【AI】强化学习入门级基础指南：从理论到实践

0 引言

在人工智能的广阔领域中，强化学习（Reinforcement Learning，RL）凭借其独特的 “试错学习” 模式，成为解决序贯决策问题的关键技术。从游戏 AI 战胜人类冠军，到机器人精准执行复杂任务，强化学习正不断拓展智能系统的边界。本文将从基础概念出发，结合数学建模与实际代码示例，介绍强化学习的基础入门级理论与实践。

1 强化学习核心概念

1.1 基本框架：智能体与环境的交互

强化学习的核心是 智能体（Agent）与环境（Environment） 的持续交互。智能体通过执行动作（Action）影响环境，环境则以状态（State）和奖励（Reward）反馈智能体，智能体的目标是学习最优策略（Policy），以最大化长期累积奖励。

• 智能体（Agent）：决策的主体，如游戏中的 AI 角色、工业机器人控制器。
• 环境（Environment）：智能体所处的外部场景，可抽象为状态集合、动作集合、状态转移规则与奖励规则。
• 状态（State, $s$）：描述环境某一时刻的特征，如游戏角色的位置坐标、机器人传感器数据。
• 动作（Action, $a$）：智能体可执行的操作，如 “前进”“抓取”，需与环境状态适配。
• 奖励（Reward, $r$）：环境对动作的即时反馈，引导智能体学习（如游戏得分、碰撞惩罚）。
• 策略（Policy, $\pi$）：智能体的行为规则，定义状态到动作的映射（如$\pi (a\mid s)$表示状态$s$下选择动作$a$的概率）。
• 价值函数（Value Function）：评估状态 / 动作的长期价值，包括：
  • 状态价值函数$V_{\pi }(s)$：策略$\pi$下，从状态$s$出发的期望累积奖励。
    • $V_{\pi }(s)={\mathbb{E}}_{\pi }\left[G_t\mid s_t=s\right]$
    • 其中，回报$G_t$的定义为：$G_t={\sum }_{k=0}^{\infty }{\gamma }^k{r}_{t+1+k}$
  • 动作价值函数$Q_{\pi }(s,a)$：策略$\pi$下，状态$s$执行动作$a$后的期望累积奖励。
    • $Q_{\pi }(s,a)={\mathbb{E}}_{\pi }\left[G_t\mid s_t=s,a_t=a\right]$
• 折扣因子（Discount Factor, $\gamma$）：平衡即时与未来奖励的权重（$0\le \gamma <1$），$\gamma$越接近 1，越重视长期收益。

1.2 数学建模：马尔可夫决策过程（MDP）

强化学习的理论基石是马尔可夫决策过程（Markov Decision Process, MDP），用五元组$(S,A,P,R,\gamma )$描述：

• $S$：状态集合
• $A$：动作集合
• $P(s^{\prime }\mid s,a)$：状态转移概率（状态$s$执行动作$a$后转移到$s^{\prime }$的概率）
• $R(s,a,s^{\prime })$：奖励函数（状态$s$执行动作$a$转移到$s^{\prime }$的即时奖励）
• $\gamma$：折扣因子

马尔可夫性是关键假设：未来状态仅依赖当前状态与动作，与历史无关，简化了问题建模。

2 核心公式与算法基础

2.1 价值函数与贝尔曼方程

价值函数的递归关系由 贝尔曼方程 （Bellman Equation）刻画，分为期望方程（针对任意策略）与最优方程（针对最优策略）。

2.1.1 贝尔曼期望方程

1. 状态价值函数
   $$V_{\pi }(s)=\sum _{a\in A}\pi (a|s)\left[\sum _{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)\left(R(s,a,s^{\prime })+\gamma V_{\pi }(s^{\prime })\right)\right]$$

含义：状态$s$的价值等于 “选择动作的概率 ×（即时奖励 + 折扣后下一状态价值的期望）”。

2. 动作价值函数
   $$Q_{\pi }(s,a)=\sum _{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)\left(R(s,a,s^{\prime })+\gamma \sum _{a^{\prime }\in A}\pi (a^{\prime }|s^{\prime })Q_{\pi }(s^{\prime },a^{\prime })\right)$$

含义：动作$(s,a)$的价值等于 “即时奖励 + 折扣后下一状态所有动作价值的期望”。

2.1.2 贝尔曼最优方程

当策略$\pi$为最优策略${\pi }^{\ast }$（最大化所有状态的长期奖励）时，价值函数满足：

1. 最优状态价值：
   $$V^{\ast }(s)=\underset{a}{\max }{Q}^{\ast }(s,a)$$

2. 最优动作价值：
   $$Q^{\ast }(s,a)=\sum _{s^{\prime }\in S}P(s^{\prime }|s,a)\left(R(s,a,s^{\prime })+\gamma V^{\ast }(s^{\prime })\right)$$

核心逻辑：最优策略下，选择的动作需最大化后续长期价值。

2.2 基础算法分类

强化学习算法可按 “学习目标” 与 “环境模型依赖” 分类，典型方法如下：

2.2.1 基于价值的方法（Value-based）

目标：学习最优动作价值函数$Q^{\ast }(s,a)$，推导最优策略。

1. Q-Learning（异策略）
   更新公式：
   $$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha \left[r+\gamma \underset{a^{\prime }}{\max }Q(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a)\right]$$

特点：学习最优策略，与执行策略分离（异策略），适合探索环境。

2. SARSA（同策略）
   更新公式：
   $$Q(s,a)\leftarrow Q(s,a)+\alpha \left[r+\gamma Q(s^{\prime },a^{\prime })-Q(s,a)\right]$$

特点：依赖实际执行的下一个动作（同策略），学习与执行策略一致。

2.2.2 基于策略的方法（Policy-based）

目标：直接优化策略${\pi }_{\theta }(a\mid s)$（用参数$\theta$表示，如神经网络），最大化累积奖励。

• 策略梯度（Policy Gradient）
  梯度公式：
  $${\nabla }_{\theta }J(\theta )={\mathbb{E}}_{\pi }\left[{\nabla }_{\theta }\log {\pi }_{\theta }(a|s)\cdot G_t\right]$$

特点：通过奖励引导策略更新，适合高维动作空间，但收敛稳定性较弱。

2.2.3 演员 - 评论家（Actor-Critic）

结合价值与策略方法：

• 演员（Actor）：学习策略${\pi }_{\theta }(a\mid s)$，负责动作选择；
• 评论家（Critic）：学习价值函数$V_{\varphi }(s)$或$Q_{\varphi }(s,a)$，评估演员表现并提供梯度。
  • 优势：比纯策略梯度稳定，比纯价值方法高效，典型算法如 A2C、A3C。

3 从理论到实践：简单示例（基于 JAX）

以下用线性回归场景演示强化学习思路，实际强化学习任务需适配环境交互流程。

3.1 环境与智能体定义

假设环境为线性系统$y=3x-1+noise$，智能体目标是学习参数$\theta =[w,b]$拟合该关系（类比策略学习）。

import jax
import jax.numpy as jnp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 生成数据（模拟环境）
xs = np.random.normal(size=(100,))
noise = np.random.normal(scale=0.1, size=(100,))
ys = xs * 3 - 1 + noise

# 智能体模型（线性策略）
def model(theta, x):
    w, b = theta
    return w * x + b

# 损失函数（奖励的反向，需最小化）
def loss_fn(theta, x, y):
    prediction = model(theta, x)
    return jnp.mean((prediction - y) ** 2)

# 策略更新（梯度下降，类比强化学习优化）
def update(theta, x, y, lr=0.1):
    grad = jax.grad(loss_fn)(theta, x, y)
    return theta - lr * grad

3.2 训练循环（类比策略迭代）

# 初始化参数（策略初始化）
theta = jnp.array([1.0, 1.0])

# 训练迭代（类比与环境交互学习）
loss_history = []
for i in range(100):
    theta = update(theta, xs, ys)
    current_loss = loss_fn(theta, xs, ys)
    loss_history.append(current_loss)

# 结果可视化
plt.scatter(xs, ys, label='Data')
plt.plot(xs, model(theta, xs), color='red', label='Fitted Model')
plt.legend()
plt.show()

# 输出训练后参数
w, b = theta
print(f"Learned w: {w:.2f}, b: {b:.2f}")

3.3 结果分析

训练后参数接近w=3, b=-1，验证了通过 “优化策略（参数）以最小化损失（最大化奖励反向）” 的强化学习思路。实际强化学习任务中，环境交互更复杂（如状态转移、延迟奖励），但核心逻辑一致：通过与环境交互，优化策略以最大化长期累积奖励。

4 强化学习的应用与挑战

4.1 典型应用场景

• 游戏领域：AlphaGo（围棋）、OpenAI Five（DOTA2），通过强化学习实现超人类表现。
• 机器人控制：机械臂抓取、自动驾驶，学习复杂环境下的动作序列。
• 推荐系统：动态调整推荐策略，最大化用户长期留存与收益。
• 金融与资源调度：算法交易、数据中心能耗优化，平衡风险与收益。

4.2 关键挑战

• 探索与利用权衡：智能体需平衡 “探索新动作” 与 “利用已知高奖励动作”，常见方法如
  $ϵ$- 贪婪、UCB。
• 高维状态 / 动作空间：传统方法难以处理图像、自然语言等高维输入，需结合深度学习（深度强化学习）。
• 延迟奖励：长期任务中，奖励反馈滞后，需设计有效价值函数或引入信用分配机制（如时序差分学习）。