【1.5】动态规划-解分割等和子集

发布于:2024-07-11 ⋅ 阅读:(21) ⋅ 点赞:(0)

一、问题


给你一个只包含正整数的非空数组nums。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等。

二、求解思路1

动态规划解决

        这题不能使用回溯算法来解决,如果数据量大的话就会超时。我们可以使用动态规划。
这题判断把数组分成两份,这两份的元素和是否相等。首先我们需要计算数组中所有元素的和sum,然后判断sum是否是偶数:如果不是偶数,说明不可能分割成完全相等的两份,直接返回false。
        如 果 是 偶 数 , 我 们 只 需 要 判 断 是 否 存 在 一 些 元 素 的 和 等 于 sum/2 , 如 果 等 于sum/2,那么剩下的肯定也等于sum/2,说明我们可以把数组分为元素和相等的两部分。
那么这个时候问题就很明朗了,假设sum/2是一个背包的容量,我们只需要找出一些元素把他放到背包中,如果背包中元素的最大和等于sum/2,说明我们可以把数组分成完成相等的两份。这不就是经典的0-1背包问题吗。背包问题系列之-基础背包问题,具体可以看下,这里就不在重复介绍。我们在来找一下他的递推公式,定义dp[i][j]表示把第i个物品放到容量为j的背包中所获得的的最大值。
        第i个物品的值是nums [i -1]:
        如果nums [i -1]>j,说明背包容量不够,第i件物品放不进去,所以我们不能选择第i个物品,那么
        dp[i][j]=dp[i -1][j];
        如 果 nums [i -1]<=j , 说 明 可 以 把 第 j 个 物 品 放 到 背 包 中 , 我 们 可 以 选择放也可以选择不放,取最大值即可,如果放就会占用一部分背包容量,最大价值是
        dp[i][j]=dp[i-1][j-nums[i-1]]+nums[i-1]
        如果不放
        dp[i][j]=dp[i -1][j];
        取两者的最大值

最终递推公式和代码如下:

#include <vector>

bool canPartition(std::vector<int>& nums) {
    // 计算数组中所有元素的和
    int sum = 0;
    for (int num : nums) {
        sum += num;
    }
    // 如果sum是奇数,说明数组不可能分成完全相等的两份
    if ((sum & 1) == 1) {
        return false;
    }
    // sum除以2
    int target = sum >> 1;
    int length = nums.size();
    std::vector<std::vector<int>> dp(length + 1, std::vector<int>(target + 1, 0));
    for (int i = 1; i <= length; ++i) {
        for (int j = 1; j <= target; ++j) {
            // 下面是递推公式
            if (j >= nums[i - 1]) {
                dp[i][j] = std::max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - nums[i - 1]] + nums[i - 1]);
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    // 判断背包最大是否能存放和为target的元素
    return dp[length][target] == target;
}

        我们还可以这样写,二维数组dp是boolean类型,dp[i][j]表示数组中前i个元素的和是否可以组成和为j,很明显dp[0][0]=true,表示前0个元素(也就是没有元素)可以组成和为0。代码如下

#include <vector>

bool canPartition(std::vector<int>& nums) {
    // 计算数组中所有元素的和
    int sum = 0;
    for (int num : nums) {
        sum += num;
    }
    // 如果sum是奇数,说明数组不可能分成完全相等的两份
    if ((sum & 1) == 1) {
        return false;
    }
    // sum除以2得到target
    int target = sum >> 1;
    int length = nums.size();
    std::vector<std::vector<bool>> dp(length + 1, std::vector<bool>(target + 1, false));
    // base case
    dp[0][0] = true;
    for (int i = 1; i <= length; ++i) {
        for (int j = 0; j <= target; ++j) {
            // 递推公式
            if (j >= nums[i - 1]) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] || dp[i - 1][j - nums[i - 1]];
            } else {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            }
        }
    }
    // 返回能否找到和为target的子集
    return dp[length][target];
}

        我们看到上面二维数组计算的时候当前值只和上面一行有关,所以我们可以把它改成一维的,注意第二个for循环要倒叙,否则会把前面的值给覆盖掉导致结果错误,仔细看一下
dp[j] = (dp[j] || dp[j - nums [i - 1]]);
        就明白了,相当于同一行后面的值依赖前面的,如果不是倒叙,前面的值被修改了,在计算后面的就会导致错误。我们来看下代码

#include <vector>

bool canPartition(std::vector<int>& nums) {
    // 计算数组中所有元素的和
    int sum = 0;
    for (int num : nums) {
        sum += num;
    }
    // 如果sum是奇数,说明数组不可能分成完全相等的两份
    if ((sum & 1) == 1) {
        return false;
    }
    // sum除以2得到target
    int target = sum >> 1;
    int length = nums.size();
    std::vector<bool> dp(target + 1, false);
    // base case
    dp[0] = true;
    for (int i = 0; i < length; ++i) {
        // 注意这里j要倒序
        for (int j = target; j >= nums[i]; --j) {
            // 递推公式
            dp[j] = dp[j] || dp[j - nums[i]];
        }
    }
    // 返回能否找到和为target的子集
    return dp[target];
}

三、求解思路2

DFS算法解决

        每种元素可以选择也可以不选择,只需要判断他所有的可能组合中,元素和是否有等于sum/2的,我们可以把它看做是一棵二叉树,左子节点表示选择当前元素,右子节点表示不选择当前元素,如下图所示,橙色节点表示选择当前元素,蓝色表示不选择。

我们先看看初步实现代码

#include <vector>

bool dfs(const std::vector<int>& nums, int target, int index) {
    // target等于0,说明存在一些元素的和等于sum/2,直接返回true
    if (target == 0) return true;
    // 如果数组元素都找完了,或者target小于0,直接返回false
    if (index == nums.size() || target < 0) return false;
    // 选择当前元素和不选择当前元素两种情况
    return dfs(nums, target - nums[index], index + 1) || dfs(nums, target, index + 1);
}

bool canPartition(std::vector<int>& nums) {
    // 计算数组中所有元素的和
    int sum = 0;
    for (int num : nums) sum += num;
    // 如果sum是奇数,说明数组不可能分成完全相等的两份
    if ((sum & 1) == 1) return false;
    // 调用dfs函数
    return dfs(nums, sum >> 1, 0);
}

但很遗憾的是,因为计算量太大,会导致运行超时,我们可以优化一下,来看下代码

#include <vector>

bool dfs(const std::vector<int>& nums, int index, int target, std::vector<std::vector<int>>& map) {
    // target等于0,说明存在一些元素的和等于sum/2,直接返回true
    if (target == 0) return true;
    // 如果数组元素都找完了,或者target小于0,直接返回false
    if (index >= nums.size() || target < 0) return false;
    // 如果此子问题已经被计算过,直接返回结果
    if (map[index][target] != -1) return map[index][target] == 1;
    // 选择当前元素
    bool select = dfs(nums, index + 1, target - nums[index], map);
    // 不选择当前元素
    bool unSelect = dfs(nums, index + 1, target, map);
    // 存储结果,并返回
    map[index][target] = select || unSelect ? 1 : 0;
    return select || unSelect;
}

bool canPartition(std::vector<int>& nums) {
    // 计算数组中所有元素的和
    int sum = 0;
    for (int num : nums) sum += num;
    // 如果sum是奇数,说明数组不可能分成完全相等的两份
    if (sum % 2 != 0) return false;
    // sum除以2
    int target = sum / 2;
    std::vector<std::vector<int>> map(nums.size(), std::vector<int>(target + 1, -1));
    return dfs(nums, 0, target, map);
}

四、求解思路3

位运算解决

        这里能使用位运算,关键在于题中的一些限制条件,比如正整数的非空数组,每个数组中的元素不会超过 100,数组的大小不会超过 200等。
        原理很简单,我们只需要申请一个大小为 sum+1 的数组bits[ sum+1 ],数组中的数字只能是0和1,我们可以把它想象为一个很长的二进制位,因为int和long类型太短了,我们这里使用的是数组。然后每遍历数组中的一个元素比如m,就把二进制位往左移m位然后在和原来的二进制位进行或运算。最后判断bits[ sum/2 ]是否是1,如果是1就返回true。文字叙述不是很直接,我们就以示例1为例来画个图看一下

        最后你会发现一个规律,就是最后运算的结果只要是1的位置,都可以使用数组中的元素组合而成,只要是0的都不能使用数组中的元素组合而成,搞懂了上面的过程,代码就很容易写了。因为我们只需要判断二进制位中中间的那个值是否为1,所以我们只需要计算低位,高位完全不用计算,因为是往左移动的,高位不会对中间的值产生任何影响,所以这里能做一点优化,最后再来看下代码。

#include <vector>

bool canPartition(std::vector<int>& nums) {
    // 计算数组中所有数字的和
    int sum = 0;
    for (int n : nums) {
        sum += n;
    }
    // 如果sum是奇数,直接返回false
    if ((sum & 1) == 1) {
        return false;
    }
    int len = sum / 2;
    // 这里bits的长度是len+1,因为我们只需要计算低位就行了,没必要计算所有的
    std::vector<char> bits(len + 1, 0);
    bits[0] = 1;
    for (int num : nums) {
        for (int j = len - num; j >= 0; j--) {
            bits[j + num] |= bits[j];
        }
        // 判断中位数如果是1,说明可以分成两种相等的子集,直接返回true,不需要再计算了
        if ((bits[len] & 1) != 0) {
            return true;
        }
    }
    return false;
}