=T^{-1}AT$，那么对任一多项式 $f(x)$，有 $f(B)=T^{-1}f(A)T$。因此，$f(B)=0$ 当且仅当 $f(A)=0$。这说明相似矩阵具有相同的最小多项式，反之不然，即最小多项式相同的矩阵不一定相似。

例 3：设 $A=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& & \\ & 1& & \\ & & 1& \\ & & & 2\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& & \\ & 1& & \\ & & 2& \\ & & & 2\end{array}\right)$。

$A$ 与 $B$ 的最小多项式都等于 $(x-1{)}^2(x-2)$，但是它们的特征多项式不同，因此 $A$ 和 $B$ 不相似。

引理 3：设 $A$ 是一个准对角矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}{A}_1& \\ & A_2\end{array}\right)$，并设 $A_1$ 的最小多项式为 $g_1(x)$，$A_2$ 的最小多项式为 $g_2(x)$，那么 $A$ 的最小多项式为 $g_1(x)$ 与 $g_2(x)$ 的最小公倍式 $[g_1(x),g_2(x)]$。

这个结论可以推广到 $A$ 为若干个矩阵组成的准对角矩阵的情形，即：如果

$A=\left(\begin{array}{cccc}{A}_1& & & \\ & A_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & A_s\end{array}\right)$，

$A_i$ 的最小多项式为 $g_i(x)$，$i=1,2,\cdots ,s$，那么 $A$ 的最小多项式为 $[g_1(x),g_2(x),\cdots ,g_s(x)]$。

证明：记 $g(x)=[g_1(x),g_2(x)]$，首先

$g(A)=\left(\begin{array}{cc}g(A_1)& \\ & g(A_2)\end{array}\right)=0$，

因此 $g(x)$ 能被 $A$ 的最小多项式整除。其次，如果 $h(A)=0$，那么

$h(A)=\left(\begin{array}{cc}h(A_1)& \\ & h(A_2)\end{array}\right)=0$。

所以 $h(A_1)=0$，$h(A_2)=0$，因而 $g_1(x)\mid h(x)$，$g_2(x)\mid h(x)$，并由此得 $g(x)\mid h(x)$。这样就证明了 $g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式。

引理 4：$K$ 级若尔当（Jordan）块 $J=\left(\begin{array}{cccc}a& & & \\ 1& \ddots & & \\ & \ddots & a& \\ & & 1& a\end{array}\right)$ 的最小多项式为 $(x-a{)}^K$。

证明：$J$ 的特征多项式为 $(x-a{)}^K$，而 $J-aE=\left(\begin{array}{cccc}0& & & \\ 1& \ddots & & \\ & \ddots & 0& \\ & & 1& 0\end{array}\right)$，$(J-aE{)}^{K-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& & \\ ⋮& 0& \\ 0& & \\ 1& 0\cdots & 0\end{array}\right)\ne 0$，所以 $J$ 的最小多项式为 $(x-a{)}^K$。

定理：数域 $P$ 上 $n$ 级矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充分必要条件为 $A$ 的最小多项式是 $P$ 上互素的一次因式的乘积。

推论：复数矩阵 $A$ 与对角矩阵相似的充分必要条件是 $A$ 的最小多项式没有重根。

【矩阵论笔记】最小多项式与Jordan型的关系

番茄发烧了 于 2020-05-07 17:02:01 发布

最小多项式的定义

方阵 $A$ 的次数最低、且首一的零化多项式称为 $A$ 的最小多项式。

最小多项式的性质（定理4）

设方阵 $A$ 的最小多项式为 $m_A(\lambda )$，则有：

1. $A$ 的任何零化多项式都能被 $m_A(\lambda )$ 整除；
2. $A$ 的最小多项式 $m_A(\lambda )$ 是唯一的；
3. ${\lambda }_0$ 是 $A$ 的特征值 $⟺m_A({\lambda }_0)=0$。

最小多项式的一般形式

假设 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征多项式为：
$$f_A(\lambda )=|\lambda I-A|=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{n_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{n_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{n_s}$$
其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_s$ 是 $A$ 的所有不同特征值，则 $A$ 的最小多项式有如下形式：
$$m_A(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{m_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{m_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{m_s}$$

计算最小多项式的方法通常是从 $m_i=1$ 开始逐步验证，将 $A$ 代入多项式中判断是否为零矩阵。

Jordan 块的最小多项式

Jordan 块的最小多项式与其特征多项式相同，阶数无法降低。

对于 $r\times r$ 的 Jordan 块，
$$J=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda }_0& 1& & \\ & {\lambda }_0& \ddots & \\ & & \ddots & 1\\ & & & {\lambda }_0\end{array}\right]$$
满足：
$$(J-{\lambda }_{0}I{)}^{r-1}=\left[\begin{array}{cccc}0& \cdots & 0& 1\\ & 0& \ddots & 0\\ & & \ddots & ⋮\\ & & & 0\end{array}\right]\ne O,(J-{\lambda }_{0}I{)}^r=O$$
因此，其最小多项式为 $(\lambda -{\lambda }_0{)}^r$。

例题：求矩阵的最小多项式

例 9 求矩阵 $A=\left[\begin{array}{ccccc}2& 1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& -1& -1\\ 0& 0& 0& 5& 3\\ 0& 0& 0& -4& -2\end{array}\right]$ 的最小多项式。

解：因为 $A$ 是对角块矩阵，即 $A=\left[\begin{array}{cc}{A}_1& \\ & A_2\end{array}\right]$，其中：

• $A_1=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$ 是一个 Jordan 块，其最小多项式为 $m_1(\lambda )=(\lambda -2{)}^2$（阶数不可降低）；

• $A_2=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& -1\\ 0& 5& 3\\ 0& -4& -2\end{array}\right]$，其特征多项式为 $f_{A_2}(\lambda )=(\lambda -2{)}^2(\lambda -1)$。

  通过验证可知，$A_2$ 的最小多项式为 $m_2(\lambda )=(\lambda -2)(\lambda -1)$。

因此，$A$ 的最小多项式为 $A_1$ 和 $A_2$ 最小多项式的最小公倍式，即：
$$m_A(\lambda )=(\lambda -2{)}^2(\lambda -1)$$

最小多项式的应用

最小多项式可用于简化方阵多项式的计算，主要途径包括：

1. 相似化简为对角阵；
2. 通过零化多项式对多项式降阶。

相关定理

• 相似矩阵具有相同的最小多项式；
• $n$ 阶方阵可对角化的充要条件是其最小多项式无重根。

最小多项式与 Jordan 型的关系

假设 $n$ 阶方阵 $A$ 的特征多项式为：
$$f_A(\lambda )=|\lambda I-A|=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{n_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{n_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{n_s}$$
其中 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\cdots ,{\lambda }_s$ 是 $A$ 的所有不同特征值，$n_i$ 为特征值 ${\lambda }_i$ 的代数重数，$k_i=\dim E_{{\lambda }_i}$ 为几何重数，$i=1,2,\cdots ,s.$ 且 $A$ 的最小多项式为：
$$m_A(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1{)}^{m_1}(\lambda -{\lambda }_2{)}^{m_2}\cdots (\lambda -{\lambda }_s{)}^{m_s}$$

方阵 $A$ 的性质

1. $A$ 的 Jordan 标准形由 $s$ 个子 Jordan 矩阵构成：
   $$J=\left[\begin{array}{cccc}{J}_1& & & \\ & J_2& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_s\end{array}\right]$$
   其中 $J_i$ 是对角元为 ${\lambda }_i$ 的 $n_i$ 阶子 Jordan 矩阵（阶数等于代数重数 $n_i$）。

2. $A$ 的子 Jordan 矩阵 $J_i$ 由 $k_i$ 个 Jordan 块构成（数量等于几何重数 $k_i$）：
   $$J_i=\left[\begin{array}{cccc}{J}_{i1}& & & \\ & J_{i2}& & \\ & & \ddots & \\ & & & J_{i{k}_i}\end{array}\right]$$
   其中 $J_{ij}$ 是对角元为 ${\lambda }_i$ 的 Jordan 块。

3. $A$ 的最小多项式中 $(\lambda -{\lambda }_i{)}^{m_i}$ 的幂次 $m_i$ 等于子 Jordan 矩阵 $J_i$ 中 Jordan 块的最高阶数。

例题：确定Jordan标准形

例10 设 $A$ 的特征多项式和最小多项式分别为：
$$f_A(\lambda )=(\lambda -3{)}^4(\lambda -2{)}^2,m_A(\lambda )=(\lambda -3{)}^2(\lambda -2{)}^2$$
试确定 $A$ 的所有可能 Jordan 标准形。

解：

• $A$ 有两个不同的特征值 $3$ 和 $2$，代数重数分别为 $4$ 和 $2$，因此其 Jordan 标准形由两个子 Jordan 矩阵 $J_1$（4 阶）和 $J_2$（2 阶）构成，即：

  $J=\left[\begin{array}{cc}{J}_1& \\ & J_2\end{array}\right]$，$J_1=\left[\begin{array}{cccc}3& & & \\ & 3& & \\ & & 3& \\ & & & 3\end{array}\right]$，$J_2=\left[\begin{array}{cc}2& \\ & 2\end{array}\right]$

• 由最小多项式 $m_A(\lambda )=(\lambda -3{)}^2(\lambda -2{)}^2$ 可知，$J_1$ 中 Jordan 块的最高阶数为 $2$，$J_2$ 中 Jordan 块的最高阶数为 $2$。

因此，$A$ 的可能 Jordan 标准形为：
$$J=\left[\begin{array}{cccccc}3& 1& & & & \\ & 3& & & & \\ & & 3& 1& & \\ & & & 3& & \\ & & & & 2& 1\\ & & & & & 2\end{array}\right]\text{或}\left[\begin{array}{cccccc}3& 1& & & & \\ & 3& 1& & & \\ & & 3& & & \\ & & & 3& & \\ & & & & 2& 1\\ & & & & & 2\end{array}\right]$$

via:

• 最小多项式-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/qq_45011547/article/details/90413462

• 【矩阵论笔记】最小多项式与Jordan型的关系-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/bless2015/article/details/105974793