一、递增子序列
1.题目
Leetcode：第 491 题
给你一个整数数组 nums ，找出并返回所有该数组中不同的递增子序列，递增子序列中 至少有两个元素 。你可以按 任意顺序 返回答案。
数组中可能含有重复元素，如出现两个整数相等，也可以视作递增序列的一种特殊情况。
示例 1：
输入：nums = [4,6,7,7] 输出：[[4,6],[4,6,7],[4,6,7,7],[4,7],[4,7,7],[6,7],[6,7,7],[7,7]]
示例 2：
输入：nums = [4,4,3,2,1] 输出：[[4,4]]
2.解题思路
使用回溯算法来解决序列问题。findSubsequences 函数负责初始化并开始回溯过程。backtracking 函数是回溯算法的核心，它尝试在每个位置选择或不选择当前的元素，并递归地继续处理后续的元素。通过这种方式，backtracking 函数能够找到所有可能的子序列。使用一个大小为 201 的数组 used 来标记元素是否已经被使用过。这是因为数组 nums 中的元素值被假定为在 0 到 200 之间。如果 nums 中的元素值超出这个范围，需要相应地调整 used 数组的大小。此外，used 数组的索引是 nums[i] + 100，这是为了将 nums 中的元素值映射到 used 数组的索引范围内。
3.实现代码
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;// 定义一个二维整数数组用于存储所有子序列的结果
vector<int> path; // 定义一个一维整数数组用于存储当前子序列
// 定义 backtracking 函数，用于实现回溯算法
void backtracking(vector<int>& nums, int startIdex) {
// 如果当前子序列的长度大于1，将其添加到结果集中
if (path.size() > 1) {
result.push_back(path);
}
// 定义一个数组用于标记数组中每个元素是否已经被使用过
int used[201] = { 0 };
// 遍历 nums 数组，从 startIdex 开始
for (int i = startIdex; i < nums.size(); i++) {
// 如果当前元素已经被添加到路径中，或者当前元素小于路径中最后一个元素，跳过
if ((!path.empty() && nums[i] < path.back()) || used[nums[i] + 100] == 1) {
continue;
}
used[nums[i] + 100] = 1; // 标记当前元素为已使用
path.push_back(nums[i]);// 将当前元素添加到路径中
backtracking(nums, i + 1);// 递归调用 backtracking 函数，以当前元素的下一个元素作为新的起始索引
path.pop_back();// 回溯：从路径中移除最后一个元素
}
}
// 定义 findSubsequences 函数，用于生成所有子序列
vector<vector<int>> findSubsequences(vector<int>& nums) {
// 清空结果集和路径，为生成新的子序列做准备
result.clear();
path.clear();
backtracking(nums, 0); // 调用 backtracking 函数，开始回溯过程
return result;// 返回结果集 result
}
};
//测试
int main()
{
Solution p;
vector<vector<int>> result;
vector<int>nums = { 4,6,7,7 };
result = p.findSubsequences(nums);
cout << "所有的组合有：" << endl;
for (auto& ans : result) {
cout << "[";
for (auto& i : ans) {
cout << i << " ";
}
cout << "]" << endl;
}
cout << endl;
return 0;
}
二、全排列
1.题目
Leetcode：第 46 题
给定一个不含重复数字的数组 nums ，返回其 所有可能的全排列 。你可以 按任意顺序 返回答案。
示例 1：
输入：nums = [1,2,3] 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
示例 2：
输入：nums = [0,1] 输出：[[0,1],[1,0]]
示例 3：
输入：nums = [1] 输出：[[1]]
2.解题思路
使用回溯算法来解决排列问题。permute 函数负责初始化并开始回溯过程。backtracking 函数是回溯算法的核心，它尝试在每个位置放置数组中的每个元素，并递归地继续处理后续的元素。通过这种方式，backtracking 函数能够找到所有可能的排列。used 向量是一个辅助工具，用于确保数组中的每个元素在当前排列中只出现一次，并允许回溯算法在必要时回退到之前的步骤，以探索其他可能的排列。这种方法可以生成包括重复元素在内的所有排列，如果数组中有重复元素，结果集中可能会出现重复的排列。如果需要排除重复的排列，可以增加额外的逻辑来检查新排列是否已经存在于结果集中。
3.实现代码
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result; // 定义一个二维整数数组用于存储所有排列的结果
vector<int> path;// 定义一个一维整数数组用于存储当前排列
// 定义 backtracking 函数，用于实现回溯算法
void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
// 如果当前排列的长度等于原数组的长度，说明找到了一个完整的排列
if (path.size() == nums.size()) {
result.push_back(path);// 将当前排列添加到结果集中
return; // 返回继续搜索其他排列
}
// 遍历数组中的每个元素
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
// 如果该元素已经被使用过，则跳过
if (used[i] == true) continue;
used[i] = true;// 标记该元素为已使用
path.push_back(nums[i]);// 将该元素添加到当前排列中
backtracking(nums, used);// 递归调用 backtracking 函数，继续寻找下一个元素的排列
path.pop_back();// 回溯：从当前排列中移除最后一个元素，尝试其他可能性
used[i] = false;// 重置该元素为未使用状态，以便其他排列可以使用
}
}
// 定义 permute 函数，用于生成所有排列
vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
// 清空结果集和当前排列，为生成新的排列做准备
result.clear();
path.clear();
vector<bool> used(nums.size(), false);// 创建一个与 nums 数组大小相同的布尔向量，用于跟踪每个元素是否已使用
backtracking(nums, used); // 调用 backtracking 函数，开始回溯过程
return result;// 返回结果集 result，其中包含了所有可能的排列
}
};
//测试
int main()
{
Solution p;
vector<vector<int>> result;
vector<int>nums = { 1,2,3 };
result = p.permute(nums);
cout << "所有的组合有：" << endl;
for (auto& ans : result) {
cout << "[";
for (auto& i : ans) {
cout << i << " ";
}
cout << "]" << endl;
}
cout << endl;
return 0;
}
三、全排列Ⅱ
1.题目
Leetcode：第 47 题
给定一个可包含重复数字的序列 nums ，按任意顺序 返回所有不重复的全排列。
示例 1：
输入：nums = [1,1,2] 输出： [[1,1,2], [1,2,1], [2,1,1]]
示例 2：
输入：nums = [1,2,3] 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]
2.解题思路
使用回溯算法来解决排列问题。在这个类中，permuteUnique 函数首先清空结果集和当前路径，然后对输入数组 nums 进行排序。排序后，它创建一个布尔向量 used 来跟踪每个元素是否已被使用，并调用 backtracking 函数开始生成排列。backtracking 函数是回溯算法的核心，它尝试在每个位置放置数组中的每个元素，并递归地继续处理后续的元素。通过检查 i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false 来跳过与前一个未使用的元素相同的元素，从而避免生成重复的排列。这种方法可以生成数组的所有唯一排列，即使数组中有重复元素，结果集中也不会出现重复的排列。
3.实现代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
class Solution {
public:
vector<vector<int>> result;// 定义一个二维整数数组用于存储所有唯一排列的结果
vector<int> path;// 定义一个一维整数数组用于存储当前正在构建的排列
// 定义 backtracking 函数，用于实现回溯算法生成唯一排列
void backtracking(vector<int>& nums, vector<bool>& used) {
// 当前路径的长度等于原始数组的长度时，说明找到了一个完整的排列
if (path.size() == nums.size()) {// 将当前路径添加到结果集中
result.push_back(path);
return;// 返回继续搜索其他排列
}
// 遍历数组中的每个元素
for (int i = 0; i < nums.size(); i++) {
// 如果当前元素与前一个元素相同，并且前一个元素未被使用过，则跳过当前元素以避免重复
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1] && used[i - 1] == false) {
continue;
}
// 如果当前元素未被使用
if (used[i] == false) {
used[i] = true;// 标记当前元素为已使用
path.push_back(nums[i]);// 将当前元素添加到路径中
backtracking(nums, used);// 递归调用 backtracking 函数，继续寻找下一个元素的排列
path.pop_back();// 回溯：从路径中移除最后一个元素，回退到上一步
used[i] = false;// 重置当前元素为未使用状态，以便可以重新使用
}
}
}
// 定义 permuteUnique 函数，用于生成所有唯一排列
vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
// 清空结果集和当前路径，为生成新的排列做准备
result.clear();
path.clear();
sort(nums.begin(), nums.end());// 对输入数组进行排序，这样相同的元素会相邻，有助于避免重复排列
vector<bool> used(nums.size(), false);// 创建一个布尔数组，用于跟踪数组中的每个元素是否已被使用
backtracking(nums, used);// 调用 backtracking 函数，开始回溯过程生成排列
return result;// 返回包含所有唯一排列的结果集
}
};
//测试
int main()
{
Solution p;
vector<vector<int>> result;
vector<int>nums = { 1,2,2 };
result = p.permuteUnique(nums);
cout << "所有的组合有：" << endl;
for (auto& ans : result) {
cout << "[";
for (auto& i : ans) {
cout << i << " ";
}
cout << "]" << endl;
}
cout << endl;
return 0;
}
ps：以上皆是本人在探索算法旅途中的浅薄见解，诚挚地希望得到各位的宝贵意见与悉心指导，若有不足或谬误之处，还请多多指教。