为什么 sim(3) 中的尺度 s 与旋转 R 相乘，而不是平移 t？

为什么 sim(3) 中的尺度 s 与旋转 R 相乘，而不是平移 t？

在视觉 SLAM 和三维重建中，相似变换 sim(3) 是一个关键数学模型，它可以表示三维空间中物体的旋转、平移与尺度变化。但许多初学者和研究者在面对 sim(3) 变换时都会提出一个非常有代表性的问题：

✅既然 sim(3) 中的尺度 s 是用来恢复真实物理尺度的，那为什么 s 只作用在旋转 R 上，而不是也作用在平移 t 上？

这篇文章将从变换结构、几何逻辑和 SLAM 系统中尺度不确定性的本质三个角度，深入分析这个问题。

1️⃣ sim(3) vs SE(3)：结构对比与核心差异

在欧式变换 SE(3) 中，我们熟悉的刚性变换形式是：

$$T=\left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& 1\end{array}\right],x^{\prime }=Rx+t$$

这个变换会保持物体的形状与尺度，不会改变两点之间的距离。

而在相似变换 sim(3) 中，我们引入了尺度因子 s，变换形式为：

$$T=\left[\begin{array}{cc}sR& t\\ 0& 1\end{array}\right],x^{\prime }=sRx+t$$

这里的 s 和 R 是共同作用于点 x 的，而 t 是直接叠加的平移项。

核心结论：

sim(3) 改变了物体的尺度（边长变了），但保持了形状（角度、比例不变）。

2️⃣ 为什么尺度 s 不乘在 t 上？

很多人会自然地想象成：

$$x^{\prime }=sRx+st$$

但这实际上破坏了 sim(3) 的群结构，并且在数学和几何逻辑上都不合理：

🚫 数学破坏：

若将变换写成：

$$T=\left[\begin{array}{cc}sR& st\\ 0& 1\end{array}\right]$$

我们可以提取一个因子 s：

$$T=s\cdot \left[\begin{array}{cc}R& t\\ 0& \frac{1}{s}\end{array}\right]$$

这不再是一个仿射变换，也不符合 Lie 群 sim(3) 的封闭性和组合规律。

🧭 几何解释：

• R 与 s 一起描述“对物体的变换”：旋转 + 缩放
• t 单独控制“变换后物体位于哪里”，是纯平移

如果你也对 t 进行缩放，反而失去了 t 的原始几何意义。

3️⃣ t 是“相对位置”，s 才是“真实尺度”

在实际系统中（尤其是单目 SLAM），恢复出来的 t 本身只是“方向”或“相对距离”：

$$\hat{t}=\frac{1}{s}t$$

也就是说：我们无法从图像中知道 t 的真实长度，只能恢复方向，尺度信息则全都被 s 吸收了。

所以：

sim(3) 中的 t 只是一个相对位移量，而不是可用于恢复物理尺度的“基线”向量。

4️⃣ 图解：SE(3) 与 sim(3) 的视觉差异

下面这张图展示了 Se(3) 与 sim(3) 的核心区别：

• 左边：SE(3) 变换仅包含旋转 + 平移，图形大小不变
• 右边：sim(3) 变换引入了尺度因子，图形大小发生变化

图中也强调：s 与 R 一起作用于物体本体，而 t 控制变换后的“相对摆放位置”

5️⃣ 延伸思考：SLAM 系统中尺度恢复方式

不同类型的 SLAM 系统，对尺度 s 的恢复能力不同：

✅ 总结一句话：

在 sim(3) 中，尺度 s 是用来缩放物体自身的几何结构，而 t 是物体变换后的位置偏移，两者语义不同、作用不同，因此 s 只能乘在 R 上，不能乘在 t 上。

参考

怎么解释相似变换sim(3)中的尺度？