用秩讨论三个平面的位置关系/线性方程组的解
线性方程组
下图中三个方程对应三个平面
线性方程组的增广矩阵形式
该方程组有无解，表现为三个平面有无公共交点，有几个解表现于三个平面有几个公共交点
情况一： r ( A ˉ ) = r ( A ) = 3 r(\bar{A})=r(A)=3 r(Aˉ)=r(A)=3【方程个数3 = = = 未知数个数3】，方程组有唯一解，三平面交于一点
情况二： r ( A ˉ ) = 3 r(\bar{A})=3 r(Aˉ)=3， r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2， r ( A ˉ ) ≥ r ( A ) r(\bar{A})\ge r(A) r(Aˉ)≥r(A)，方程组无解【因为 0 z 3 = d 3 0z_3=d_3 0z3=d3 无解】，三平面无公共交点，又因 r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2 则必有两平面相交
增广矩阵第3行可能与第1行或第2行成比例，可能不是0，这里写为0只是为了明显地表示秩
三平面无公共交点有两种情况
1.三平面两两相交，但无公共交点，故方程组无解
2.三平面中有两平面相交，另一平面与其中一平面平行，但无公共交点，故方程组无解
情况三： r ( A ˉ ) = r ( A ) = 2 < n = 3 r(\bar{A})=r(A)=2\lt n=3 r(Aˉ)=r(A)=2<n=3（方程个数2 < \lt < 未知数个数n=3 ），方程组有无穷多个解【因为 0 z 3 = 0 0z_3=0 0z3=0】，三平面有无穷多个公共交点，又因 r ( A ) = 2 r(A)=2 r(A)=2 则必有两平面相交，又因 r ( A ˉ ) = 2 r(\bar{A})=2 r(Aˉ)=2 说明三个平面中至少有两个平面互异
增广矩阵第3行可能与第1行或第2行成比例，可能不是0，这里写为0只是为了明显地表示秩
两个平面无公共交点有两种情况
1.两平面相交，另一个平面通过该交线，三平面互异，因三平面交于一线，交线上有无数多个点，故此种情况下方程组有无穷多个解
2.两平面相交，另一个平面与其中一平面重合，两平面互异，因三平面（其中两平面重合）交于一线，交线上有无数多个点，故此种情况下方程组有无穷多个解
情况四： r ( A ˉ ) = 2 r(\bar{A})=2 r(Aˉ)=2， r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1， r ( A ˉ ) < r ( A ) r(\bar{A})\lt r(A) r(Aˉ)<r(A)，方程组无解【因为 0 z 2 = d 2 0z_2=d_2 0z2=d2无解】，三平面不相交，又因 r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1，故没有两个平面相交，因而三平面平行，再因 r ( A ˉ ) = 2 r(\bar{A})=2 r(Aˉ)=2，故三平面至少两平面互异
增广矩阵第2、3行可能与第1行成比例，可能不是0，这里写为0只是为了明显地表示秩
三平面至少两平面互异有两种情况
1.三平面平行，且三平面互异，三平面无公共交点，故方程组无解
2.三平面平行，其中有两平面重合，同时有两平面互异，三平面（其中两平面重合）无公共交点，故方程组无解
情况五： r ( A ˉ ) = r ( A ) = 1 < n = 3 r(\bar{A})=r(A)=1\lt n=3 r(Aˉ)=r(A)=1<n=3，方程组有无穷多个解，三平面有无穷多个公共交点。由 r ( A ) = 1 r(A)=1 r(A)=1知，没有两平面相交。而 r ( A ˉ ) = 1 r(\bar{A})=1 r(Aˉ)=1 说明三个平面中至少有一个平面互异，那有两个情况，2个平面互异或3个平面互异，而这两种情况均与三平面有无穷多个交点相矛盾，故三平面重合
增广矩阵第2、3行可能与第1行成比例，可能不是0，这里写为0只是为了明显地表示秩
