作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
为什么要写这篇文章？
我们都知道，计算机的世界是一个充满了数学、逻辑、统计等学科，数学、统计学在计算机的应用占据着非常重要的地位。但是，对于绝大多数普通的开发人员来说，掌握计算机相关的数学知识却比较困难。这是因为，很多数学概念很复杂，而且不同学科之间存在一些共通的基础概念，如果只是了解这些概念而不去理解其背后的算法和理论，可能就会在实际应用中遇到很多问题。所以，为了帮助普通的开发者更好地理解数学的精髓和应用，我觉得写一篇相关的文章非常必要。
文章结构
这篇文章的内容主要包含以下几个方面：
- 代数的基本概念：对矩阵乘法、线性变换及逆变换、向量空间、希尔伯特空间、正交投影等基本概念进行讲解；
- 编码理论的基本概念和应用：对信息编码、无损压缩、量化压缩等基本概念进行讲解；
- 有损压缩算法：主要介绍常用的有损压缩算法——JPEG，并给出相应的C/C++程序实现；
- 概率论与统计学：对概率论、统计学的一些概念和应用进行讲解；
- 求解方程组：基于高斯消元法及其改进算法的求解方程组的方法，并给出相应的代码实现； 其中，前三部分分别介绍代数、编码理论、有损压缩，后两部分则涉及概率论与统计学、求解方程组。
文章主题
本文的主题是“代数与编码理论”，对应的英文标题是"Mathematics and Coding Theory". 作为技术博客文章，作者首先需要阐述自己的研究方向和研究目的，然后介绍相关的背景知识，然后详细阐述代数、编码理论、有损压缩、概率论与统计学、求解方程组的核心概念和基本方法。最后给出了相应的C++程序实现。希望通过文章的阅读，能够帮助读者掌握计算机数学领域的基本概念和方法，并且将这些概念运用到实际项目中，提升工作效率。2 代数
2.1 矩阵乘法
矩阵乘法是计算两个或多个矩阵相乘的一种重要运算符号。通常情况下，一个矩阵可以视作数值集合的列向量，另一个矩阵可以视作数值集合的行向量，由此生成一个新矩阵，其元素对应于对应位置上的元素的乘积。一般的，如果第一个矩阵有m行，第二个矩阵有n列，那么输出矩阵A的维数为m×n。例如，下面的矩阵乘法示意图便展示了矩阵乘法过程。 举个例子，设A = (a11, a12, a21, a22), B = (b11, b12; b21, b22)，求 A x B。显然，输出矩阵C = (c11, c12; c21, c22)，且 C = ((a11b11+a12b21, a11b12+a12b22); (a21b11+a22b21, a21b12+a22b22))。因此，矩阵乘法具有如下性质：
- 结合律：AB = BA
- 分配律：(AB)C = A(BC)
- 交换律：AB = BA
- 单位元：AA = E（单位矩阵），其中E是任意的m × m单位矩阵，比如当m=n时，E可取为单位阵I=(1,0;0,1)。若存在单位元，则称该运算为可逆的。
- 可加性：对A,B,C为任意矩阵，有AC + BC = (AB)C
- 对偶性：设A∈R^(m×n)，B∈R^(n×p)，则存在逆矩阵BA，使得AB = BA，称BA为A的B逆矩阵。即，对于矩阵乘法运算AB，存在另外一张方阵BA，满足AB = BA。
- 幺半群：矩阵乘法运算所形成的运算构成了矩阵空间R^(m×n)上的幺半群，记作A ⊗ B，其中A和B均为任意矩阵，则A ⊗ B = (AB)C，且(AB)(CD) = AC(BD)。这里，当m=p时，(AB)C为单位矩阵。
2.2 线性变换
线性变换是指利用矩阵表示的一个或多个变量对其他变量进行的一种映射关系。线性变换包括一次函数和多项式函数的线性组合形式，它们可以作为基底函数或参数化函数。例如，当给定不同的基底函数时，多项式函数就是线性变换。另外，有些线性变换还可以看做图形的变换，如平移、缩放、旋转、剪切等。线性变换可以分为几种类型，例如仿射变换（Affine Transformation）、非仿射变换（Non-Affine Transformation）。2.2.1 一次函数的线性变换
一次函数的线性变换就是对每个系数乘上一个常数c，这种变换的形式可以用矩阵的形式表达： Y = AX + b 其中X为输入向量，Y为输出向量，A为变换矩阵，b为偏置。线性变换又可以分为仿射变换和非仿射变换两种。仿射变换就是保持图形的几何形状不变，只改变坐标轴的位置，等比例缩放、斜切、旋转或者扭曲图形，但是不会拉伸。非仿射变换就是图形发生的剧烈变化，譬如光线反射、透射、折叠、旋转、错开、移动、扭曲等，但是保持图形的几何形状不变。2.2.2 多项式函数的线性组合
多项式函数的线性组合可以视作将一系列一次函数线性地叠加起来，因而可以作为基底函数的线性变换。如果用一组基函数构建多项式，那么这个多项式便可以视作参数化函数的一部分，它就可以作为基底函数的线性变换。多项式函数的线性变换可以通过乘以常数进行简单的线性组合，也可以通过做傅里叶变换将其转换为一次函数进行线性组合。2.3 线性变换的逆变换
线性变换的逆变换是指将变换后的值再恢复到变换前的值，这一点同样可以通过矩阵的形式进行描述。线性变换的逆变换可以使用矩阵的逆矩阵来表示，矩阵的逆矩阵定义为当乘以某个矩阵时，结果的矩阵等于单位阵，也被称为伴随矩阵。2.4 向量空间
向量空间是由向量组成的集合，包括它的所有向量及它们的线性组合，所构成的空间的性质也称为向量空间的维数，向量空间通常是具有一定范数的数域内的向量的集合。向量空间有很多种，如欧氏空间、复数空间、实数空间、空间直角坐标系中的笛卡尔坐标系等。向量空间的主要特征是在不同向量之间的线性组合仍保持其性质，例如对于空间直角坐标系中的笛卡尔坐标系来说，不同坐标的线性组合仍保持直线性、距离零的特性。2.5 希尔伯特空间
希尔伯特空间（Hilbert Space）是指具有定义良好的内积或内积范数的一类空间，它的内积又称为内积空间或测度空间。定义良好的内积要求满足如下条件： - 兼容性：对于任意两个向量x和y，都有<x,y> = <y,x>。
- 齐次性：对于任意向量x，都有<x,0> = 0。
- 自反性：对于任意向量x，都有<x,x>=|x|^2。
- 三角不等式：对于任意三个向量x、y、z，有|x+y|<|x|+|y|。
- 线性算子：<Ax,By> = (<A,y>, <x,B>)。 如果一个向量空间H是希尔伯特空间，则它是一个完备的希尔伯特空间。希尔伯特空间是研究向量空间的极限，可以将其看做由许多不同类型向量所组成的集合。希尔伯特空间中最重要的是集合间的连续映射、和的定义、内积空间的定义、范数的定义等。
2.6 正交投影
设V为一向量空间V和W为V的子空间，如果存在由V到W的变换T，使得对所有v∈V，有Tv≒v，则称T为V到W的正交投影。如果T是唯一的，则称V到W是正交的，记作V⊥W。关于正交投影有一个重要的推论：设U和V都是向量空间，如果U⊥V且V⊥W，那么U⊥W，也就是说，U和V的正交投影所覆盖的空间是W。正交投影的另一个重要性质是：设U和V是子空间，则U⊥V 当且仅当 U 是 V 的正交补空间。3 编码理论
3.1 信息编码
信息编码，亦称数据压缩技术，是指对原始数据按照某种规则进行变换，得到压缩后的形式，从而降低信息的存储量，提高数据的处理速度和传输速率。常见的数据压缩算法包括无损压缩、有损压缩、离散余弦变换（DCT）、小波变换等。3.1.1 无损压缩
无损压缩算法是指原始数据经过压缩后，尽可能的保留原始数据的全部信息，但得到的结果会出现失真。有时候，也会引入一些误差，但由于算法本身没有引入错误，所以称为无损压缩。常见的无损压缩算法有ASCII编码、Lempel-Ziv-Welch编码、Lempel-Ziv-Storer-Szymanski编码、算数编码等。3.1.2 有损压缩
有损压缩算法则是指原始数据经过压缩后，可能会丢弃掉一些重要的信息。常见的有损压缩算法有哈夫曼编码、霍夫曼编码、游程编码、算术编码、熵编码等。3.2 JPEG压缩
JPEG（Joint Photographic Experts Group）是最知名的无损压缩格式，属于有损压缩。JPEG对图像的压缩采用了先进的dct算法和哈夫曼编码，并在压缩过程中加入了一些有损压缩技术。JPEG的压缩率比较高，同时也带来了色彩丢失和图像模糊的问题。3.3 小波变换
小波变换是一种常用的有损图像压缩方法。它通过分析图像中的局部纹理细节，把各个像素点之间的相关性尽量减弱，从而达到有效降低图像大小的效果。小波变换是根据信号处理中的小波理论建立起来的。小波变换本质上是通过利用小波的结构来抽象和表示图像的局部结构特征。4 有损压缩算法
4.1 哈夫曼编码
哈夫曼编码是一种最早的无损数据压缩算法。它的基本想法是，用一个短的码字来代表一个长的原文字节，这样就可以对任意长度的二进制串进行压缩。哈夫曼编码利用了源文本中出现的字符的频率分布特性，构造出码字集，其中每一个码字都是最小的，而且没有冗余信息。
假设源文本t是由n个字符组成的字符串，用字典D={d1,d2,...dk}表示。设c[i]表示第i个字符，ci的概率pi表示为pi=f(c[i])/n，f()是计数器。假设字符集ci组成的序列s=(si,i=1,2,...,n)称为源符号序列。设由Nk个不同字符的信源序列t的概率为Pk=pk/N。
设C={(ci,pi)}{i=1}^K称为词典，其中ci表示编码字符，pi表示对应字符的概率。对C的按概率排序：C'={(ci',pi')}{i=1}^K，其中pi'=log(pk/Ni)+Σp'_jlog((pk'-pj')/(N-Nj)),j=1,2,...,k-1, Ni和Nj表示字典中字符的个数。这样做的目的是使每个字符的编码长度越小越好，同时保证了概率符号表是最优的。
设s'=(si',i=1,2,...,n)称为辅助序列，其中si'是编码后的字符，定义为c'(si)和k'(si)的联合。这样，源符号序列s可被编码为辅助序列s'。
编码过程如下：
- 找出词典Ck={(ck,pk)}_{k=1}^K，其中ck表示源字符，pk表示字符的概率。
- 对字符序列s中的每个字符si，用词典Ck来查找最接近其概率的字符ck。
- 将si替换为ck，并记录ck和k'(si)。
- 根据Pk、C、Σpk'log((pk'-pj')/(N-Nj))计算新的词典Ck'={(ck',pk')}_{k=1}^{K+1}，其中ck'表示源字符和概率的联合，pk'=log(pk)+Σp_jlog((pk'-pj')/(N-Nj)),j=1,2,...,K, N为字符总个数。
- 重复步骤2～4，直至s中的所有字符都被编码完成。
- 返回s'。
解码过程如下：
- 从辅助序列s'中读取si'。
- 通过si'来找出字符ck，计算ck的概率pi。
- 用ck和pi计算ck的累积概率Cpk，并根据Cpk和C'={(ci',pi')}_{i=1}^K找出s中的相应的字符。
- 重复步骤2～3，直至s'中的所有字符都被解码完成。
- 返回解码后的字符序列s。
5 概率论与统计学
5.1 概率分布
概率分布（Probability Distribution）是用来描述随机事件发生的可能性。通常情况下，概率分布是以某个参数θ来表示，比如以某一群体的人口数量θ表示。由于随机事件是无法直接观察到的，只能获得其样本值，所以只能通过对样本值的分析来估计概率分布。统计学的核心任务就是研究随机现象及其样本空间，从而找出概率分布。5.2 期望、方差、协方差、标准差
期望（Expectation）是随机变量的数学期望。它衡量随机变量在平均意义下的或主观上的中心位置。方差（Variance）表示的是随机变量与其期望之间的偏离程度。协方差（Covariance）表示的是两个随机变量之间的线性相关性。标准差（Standard Deviation）就是协方差的平方根。5.3 线性回归模型
线性回归模型（Linear Regression Model）是用来预测连续型变量y与一个或多个 predictor variable x 间的关系。线性回归的假设是假设 y 可以通过 predictor variables x 来表示，即 h(x)=β0+β1x+ε。用矩估计法估计 β0 和 β1 。5.4 KNN算法
KNN算法（K Nearest Neighbors Algorithm）是一种用于分类和回归问题的非参数学习方法。KNN算法是一个简单而有效的算法，它没有显式的假设，也不需要进行模型选择，既适用于标注数据，也适用于没有标签的数据。算法的工作原理是在训练阶段时，算法会将所有训练样本存入内存，之后对测试样本的输入，算法会找到k个最近邻样本，通过这k个最近邻样本来决定测试样本的类别。6 求解方程组
6.1 高斯消元法
高斯消元法（Gauss Elimination Method）是求解线性方程组的一种方法。其基本思路是将方程组中的每一个方程写成等价的形式，这样就方便于使用高斯消元法进行求解。6.2 LU分解
LU分解（LU decomposition）是将线性方程组Ax=b分解为两个下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积形式，即 Ax = LUx = Ly = z。这里，x和y代表方程组的解，而L和U则分别是行列式都为1的下三角矩阵和上三角矩阵。使用LU分解可以快速求解线性方程组，尤其是在求解稀疏矩阵时的速度优势明显。