AcWing1018.最低通行费

题目描述

一个商人穿过一个 $N\times N$ 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 $1$ 个小方格，都要花费 $1$ 个单位时间。

商人必须在 $(2N-1)$ 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 $N$。

后面 $N$ 行，每行 $N$ 个不大于 $100$ 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

$1\le N\le 100$

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 $109=1+2+5+7+9+12+19+21+33$。

算法

首先观察性质：步数小于$2N-1$
因为本题规定只能向上下左右移动，无法穿越对角线，所以这告诉我们
$(1,1)$和$(n,n)$的距离应该为曼哈顿距离，两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，$d=|x1-x2|+|y1-y2|$，所以本题中$d=|n-1|+|n-1|$，因为每走一步，曼哈顿距离最多减小$1$，但是规定步数小于$2N-1$，这就启发我们"不走回头路"，也就是只能向右下移动。

相似点

发现了什么，这题和摘花生几乎一样$!!!$，只不过最大值变成了最小值，得出状态转移方程
$f(i,j)=min(f(i-1,j),f(i,j-1)+w(i,j))$
所以我们就可以愉快地写代码，愉快地$AC$啦

另：需要先把所有状态初始化为正无穷，初始化状态的起点（$dp$求最小值必须要的步骤）

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 109;

int n, f[N];

int read() {
    int x = 0, f = 1; char c = getchar();
    for(; !isdigit(c); c = getchar()) f = (c == '-') ? -1 : 1;
    for(;  isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - 48;
    return x * f;
}

int main()
{
    n = read();
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    
    for(int i = 1;i <= n;i ++ )
        for(int j = 1;j <= n;j ++ )
            if(i == 1 && j == 1) f[j] = read();//特判左上角
            else f[j] = min(f[j], f[j - 1]) + read();
            
    printf("%d\n", f[n]);
    return 0;
}