【数学建模】微分方程的数值求解

发布于:2024-06-11 ⋅ 阅读:(12) ⋅ 点赞:(0)

一阶差分求解微分方程原理:

d y d x = f ( x n , y n ) \dfrac{dy}{dx}=f(x_n,y_n) dxdy=f(xn,yn)

y n + 1 − y n x n + 1 − x n = f ( x n , y n ) \dfrac{y_{n+1}-y_n}{x_{n+1}-x_n}=f(x_n,y_n) xn+1xnyn+1yn=f(xn,yn)

h = x n + 1 − x n h = x_{n+1} - x_n h=xn+1xn

y n + 1 = y n + h f ( x n , y n ) y_{n+1}=y_n+hf(x_n,y_n) yn+1=yn+hf(xn,yn)

例子:
{ d y d x = x y y 0 = 1 \begin{cases} \dfrac{dy}{dx}=xy\\ y_0 = 1 \end{cases} dxdy=xyy0=1

通过高等数学可以求得解析解为: y = e 1 2 x 2 y=e^{\frac{1}{2}x^2} y=e21x2

如果通过一阶差分求解
{ y n + 1 = y n + h x n y n x n + 1 = x n + h y 0 = 1 x 0 = 0 \begin{cases} y_{n+1}=y_n+hx_ny_n\\ x_{n+1}=x_n+h\\ y_0 = 1\\ x_0 = 0 \end{cases} yn+1=yn+hxnynxn+1=xn+hy0=1x0=0

matlab求解:

y = zeros(1,1000);
x = zeros(1,1000);
y(1)=1;
x(1)=0;
h=0.1;

for n=1:1000
    y(n+1)=y(n)+h*x(n)*y(n);
    x(n+1)=x(n)+h;
end
plot(x,y,'-');
xlim([0,6]);
ylim([0,100]);

在这里插入图片描述
如果再加上解析解

y = zeros(1,1000);
x = zeros(1,1000);
y(1)=1;
x(1)=0;
h=0.1;

for n=1:1000
    y(n+1)=y(n)+h*x(n)*y(n);
    x(n+1)=x(n)+h;
end
plot(x,y,'-');
hold on;
ezplot('exp(x^2/2)');
xlim([0,6]);
ylim([0,100]);

在这里插入图片描述
h=0.01如下图
在这里插入图片描述

四阶龙格-库塔方法

原理/公式
在这里插入图片描述

优点:精度高

ezplot('exp(x^2/2)');
hold on;
%四阶龙格-库塔方法
y = zeros(1,1000);
x = zeros(1,1000);
y(1)=1;
x(1)=0;
h=0.1;
for n=1:1000
    k1 = h*(x(n)*y(n));%h*f(x(n),y(n))
    k2 = h*((x(n)+h/2)*(y(n)+k1/2));%h*f(x(n)+h/2,y(n)+k1/2)
    k3 = h*((x(n)+h/2)*(y(n)+k2/2));%h*f(x(n)+h/2,y(n)+k2/2)
    k4 = h*((x(n)+h)*(y(n)+k3));%h*f(x(n)+h,y(n)+k3)
    y(n+1)=y(n)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
    y(1)=1;
    x(n+1)=x(n)+h;
end
plot(x,y,'-');
xlim([0,6]);
ylim([0,100]);

在这里插入图片描述
细看是两条线
在这里插入图片描述

应用:小船渡河问题:

河宽100米,A(0,100) , O(0,0),水流速 V 1 V_1 V1,小船速度 V 2 V_2 V2,水流速度始终垂直OA并向下流冲(方向不变)
从O到A点,求轨迹路线图和时间
V 2 V_2 V2平行的相量 ( − x , 100 , − y ) (-x,100,-y) (x,100,y)

c o s θ = − x x 2 + ( 100 − y ) 2 cos_{\theta} = \dfrac{-x}{\sqrt{x^2}+(100-y)^2} cosθ=x2 +(100y)2x

s i n θ = 100 − y x 2 + ( 100 − y ) 2 sin_{\theta} = \dfrac{100-y}{\sqrt{x^2}+(100-y)^2} sinθ=x2 +(100y)2100y

{ d y d t = V 2 s i n θ d x d t = X 1 + V 2 c o s θ \begin{cases} \dfrac{dy}{dt}=V_2sin_{\theta}\\ \dfrac{dx}{dt}=X_1+V_2cos_{\theta} \end{cases} dtdy=V2sinθdtdx=X1+V2cosθ

d y d x = V 2 s i n θ V 1 + V 2 c o s θ = V 2 ( 100 − y ) x 2 + ( 100 − y ) 2 V 1 − V 2 x \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{V_2sin_{\theta}}{V_1+V_2cos_{\theta}}=\dfrac{V_2(100-y)}{\sqrt{x^2+(100-y)^2}V_1-V_2x} dxdy=V1+V2cosθV2sinθ=x2+(100y)2 V1V2xV2(100y)

因为 x x x变量随着 y y y增大有增有减,而 y y y变量随着 x x x增大有递增,所以 y y y为自变量可以求解

变换后:
d x d y = V 1 + V 2 c o s θ V 2 s i n θ = x 2 + ( 100 − y ) 2 V 1 − V 2 x V 2 ( 100 − y ) \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{V_1+V_2cos_{\theta}}{V_2sin_{\theta}}=\dfrac{\sqrt{x^2+(100-y)^2}V_1-V_2x}{V_2(100-y)} dydx=V2sinθV1+V2cosθ=V2(100y)x2+(100y)2 V1V2x

x 0 = y 0 = 0 x_0 = y_0 = 0 x0=y0=0

y = zeros(1,1000);
x = zeros(1,1000);
x(1)=0;
y(1)=0;
v1=30;
v2=200;
h=0.1;
%差分求解轨迹
for n=1:1000 %1000*h = 100
    x(n+1)=x(n)+h*((sqrt(x(n)^2+(100-y(n))^2)*v1-v2*x(n))/(v2*(100-y(n))));
    y(n+1)=y(n)+h;
end

plot(x,y,'-');
hold on;
%四阶龙格-库塔方法求轨迹
y = zeros(1,1000);
x = zeros(1,1000);
x(1)=0;
y(1)=0;
for n=1:1000
    k1 = h*((sqrt(x(n)^2+(100-y(n))^2)*v1-v2*x(n))/(v2*(100-y(n))));%h*f(x(n),y(n))
    k2 = h*((sqrt((x(n)+h/2)^2+(100-(y(n)+k1/2))^2)*v1-v2*(x(n)+h/2))/(v2*(100-(y(n)+k1/2))));%h*f(x(n)+h/2,y(n)+k1/2)
    k3 = h*((sqrt((x(n)+h/2)^2+(100-(y(n)+k2/2))^2)*v1-v2*(x(n)+h/2))/(v2*(100-(y(n)+k2/2))));%h*f(x(n)+h/2,y(n)+k2/2)
    k4 = h*((sqrt((x(n)+h)^2+(100-(y(n)+k3))^2)*v1-v2*(x(n)+h))/(v2*(100-(y(n)+k3))));%h*f(x(n)+h,y(n)+k3)
    x(n+1)=x(n)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
    y(n+1)=y(n)+h;
end
plot(x,y,'-');
%(sqrt(x(n)^2+(100-y(n))^2)
%差分求解时间
t = zeros(1,1000);
for n=1:1000
    t(n+1)=t(n)+h*(1/(v2*(100-y(n))/(sqrt(x(n)^2+(100-y(n))^2))));
end

xlim([0,10]);
ylim([0,100]);

在这里插入图片描述
使用特解验证时间算的对不对
在这里插入图片描述在这里插入图片描述

进阶求二阶微分方程

例子:
{ y ′ ′ − 2 y ′ + y = 0 y 0 = 1 y 0 ′ = 2 \begin{cases} y''-2y'+y=0\\ y_0=1\\ y'_0=2 \end{cases} y′′2y+y=0y0=1y0=2
解析解为: y = e x + x e x y=e^x+xe^x y=ex+xex
差分求解:
y 1 = y , y 2 = y ′ y_1=y,y_2=y' y1=y,y2=y

{ y 1 ′ = y 2 y 2 ′ = 2 y 2 − y 1 y 1 0 = 1 y 2 0 = 2 \begin{cases} y_1'=y2\\ y_2'=2y_2-y_1\\ y_{1_0}=1\\ y_{2_0}=2 \end{cases} y1=y2y2=2y2y1y10=1y20=2

y1 = zeros(1,1000);
y2 = zeros(1,1000);
x = zeros(1,1000);
y1(1)=1;
y2(1)=2;
x(1)=0;
h=0.01;
xlim([0,6]);
ylim([0,100]);

for n=1:1000
    y2(n+1)=y2(n)+h*(2*y2(n)-y1(n));
    y1(n+1)=y1(n)+h*y2(n);
    x(n+1)=x(n)+h;
end

%plot(x,y1,'-');
hold on;
%四阶龙格-库塔方法
y1 = zeros(1,1000);
y2 = zeros(1,1000);
x = zeros(1,1000);
y1(1)=1;
y2(1)=2;
x(1)=0;
for n=1:1000
    k1 = h*(2*y2(n)-y1(n));%h*f(x(n),y(n))
    k2 = h*(2*(y2(n)+k1/2)-(y1(n)+h/2));%h*f(x(n)+h/2,y(n)+k1/2)
    k3 = h*(2*(y2(n)+k2/2)-(y1(n)+h/2));%h*f(x(n)+h/2,y(n)+k2/2)
    k4 = h*(2*(y2(n)+k3)-(y1(n)+h));%h*f(x(n)+h,y(n)+k3)

    y2(n+1)=y2(n)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
    
    k1 = h*y2(n);%h*f(x(n),y1(n))
    k2 = h*(y2(n)+h/2);%h*f(x(n)+h/2,y(n)+k1/2)
    k3 = h*(y2(n)+h/2);%h*f(x(n)+h/2,y(n)+k2/2)
    k4 = h*(y2(n)+h);%h*f(x(n)+h,y(n)+k3)
    y1(n+1)=y1(n)+(1/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
    
    x(n+1)=x(n)+h;
end
plot(x,y1,'-');

%解析解

ezplot('exp(x)+x*exp(x)');
xlim([0,6]);
ylim([0,100]);

在这里插入图片描述