PFH（Point Feature Histograms点特征直方图） ：是基于特征点（keypoint）与其邻域点的空间几何关系来编码的。
如图所示，对于一个查询点Pq，给定邻域半径r，那么在该参考点Pq的邻域空间内有5个点(Pk1,...Pk5)。那么对查询点Pq（query point）和邻域内的5个点(k-neighbors)，总共6个点进行两两匹配，得到5*6/2=15个点对point pair。
接下来针对每一个点对，进行1、构建点对坐标系。2、特征描述。3、特征编码三个步骤，获得查询点Pq局部特征。
1、构建点对局部坐标系（Pairwise Local coordinate）
对于每一组点对，例如Ps和Pt如下图，首先基于点Ps建立局部坐标系：（可以类似把u,v,w轴类似为X,Y,Z轴）。U,V,W的计算如右图：
2、特征描述
目的是获取这个点对（Ps和Pt）的法向量之间的关系。因此可以计算Pt和Ps的法线Nt和Ns之间的偏差，该偏差用表示。分别代表：Pt的法向量Nt和V坐标轴的夹角；直线PtPs和U坐标轴的夹角；Pt的法向量Nt投影到UW平面的直线和U坐标轴的夹角。（从图像中可以清楚看出来）。两点距离用d表示。公式如右图：
3、特征编码
如2所示，我们直到每个点对可以获得四个特征描述，,
。我们可以把每一个特征划分为n个区间，这样的话就是
维。
都是角度，可以归一化，
是距离。
二、FPFH（Fast Point Feature Histograms快速点特征直方图 ）：
原理类似于PFH，有一些不同
1、复杂度更低，忽略了的特征描述，只有
三个特征，叫做SPFH（Simplified Point Feature Histograms）。
2、（PFH是对于查询点和邻域内的k个点共k+1个点进行两两配对求点对特征）修正了 k 邻域点对的统计方式，分为两部分：前部分是SPFH(Pq)：即查询点Pq 与周围 k 个点组成的k个点对的特征，后面部分是...SPFH(Pk)：即每个邻点与周围 k 个点组成的点对的特征，第二部分的统计量取加权平均，如下式：
其中，权重 表示查询点Pq 与邻点 Pki的距离。
3、修正了特征的编码方式
PFH将一个特征划分为n个区间，总共四个维度的特征，表示为n*n*n*n，稀疏性很大。FPFH只有三个维度的特征（），以MATLAB为例：将一个区间划分为11个区间，这样需要11*11*11个小格子来对应，为降低稀疏性，我们将这3个特征写在一行，那就是形如【[
],[
],[
]】，又因为每个特征划分为11个区间，那么表示为11+11+11=33。
因此对于查询点Pq，其FPFH特征可以表示为1*33维的向量。
若总共有n个查询点，那么FPFH特征是n*33维的矩阵
三、FPFH的MATLAB官网代码【需要MATLAB版本高于2020a】
运行结果：1、点云图 2、特征直方图
1、直方图
代码：keyInds = [6565 10000];表示选择了编号为6565和10000的两个点作为查询点。可以修改点的编号和个数（修改个数的话需要相应的修改'Color',[255 0 0;0 0 255]);）
如图所示：第一章图片是点云图，标记了两个查询点，红色和蓝色（由于蓝色和本身颜色重合所以看不清晰，设置为绿色0 255 0就可以看出来了）
2、直方图，由于查询了两个点，所以有两个直方图，横坐标是33维的，三个特征表示为【【11】,【11】,【11】】，因为每个特征划分为11个区间。纵坐标应该是落在该区间的个数。比如红色图为例：
分别在区间6，区间17和区间28的数量最多。（这里的理解不够严谨）
clc;
clear;
%--------------------------加载点云到工作空间-----------------------------
ptObj = pcread('teapot.ply');
%%下采样
ptCloudIn = pcdownsample(ptObj,'gridAverage',0.05);
%%提取特征描述子FPFH，features是 N × 33 ；N代表N个有效点，
keyInds = [6565 10000];
%keyInds = [1000 2000 3000];
features = extractFPFHFeatures(ptCloudIn,keyInds);
%%显示关键点云
ptKeyObj = pointCloud(ptCloudIn.Location(keyInds,:),'Color',[255 0 0;0 0 255]);
figure
pcshow(ptObj)
title('Selected Indices on Point Cloud')
hold on
pcshow(ptKeyObj,'MarkerSize',100)
hold off
%%在特征点点显示FPFH特征描述符N × 33 正实数值矩阵
figure
ax1 = subplot(2,1,1);
bar(features(1,:),'FaceColor',[1 0 0])
title('FPFH Descriptors of Selected Indices')
ax2 = subplot(2,1,2);
bar(features(2,:),'FaceColor',[0 0 1])
linkaxes([ax1 ax2],'xy')