曲面积分
35.曲面积分
曲面的各种表示形式
35.1 参数化曲面
参数化曲面的目的：当原曲面积分不易计算时，可以将曲面参数化，从而简化运算
个人理解：曲面S在xy平面上的投影为区域R，该投影区域的作用是方便确定点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的范围，即积分区域，将该投影（积分）区域参数化已达到简化计算的目的
参数化曲面时可以采用的坐标系：
（还包括其他坐标系，这里仅列出两个）
个人理解：曲面S在xy平面上的投影为区域R，该投影区域的作用是方便确定点 ( x , y ) (x,y) (x,y)的范围，即积分区域，将该投影（积分）区域参数化已达到简化计算的目的
Δ v r v \Delta v\bold{r}_v Δvrv是在原偏向向量 r v \bold{r}_v rv基础上进行了变化，以确保切平面的大小可以与曲面微元大小基本一致
将曲面参数化为柱面坐标的例子：
将曲面参数化为球面坐标的例子：
根据实际情况进行参数化曲面的例子：
曲面S的R在xy平面上的情况
例题：曲面由参数定义的类型
题目所求
∬ S z d S = ∬ S 1 z d S + ∬ S 2 z d S + ∬ S 3 z d S \iint\limits_SzdS=\iint\limits_{S_1}zdS+\iint\limits_{S_2}zdS+\iint\limits_{S_3}zdS S∬zdS=S1∬zdS+S2∬zdS+S3∬zdS
关于 S 1 S_1 S1的积分为0
z = 0 ， ∬ S 1 z d S = 0 z=0，\iint\limits_{S_1}zdS=0 z=0，S1∬zdS=0
接下来参数化曲面 S 2 S_2 S2，计算曲面 S 2 S_2 S2的面积
接下来参数化曲面 S 3 S_3 S3，计算曲面 S 3 S_3 S3的面积
综合以上：
35.2 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）
显式曲面：所有曲面的点被直接给出，或者可以通过映射关系直接得到–摘自：计算机图形学九：隐式曲面
显式曲面可以很轻易的采样到所有的点，但是给予你任意一点却很难判断它与曲面的关系–摘自：计算机图形学九：隐式曲面
显式曲面 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)
G ( x , y , z ) = z − f ( x , y ) G(x,y,z)=z-f(x,y) G(x,y,z)=z−f(x,y)
35.2.1 如何计算第一类曲面积分？
35.2.1(1)投影法(一投二代三替换四计算)
- 一投(求曲面的投影区域)
- 二代(将曲面方程及曲面微元dS表示式代入被积函数)
- 三替换(将积分区域曲面用投影区域替换)
- 四计算(计算二重积分)
关于如何计算第一类曲面积分可以参考这篇文章：拉帮结派的第一类曲面积分
下图例子来自：对面积的曲面积分【小元老师】
例题：
35.2.1(2)参数化曲面
隐式曲面 F ( x , y , z ) = c F(x,y,z)=c F(x,y,z)=c
隐式曲面不会告诉你任何点的信息，只会告诉你该曲面上所有点满足的关系–摘自：计算机图形学九：隐式曲面
隐式曲面难以采样曲面上的点，但是可以轻易判断点与曲面的关系–摘自：计算机图形学九：隐式曲面
一般地的我们会把隐式曲面的代数方程写作 F ( x , y , z ) = 0 F(x,y,z)=0 F(x,y,z)=0（将右侧常数移至左侧）
例如：方程 x 2 + y 2 + z 2 = 1 x^2+y^2+z^2=1 x2+y2+z2=1我们将其写为 F ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 1 = 0 F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1=0 F(x,y,z)=x2+y2+z2−1=0
∇ F ⋅ k ≠ 0 \nabla F\cdot \boldsymbol{k} \neq 0 ∇F⋅k=0 意味着梯度向量不能和单位法向量垂直，即意味着曲面不能垂直于坐标轴平面
例题：曲面为隐式曲面
例子：
例子：
计算参数化曲面的曲面积分
关于计算参数化曲面的通量的简化公式
用这个简化公式计算本题
计算等势面的曲面积分
计算薄壳的质量和矩
35.3 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）
详见本人博客：向量场中的曲线积分、环量、通量
35.3.1 曲面的方向
下图改编自：对坐标的曲面积分【小元老师】
35.3.2 通量
流量：在流体运动中，单位时间内流经的某属性量
通量：在流体运动中，单位时间内流经某单位面积的某属性量
35.3.3 如何计算第二类曲面积分？
35.3.3(1)化为二重积分（一代二换三定号）
下图来自：第二类曲面积分【小元老师】
注意符号！！!(可以用曲面法向量与z轴单位向量点乘确定)
下图例题来自：第二类曲面积分【小元老师】
35.3.3(2)高斯公式（化为三重积分）
关于使用高斯公式计算第二类曲面积分，可以参考这篇文章：谁能快速破解第二型曲面积分？唯我高斯公式！
使用高斯公式的条件和方法
35.4 第一类曲面积分与第二类曲面积分的联系
备注：末尾这里笔误，应该是第二类曲面积分与第一类曲面积分