机器学习之朴素贝叶斯（自学笔记）

一，概念

朴素贝叶斯是基于贝叶斯定理的分类方法，是应用比较广泛的分类方法。

朴素贝叶斯假设特征之间相互独立，虽然在一定程度上降低了贝叶斯分类的效果，但是，在实际应用中却有很好的效果。

二，算法原理

假设有m个类别$y_1,y_2,...,y_m$，有n个特征$x_1,x_2,...,x_n$，由朴素贝叶斯算法可以得出$P(Y|X)$:
$$P(Y|X)=\frac{P(Y)P(X|Y)}{P(X)}（1）$$
其中，$P(Y)$是$Y$的先验概率，$P(Y|X)$是Y的后验概率。

由于$X$之间是相互独立的，由独立的性质可以得到
$$\begin{gathered} P(X_1{X}_2)=P(X_1)P(X_2)（2） \\ P(X|Y=y)=P(X_1|Y=y)P(X_2|Y=y)（3） \end{gathered}$$
所以（1）式中的条件概率分布变成如下的形式:
$$P(X|Y=y)=\prod _i^{n}P(x_i|Y=y)（4）$$
由此可以计算出后验概率
$$P(Y|X)=\frac{P(Y)\prod _i^{n}P(x_i|Y=y)}{P(X)}（5）$$
由此得到了第J个样本所属的样本分类，即：
$$P(y_j|x_1,x_2,...,x_n)=\frac{P(y_j)\prod _{i=1}^{n}P(x_i|y_j)}{\prod _{i=1}^{n}P(X)}（6）$$

三，优缺点

优点：如果特征存在缺失的时候，朴素贝叶斯就有很好的用处。想象一下，如果某个特征缺失，预测的结果与特征之间的联系有关，预测的结果可能就不会很好。朴素贝叶斯的算法也很稳定，对于不同的数据分类结果的差异很小。如果数据的特征大多数都是独立的，那么朴素贝斯斯的分类效果会很好。

缺点：朴素贝叶斯的缺点就是，特征间的独立性。在现实生活中，往往很难找到多个特征之间是相互独立的。

四，引例

（一）提出问题

判断一个人是否去图书馆，假如与以下因素有关，天气好坏，当天是否有高数课，当天是否有其他校园活动，假设这些因素是独立的

想要知道此名学生在天气好，无高数课，有校园活动的情况下是否去图书馆？

通过贝叶斯公式可知，去图书馆的概率为：
$$p(去|天气好，无高数课，有校园活动)=\frac{p(天气好，无高数课，有校园活动|去)p(去)}{p(天气好，无高数课，有校园活动)}$$
再次条件下不去图书馆的概率为：
$$p(不去|天气好，无高数课，有校园活动)=\frac{p(天气好，无高数课，有校园活动|不去)p(不去)}{p(天气好，无高数课，有校园活动)}$$

（二）概率计算

1，改名学生去图书馆的概率：

p(去)=4/8=1/2

p(天气好|去)=1/4

p(无高数课|去)=1/4

p(有校园活动|去 )=1/2

p(天气好)=1/2

p(无高数课)=1/2

p(有校园活动)=5/8

p(去|天气好，无高数课，有校园活动)=[(1/4 * 1/4 * 1/2)(1/2)] / (1/2 * 1/2 * 5/8)

2，改名学生不去图书馆的概率：

p(不去)=4/8=1/2

p(天气好|不去)=3/4

p(无高数课|不去)=1/2

p(有校园活动|不去 )=1/4

p(天气好)=1/2

p(无高数课)=1/2

p(有校园活动)=5/8

p(不去|天气好，无高数课，有校园活动)=[(3/4 * 1/2 * 1/4)(1/2)] / (1/2 * 1/2 * 5/8)

3，比较

p(去|天气好，无高数课，有校园活动) < p(不去|天气好，无高数课，有校园活动)

所以我们根据朴素贝叶斯算法可以给改名学生的答案，是不去图书馆