线性代数 · 向量运算 | 叉乘 / 几何意义 / 推导

注：本文为 “线性代数 · 向量运算” 相关合辑。
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数学基础 —— 向量运算（叉乘）

keng_s 于 2016-08-05 17:17:57 发布

1_ 向量的叉乘

向量的叉乘是指求同时垂直于两个向量的向量。设向量 $\mathbf{c}$ 垂直于向量 $\mathbf{a}$，且向量 $\mathbf{c}$ 垂直于向量 $\mathbf{b}$，即向量 $\mathbf{a}$ 与向量 $\mathbf{c}$ 的夹角为 $90^{\circ }$，向量 $\mathbf{b}$ 与向量 $\mathbf{c}$ 的夹角为 $90^{\circ }$。

计算公式为：
$$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(a_y\cdot b_z-b_y\cdot a_z,b_x\cdot a_z-a_x\cdot b_z,a_x\cdot b_y-b_x\cdot a_y)$$

以上图为例，若 $\mathbf{a}=(1,0,0)$，$\mathbf{b}=(0,1,0)$，则：
$$\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(0,0,1)$$

2. 叉乘的几何意义

叉乘结果的模长计算公式为：
$$|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \sin \alpha$$
其中，$\alpha$ 为向量 $\mathbf{a}$ 与向量 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。

$|\mathbf{c}|$ 的几何意义是向量 $\mathbf{a}$ 与向量 $\mathbf{b}$ 构成的平行四边形的面积。如下图所示的平行四边形：

3. 叉乘的拓展

2D 叉乘形式

在一般常识或教科书中，叉乘被规定为仅存在于 3D 空间中，但实际上 2D 空间也可拓展出叉乘形式，且具有实用性。

拓展方式：设有两个 2D 向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$，将其视为 3D 向量，$z$ 轴补 $0$。

此时向量 $\mathbf{a}$ 和向量 $\mathbf{b}$ 的叉乘结果向量 $\mathbf{c}$ 满足：

$c_x=0$，$c_y=0$，$c_z=a_x\cdot b_y-b_x\cdot a_y$

可将 2D 的叉乘值定义为标量 $k$，即：
$$k=c_z=a_x\cdot b_y-b_x\cdot a_y$$

通过 $k$ 值可得到以下性质：

• $k$ 的绝对值等于向量 $\mathbf{a}$ 和向量 $\mathbf{b}$ 构成的平行四边形的面积。
• 若 $k>0$，则向量 $\mathbf{a}$ 正旋转到向量 $\mathbf{b}$ 的角度小于 $180^{\circ }$；
  若 $k<0$，则向量 $\mathbf{a}$ 正旋转到向量 $\mathbf{b}$ 的角度大于 $180^{\circ }$；
  若 $k=0$，则向量 $\mathbf{a}$ 与向量 $\mathbf{b}$ 平行。

【math】向量运算：叉乘

阳光快乐普信男 已于 2022-02-09 17:15:36 修改

1. 定义

向量的叉乘（又称叉积、矢积）是指求同时垂直于两个向量的向量，记为 $\mathbf{c}=\mathbf{a}\times \mathbf{b}$。

设向量 $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$，向量 $\mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)$，向量 $\mathbf{c}=(c_x,c_y,c_z)$，则：

$$\begin{array}{rl}c& =\mathbf{a}\times \mathbf{b}\\ & =(a_x,a_y,a_z)\times (b_x,b_y,b_z)\\ & =(a_y\cdot b_z-a_z\cdot b_y,a_z\cdot b_x-a_x\cdot b_z,a_x\cdot b_y-a_y\cdot b_x)\end{array}$$

为便于记忆，可通过行列式表示三维向量叉积的计算：
$$\begin{array}{rl}(a_1,b_1,c_1)\times (a_2,b_2,c_2)& =\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ a_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\end{array}\right|\\ & =(b_1{c}_2-b_2{c}_1)\vec{i}+(a_2{c}_1-a_1{c}_2)\vec{j}+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)\vec{k}\text{（展开行列式）}\\ & =(b_1{c}_2-b_2{c}_1,a_2{c}_1-a_1{c}_2,a_1{b}_2-a_2{b}_1)\text{（表示为向量形式）}\end{array}$$

其中，$\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ 为三维空间中的单位正交向量，分别对应 $x$、$y$、$z$ 轴方向。

叉乘的结果是一个新向量，其方向垂直于两个原向量所在的平面，大小等于两个向量构成的平行四边形的面积。

2. 几何意义

叉乘结果的模长计算公式为：
$$|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \sin \theta$$
其中，$\theta$ 为向量 $\mathbf{a}$ 与向量 $\mathbf{b}$ 之间的夹角（$0\le \theta \le \pi$）。

$|\mathbf{c}|$ 的几何意义是向量 $\mathbf{a}$ 与向量 $\mathbf{b}$ 构成的平行四边形的面积。

证明：由模长公式可知，$|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}\times \mathbf{b}|=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \sin \theta$。根据三角形面积公式，向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 构成的三角形面积为 $\frac{1}{2}|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \sin \theta$，因此平行四边形面积为该三角形面积的 2 倍，即 $|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \sin \theta$，故 $|\mathbf{c}|$ 等于平行四边形的面积。

3. 运算律

• 反交换律：$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times \mathbf{a})$。该性质由右手定则可直接推导，体现叉乘结果的方向与向量顺序相关。
• 分配律：$\mathbf{a}\times (\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a}\times \mathbf{b}+\mathbf{a}\times \mathbf{c}$。此规律表明叉乘对向量加法具有分配性，可简化复杂向量运算。
• 与标量乘法的结合律：$(k\mathbf{a})\times \mathbf{b}=\mathbf{a}\times (k\mathbf{b})=k(\mathbf{a}\times \mathbf{b})$（其中 $k$ 为标量）。该性质说明标量系数可移至叉乘运算外，不改变运算结果。
• 零向量相关性质：若向量 $\mathbf{a}$ 或 $\mathbf{b}$ 为零向量，则 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$；反之，若 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$，则向量 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行（共线）。

方向判断：右手定则

叉乘结果的方向可通过右手定则判断：

• 对于 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$：将右手四指由向量 $\mathbf{a}$ 指向向量 $\mathbf{b}$（转动角度不超过 $180^{\circ }$），拇指所指方向即为 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 的方向，且该方向垂直于 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 所在的平面。
• 对于 $\mathbf{b}\times \mathbf{a}$：同理，四指由 $\mathbf{b}$ 指向 $\mathbf{a}$，拇指方向即为 $\mathbf{b}\times \mathbf{a}$ 的方向，与 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}$ 方向相反，即 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=-\mathbf{b}\times \mathbf{a}$。

叉乘、向量积的计算以及推导

CN-Dust 已于 2022-04-13 12:32:52 修改

叉乘

几何图示：

设有

$\mathbf{a}=\left(a_x,a_y,a_z\right),\mathbf{b}=\left(b_x,b_y,b_z\right)$

$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$ 分别是 $X$，$Y$，$Z$ 轴方向的单位向量，则：

$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=\left(a_y{b}_z-a_z{b}_y\right)\mathbf{i}+\left(a_z{b}_x-a_x{b}_z\right)\mathbf{j}+\left(a_x{b}_y-a_y{b}_x\right)\mathbf{k}$

为了帮助记忆，利用三阶行列式，写成

$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ a_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\end{array}\right|$$

设 $\mathbf{a}=(l,m,n),\mathbf{b}=(o,p,q)$，则

$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(l,m,n)\times (o,p,q)=(mq-np,no-lq,lp-mo)$

利用三阶行列式，写成

$$\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ l& m& n\\ o& p& q\end{array}\right|$$

推导

设有三个单位向量 $\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$，则：

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathbf{i}}& =(1,0,0)\\ \overrightarrow{\mathbf{j}}& =(0,1,0)\\ \overrightarrow{\mathbf{k}}& =(0,0,1)\end{array}$$

且

$\overrightarrow{\mathbf{i}}=\overrightarrow{\mathbf{j}}\times \overrightarrow{\mathbf{k}}$

$\overrightarrow{\mathbf{j}}=\overrightarrow{\mathbf{k}}\times \overrightarrow{\mathbf{i}}$

$\overrightarrow{\mathbf{k}}=\overrightarrow{\mathbf{i}}\times \overrightarrow{\mathbf{j}}$

$\overrightarrow{\mathbf{k}}\times \overrightarrow{\mathbf{j}}=-\overrightarrow{\mathbf{i}}$

$\overrightarrow{\mathbf{i}}\times \overrightarrow{\mathbf{k}}=-\overrightarrow{\mathbf{j}}$

$\overrightarrow{\mathbf{j}}\times \overrightarrow{\mathbf{i}}=-\overrightarrow{\mathbf{k}}$

$\overrightarrow{\mathbf{i}}\times \overrightarrow{\mathbf{i}}=\overrightarrow{\mathbf{j}}\times \overrightarrow{\mathbf{j}}=\overrightarrow{\mathbf{k}}\times \overrightarrow{\mathbf{k}}=\overrightarrow{0}=0$

$\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$ 是三个相互垂直的向量，它们可构成一个坐标系。

对于处于 $\mathbf{i}$，$\mathbf{j}$，$\mathbf{k}$ 构成的坐标系中的向量 $\mathbf{u}$，$\mathbf{v}$，可表示为：

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =\left(x_u,y_u,z_u\right)\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =\left(x_v,y_v,z_v\right)\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathbf{u}}& =x_u\cdot \overrightarrow{\mathbf{i}}+y_u\cdot \overrightarrow{\mathbf{j}}+z_u\cdot \overrightarrow{\mathbf{k}}\\ \overrightarrow{\mathbf{v}}& =x_v\cdot \overrightarrow{\mathbf{i}}+y_v\cdot \overrightarrow{\mathbf{j}}+z_v\cdot \overrightarrow{\mathbf{k}}\end{array}$$

$\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(x_u\cdot \overrightarrow{\mathbf{i}}+y_u\cdot \overrightarrow{\mathbf{j}}+z_u\cdot \overrightarrow{\mathbf{k}}\right)\times \left(x_v\cdot \overrightarrow{\mathbf{i}}+y_v\cdot \overrightarrow{\mathbf{j}}+z_v\cdot \overrightarrow{\mathbf{k}}\right)$

展开，得：

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& =x_u\cdot x_v\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{i}}\times \overrightarrow{\mathbf{i}}\right)+x_u\cdot y_v\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{i}}\times \overrightarrow{\mathbf{j}}\right)+x_u\cdot z_v\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{i}}\times \overrightarrow{\mathbf{k}}\right)\\ & +y_u\cdot x_v\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{j}}\times \overrightarrow{\mathbf{i}}\right)+y_u\cdot y_v\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{j}}\times \overrightarrow{\mathbf{j}}\right)+y_u\cdot z_v\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{j}}\times \overrightarrow{\mathbf{k}}\right)\\ & +z_u\cdot x_v\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{k}}\times \overrightarrow{\mathbf{i}}\right)+z_u\cdot y_v\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{k}}\times \overrightarrow{\mathbf{j}}\right)+z_u\cdot z_v\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{k}}\times \overrightarrow{\mathbf{k}}\right)\end{array}$$

化简，得：

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}& =\overrightarrow{0}+x_u\cdot y_v\cdot \overrightarrow{\mathbf{k}}+x_u\cdot z_v\cdot \left(-\overrightarrow{\mathbf{j}}\right)\\ & +y_u\cdot x_v\cdot \left(-\overrightarrow{\mathbf{k}}\right)+\overrightarrow{0}+y_u\cdot z_v\cdot \overrightarrow{\mathbf{i}}\\ & +z_u\cdot x_v\cdot \overrightarrow{\mathbf{j}}+z_u\cdot y_v\cdot \left(-\overrightarrow{\mathbf{i}}\right)+\overrightarrow{0}\end{array}$$

合并，得：

$\overrightarrow{\mathbf{u}}\times \overrightarrow{\mathbf{v}}=\left(y_u\cdot z_v-z_u\cdot y_v\right)\cdot \overrightarrow{\mathbf{i}}+\left(z_u\cdot x_v-x_u\cdot z_v\right)\cdot \overrightarrow{\mathbf{j}}+\left(x_u\cdot y_v-y_u\cdot x_v\right)\cdot \overrightarrow{\mathbf{k}}$

叉乘的几何意义

设 $\overrightarrow{\mathbf{c}}=\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}$，则 $\mathbf{c}$ 的方向垂直于 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 所决定的平面，$\mathbf{c}$ 的指向按右手定则从 $\mathbf{a}$ 转向 $\mathbf{b}$ 来确定。

且 $\mathbf{c}$ 的长度在数值上等于以 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 为邻边、夹角为 $\theta$ 组成的平行四边形的面积，即：

$|\mathbf{c}|=|\mathbf{a}|\cdot |\mathbf{b}|\cdot \sin \theta$

右手定则：
若坐标系满足右手定则，当右手的四指从 $\mathbf{a}$ 以不超过 $180^{\circ }$ 的转角转向 $\mathbf{b}$ 时，竖起的大拇指指向即为 $\mathbf{c}$ 的方向。

代数规则

• 反交换律

  $\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}=-\overrightarrow{\mathbf{b}}\times \overrightarrow{\mathbf{a}}$

• 加法的分配律

  $\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \left(\overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{c}}\right)=\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}+\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{c}}$

• 与标量乘法兼容

  $r\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}=\overrightarrow{\mathbf{a}}\times r\overrightarrow{\mathbf{b}}=r\cdot \left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}\right)$

• 不满足结合律，但满足雅可比恒等式

  $\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \left(\overrightarrow{\mathbf{b}}\times \overrightarrow{\mathbf{c}}\right)+\overrightarrow{\mathbf{b}}\times \left(\overrightarrow{\mathbf{c}}\times \overrightarrow{\mathbf{a}}\right)+\overrightarrow{\mathbf{c}}\times \left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}\right)=0$

• 分配律、线性性和雅可比恒等式表明：具有向量加法和叉积的 ${\mathbb{R}}^3$ 构成了一个李代数。

• 两个非零向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 平行，当且仅当 $\mathbf{a}\times \mathbf{b}=0$。

拉格朗日公式

设向量坐标 $\overrightarrow{\mathbf{a}}=(x_1,y_1,z_1),\overrightarrow{\mathbf{b}}=(x_2,y_2,z_2),\overrightarrow{\mathbf{c}}=(x_3,y_3,z_3)$，则

$$\begin{array}{rl}\left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}\right)\times \overrightarrow{\mathbf{c}}& =\left(y_1{z}_2-z_1{y}_2,z_1{x}_2-x_1{z}_2,x_1{y}_2-x_2{y}_1\right)\times \left(x_3,y_3,z_3\right)\\ & =\left(z_1{z}_3{x}_2-x_1{z}_2{z}_3-x_1{y}_2{y}_3+x_2{y}_1{y}_3,x_1{x}_3{y}_2-x_2{x}_3{y}_1-y_1{z}_2{z}_3+z_1{z}_3{y}_2,y_1{y}_3{z}_2-y_2{y}_3{z}_1-x_2{x}_3{z}_1+x_1{x}_3{z}_2\right)\\ & =\left(x_2\left(x_1{x}_3+y_1{y}_3+z_1{z}_3\right),y_2\left(x_1{x}_3+y_1{y}_3+z_1{z}_3\right),z_2\left(x_1{x}_3+y_1{y}_3+z_1{z}_3\right)\right)-\left(x_1\left(x_2{x}_3+y_2{y}_3+z_2{z}_3\right),y_1\left(x_2{x}_3+y_2{y}_3+z_2{z}_3\right),z_1\left(x_2{x}_3+y_2{y}_3+z_2{z}_3\right)\right)\\ & =\left(x_2\left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right),y_2\left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right),z_2\left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right)\right)-\left(x_1\left(\overrightarrow{\mathbf{b}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right),y_1\left(\overrightarrow{\mathbf{b}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right),z_1\left(\overrightarrow{\mathbf{b}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right)\right)\\ & =\overrightarrow{\mathbf{b}}\left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right)-\overrightarrow{\mathbf{a}}\left(\overrightarrow{\mathbf{b}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right)\end{array}$$

这就是二重向量叉乘化简公式 $\left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \overrightarrow{\mathbf{b}}\right)\times \overrightarrow{\mathbf{c}}=\overrightarrow{\mathbf{b}}\left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right)-\overrightarrow{\mathbf{a}}\left(\overrightarrow{\mathbf{b}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right)$

转化可得：

$\overrightarrow{\mathbf{a}}\times \left(\overrightarrow{\mathbf{b}}\times \overrightarrow{\mathbf{c}}\right)=\overrightarrow{\mathbf{b}}\left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{c}}\right)-\overrightarrow{\mathbf{c}}\left(\overrightarrow{\mathbf{a}}\cdot \overrightarrow{\mathbf{b}}\right)$

二维叉乘的数学原理与实际应用

二维叉乘形式

对于二维向量 $\mathbf{a}=(a_x,a_y)$ 和 $\mathbf{b}=(b_x,b_y)$，可将其视为三维向量（$a_z=b_z=0$），则叉乘结果为：
$$\mathbf{a}\times \mathbf{b}=(0,0,a_x\cdot b_y-a_y\cdot b_x)$$
记 $k=a_x\cdot b_y-a_y\cdot b_x$（即三维叉乘结果的 $z$ 分量），$k$ 的应用包括：

• 计算 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 构成的平行四边形面积（即 $|k|$）。
• 判断旋转方向：
  若 $k>0$，则 $\mathbf{a}$ 正旋转至 $\mathbf{b}$ 的角度小于 $180^{\circ }$；
  若 $k<0$，则该角度大于 $180^{\circ }$；
  若 $k=0$，则 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 平行。
• 用于判断多边形凸性：通过相邻边向量的叉乘符号一致性，可判断点集是否构成凸多边形。

实际应用场景

• 三维空间方向判断：在 3D 建模、游戏开发中，平面内两个不共线向量的叉乘结果即为该平面的法向量，可用于确定平面倾斜方向或物体朝向。
• 物理力矩计算：力矩是描述力对物体转动作用的物理量，计算公式为 $\mathbf{M}=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$，其中 $\mathbf{r}$ 为转动轴到力的作用点的位置向量，$\mathbf{F}$ 为作用力。叉乘方向决定力矩转向（顺/逆时针），模长表示力矩大小。
• 计算机图形学凸包检测：判断多边形凸性时，若所有相邻边向量的叉乘结果符号一致（均为正或均为负），则为凸多边形；否则为凹多边形。

向量积（矢积）与数量积（标积）的区别 g

叉乘与点乘

“矢积”“叉积”“叉乘”

三者本质上是同一数学概念（向量的向量积，Vector Product）的不同名称，定义、运算规则及应用完全一致，差异仅源于命名依据：

• 叉积/叉乘：因运算符号为“×”（叉号）而得名，强调运算形式，常见于数学、物理基础教材及工程、计算机图形学等应用领域。
• 矢积：因运算结果为矢量（向量的旧称，“矢”即矢量）而得名，强调结果性质，多见于理论物理、力学等侧重矢量分析的学科。

在实际使用中，可根据学科语境或习惯选择表述。

via：

• 数学基础 —— 向量运算（叉乘）-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/keng_s/article/details/52131034
• 【math】 向量运算：叉乘_向量叉乘-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/qq_36056219/article/details/109057649
• 叉乘、向量积的计算以及推导-CSDN博客
  https://blog.csdn.net/qq_36286039/article/details/124141634