33.方向导数和梯度向量

33.1 方向导数

方向导数是过方向向量作垂面与曲线的交线，在此交线上某点的切线斜率大小

$f(x_0+s{u}_1,y_0+s{u}_2)$ 中的 $x_0+s{u}_1$ 理解为x方向上起点 $x_0$ 的基础上走 $s$ 倍个单位向量的长度，y方向上起点 $y_0$ 的基础上走 $s$ 倍个单位向量的长度

方向导数的另一个定义

$$\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\underset{(\Delta x,\Delta y)\to (x,y)}{\lim }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}}$$

例子：

33.1.1 方向导数的性质

梯度的方向是函数在某点方向导数的最大方向
梯度的模是某点处方向导数的最大值
函数沿某一方向的方向导数是梯度在该方向上的投影
梯度 $\mathbf{grad}f(x,y)$或 $\nabla f$ 是曲面$f(x,y)=C$的一个切平面的法线向量，它所指的方向是函数$f(x,y)$增加的最快方向

方向导数的大小（小于最大值）= 梯度（方向导数的最大值） 点乘 单位方向向量

将方向向量平移至梯度的起点就可以进行点乘运算了，某点的梯度方向确定，该点处的不同单位方向向量与梯度点乘后得到不同的方向导数

根据上述性质计算方向导数（二元函数情况 $f(x,y)$ )
$$\begin{gathered} \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}=(x,y) \\ x=|\vec{u}|\cos \alpha \\ y=|\vec{u}|\sin \alpha \\ \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}=(x,y)=(|\vec{u}|\cos \alpha ,|\vec{u}|\sin \alpha ) \end{gathered}$$
$\alpha$、$\beta$为方向向量$\vec{u}$的方向角（即与坐标轴的交角）
我们使用单位方向向量
$$\begin{gathered} \text{unit vector}{\vec{u}}^0=\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} \\ x=|{\vec{u}}^0|\cos \alpha =\cos \alpha \\ y=|{\vec{u}}^0|\sin \alpha =\sin \alpha \\ {\vec{u}}^0=x\vec{i}+y\vec{j}=(x,y)=(\cos \alpha ,\sin \alpha ) \end{gathered}$$
$\alpha$为单位方向向量${\vec{u}}^0$的方向角（即与坐标轴的交角）

方向导数=梯度 点乘 单位方向向量
$$\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\mathbf{grad}f\cdot {\vec{u}}^0=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})\cdot (\cos \alpha ,\sin \alpha )=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \alpha$$
根据上述性质计算方向导数（三元函数情况 $f(x,y,z)$ )
$$\begin{gathered} \vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=(x,y,k) \\ \cos \alpha =\frac{\vec{u}\cdot \vec{i}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{i}|}=\frac{x}{|\vec{u}|}=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \cos \beta =\frac{\vec{u}\cdot \vec{j}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{j}|}=\frac{y}{|\vec{u}|}=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ \cos \gamma =\frac{\vec{u}\cdot \vec{k}}{|\vec{u}|\cdot |\vec{k}|}=\frac{z}{|\vec{u}|}=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} \\ {\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1 \\ x=|\vec{u}|\cos \alpha \\ y=|\vec{u}|\cos \beta \\ z=|\vec{u}|\cos \gamma \end{gathered}$$
$\alpha$、$\beta$、$\gamma$为方向向量$\vec{u}$的方向角（即与坐标轴的交角）
我们使用单位方向向量
$$\begin{gathered} \text{unit vector}{\vec{u}}^0=\frac{\vec{u}}{|\vec{u}|} \\ x=|{\vec{u}}^0|\cos \alpha =\cos \alpha \\ y=|{\vec{u}}^0|\cos \beta =\cos \beta \\ z=|{\vec{u}}^0|\cos \gamma =\cos \gamma \\ \overrightarrow{u^0}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=(x,y,k)=(\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma ) \end{gathered}$$
$\alpha$、$\beta$、$\gamma$为单位方向向量${\vec{u}}^0$的方向角（即与坐标轴的交角）
由梯度和方向向量求方向导数（二元函数情况）
方向导数=梯度 点乘 单位方向向量
$$\frac{\partial f}{\partial \vec{u}}=\mathbf{grad}f\cdot {\vec{u}}^0=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z})\cdot (\cos \alpha ,\cos \beta ,\cos \gamma )=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \alpha +\frac{\partial f}{\partial y}\cos \beta +\frac{\partial f}{\partial z}\cos \gamma$$

例子：

33.2 梯度向量

梯度的方向是函数在某点方向导数的最大方向
梯度的模是某点处方向导数的最大值
函数沿某一方向的方向导数是梯度在该方向上的投影
梯度 $\mathbf{grad}f(x,y)$或 $\nabla f$ 是曲面$f(x,y)=C$的一个切平面的法线向量，它所指的方向是函数$f(x,y)$增加的最快方向

例子：

备注：这些图似乎有些问题，当时没有理解到位，梯度应该是切平面的法线向量，不应该投影到xOy平面上，应该把梯度放到$P_0$处且切于曲面，然后三个方向的分量合成该梯度
$$\nabla f{|}_{P_0}=\frac{\partial f}{\partial x}{|}_{P_0}\mathbf{i}+\frac{\partial f}{\partial y}{|}_{P_0}\mathbf{j}+\frac{\partial f}{\partial z}{|}_{P_0}\mathbf{k}$$

33.2.1 梯度的代数法则

33.3 等高线的切线和梯度

例子：

33.4 路径的链式法则 (关于向量值函数)

33.5 曲线的切平面

例1：

例2：

例3：


$\nabla f$ 为椭圆在点$(1,1,3)$的梯度向量
$\nabla g$ 为平面中点$(1,1,3)$的梯度向量
$\nabla f\times \nabla g$ 为椭圆的切线方向的向量

33.6 估计特定方向的变化

例子：

33.7 线性化二元变量函数

例子：

如何减小估计误差

33.8 二元函数的全微分

回顾一元函数的微分

二元函数的微分

例子：

33.9 多元函数的全微分

例子：