【信号与系统 - 1】周期信号的傅里叶级数展开

1 傅里叶级数展开的定义

已知：一个周期信号 $f(t)$ 是一个直流分量（幅度为$c_0$）加上一序列余弦信号分量（$w_0$基波分量和与之成谐波关系的k次谐波分量$k{w}_0$）经过加权求和得到的

所以，
$$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{jk{w}_{0}t}$$
其中 $c_k$ 是 负指数信号分量 $e^{jk{w}_{0}t}$ 的加权系数，也叫做傅里叶系数，同时也是 $f(t)$ 的频谱系数

分量 $e^{jk{w}_{0}t}$ 中当 $k=0$ 时，即 $e^0=1$， 该信号分量为直流分量，对应的傅里叶系数为 $c_0$

2 傅里叶系数 $c_k$

对 $f(t)={\sum }_{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{jk{w}_{0}t}$ 两边同时乘以 $e^{-jn{w}_{0}t}$，得到
$$e^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{jk{w}_{0}t}\ast e^{-jn{w}_{0}t}$$
$$e^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{j(k-n)w_{0}t}$$
对上面式子在一个周期 $T$ 内对 $t$ 积分
$${\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt={\int }_T\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast e^{j(k-n)w_{0}t}dt$$
进一步整理：
$${\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{c}_k\ast [{\int }_T{e}^{j(k-n)w_{0}t}dt]$$
提取出积分部分 ${\int }_T{e}^{j(k-n)w_{0}t}dt$，积分的主体是频率为 $w‘=(k-n)w_0$，则对应的周期为 $T‘=\frac{2\pi }{(k-n)w_0}$，现在的周期是 $e^{j{w}_{0}t}$ 的 $\frac{1}{k-n}$ 倍，易得：
$${\int }_T{e}^{j(k-n)w_{0}t}dt=\{\begin{array}{ll}T，& k=n\\ 0，& k\ne n\end{array}$$
$k=n$ 时
$${\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt=T\ast c_n$$
整理得到：
$$c_n=\frac{1}{T}\ast {\int }_T{e}^{-jn{w}_{0}t}\ast f(t)dt$$
用谐波次数 $k$ 代替 $n$：
$$c_k=\frac{1}{T}\ast {\int }_T{e}^{-jk{w}_{0}t}\ast f(t)dt，|k|=0,1,2,\mathrm{3...}$$

3 傅里叶级数展开的几何意义

摘自陈爱军《深入浅出通信原理》一书p119

傅里叶级数展开的本质就是用一系列角速度为 $w=k{w}_0$ 的旋转向量 $c_k\ast e^{-jk{w}_{0}t}$ 来合成周期信号
这个旋转向量在 $t=0$ 时刻对应的向量 $c_k\ast e^0$ ，即 $c_k$，就是傅里叶系数

4 $f(t)$性质

结论是：“偶函数的傅里叶级数只有直流分量和余弦分量”，“奇函数的傅里叶级数只有直流分量与正弦分量”

• 以方波信号（实际上就是周期的门函数）为例
  周期为 $T$ ，占空比为1/2，脉宽为$\tau =\frac{1}{2}T$
  1)直流分量的傅里叶系数
  $$c_0=\frac{1}{T}{\int }_{T}f(t)\ast e^{0}dt=\frac{1}{T}{\int }_{T}1dt=\frac{1}{T}{\int }_{\tau }1dt+0=0.5$$
  2)复指数信号分量的傅里叶系数
  $$c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}f(t)e^{-jk{w}_{0}t}dt=\frac{1}{T}[{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}cos(k{w}_{0}t)dt-j{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}sin(k{w}_{0}t)dt]$$
  得出结论： 其中正弦分量 $sin(k{w}_{0}t)$ 为奇函数，在Y轴两边对称积分为0，所以没有偶函数的傅里叶级数没有正弦分量

继续对上面式子整理得到：
$$c_k=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{\tau }{2}}^{\frac{\tau }{2}}cos(k{w}_{0}t)dt=\frac{2}{T}{\int }_0^{\frac{\tau }{2}}cos(k{w}_{0}t)dt$$
其中 $d(k{w}_{o}t)=k{w}_0\ast dt$ ，则 $dt=\frac{1}{k{w}_0}d(k{w}_{0}t)$，令 $t_1=k{w}_{0}t$
$${\int }_0^{\frac{\tau }{2}}cos(k{w}_{0}t)dt=\frac{1}{k{w}_o}{\int }_0^{k{w}_0\ast \frac{\tau }{2}}cos{t}_{1}d{t}_1=\frac{1}{k{w}_o}[sin{t}_1{]}_0^{\frac{k{w}_0\tau }{2}}=\frac{sin(\frac{k{w}_0\tau }{2})}{k{w}_0}$$
整理得到：
$$c_k=\frac{2sin(\frac{k{w}_0\tau }{2})}{k{w}_{0}T}$$
由 $T=\frac{2\pi }{w_0}$，则 $w_{0}T=2\pi$，则 $w_0\tau =w_0\ast \frac{T}{2}=\pi$
$$c_k=\frac{2sin(\frac{k\pi }{2})}{2k\pi }=\frac{1}{2}\ast \frac{sin(\frac{k\pi }{2})}{\frac{k\pi }{2}}$$
由于 等幅振荡信号（也叫辛格函数） $sin[c(x)]=sin(\pi x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$（是个振荡衰减信号）
$$c_k=\frac{1}{2}\ast sin[c(\frac{k}{2})]$$

$sin[c(x)]$ 与 抽样函数$Sa(x)=\frac{sinx}{x}$ 很像

% 参数设置
fs = 10; % 采样频率 (Hz)
T = 1/fs; % 采样周期 (s)
L = 200; % 信号长度
t = (-L:L-1)*T; % 时间向量

% 生成Sa(t)信号
x = zeros(size(t));
for i = 2:length(t)
    x(i) = sin(t(i)) / t(i);
end

y = zeros(size(t));
for i = 2:length(t)
    y(i) = sin(pi*t(i)) / (pi*t(i));
end

% 绘制图像
figure;
plot(t, x, 'r:', t, y, 'b-','LineWidth',1);
legend('抽样函数','辛格函数'); 
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');
title('信号图像');
grid on;

推广：周期窗函数信号在幅度为1，占空比为 $1/n$ ，即 $\tau =\frac{T}{n}$
$$c_K=\frac{1}{n}sin[c(\frac{k}{n})]$$