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矩阵的因子分解2-满秩分解
题型：对 A ∈ C m × n A \in \mathbb{C}^{m \times n} A∈Cm×n 进行满秩分解 A = B C A = BC A=BC
题目中为简化计算，都是取 C m × n \mathbb{C}^{m\times n} Cm×n的特殊情形： R m × n \mathbb{R}^{m\times n} Rm×n，如下也是按照 R m × n \mathbb{R}^{m\times n} Rm×n 来展开的
求法归纳
- 通过初等行变换将矩阵化为最简行阶梯形并确定矩阵的秩 r r r
- 从矩阵 A A A 中选择 r r r 个线性无关的列向量，构成矩阵 B B B
- 从最简行阶梯形矩阵中选择前 r r r 个非零行，构成矩阵 C C C
例1. 对矩阵 A = ( − 1 0 1 2 1 2 − 1 1 2 2 − 2 − 1 − 2 − 4 2 − 2 ) A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\2 & 2 & -2 & -1 \\-2 & -4 & 2 & -2\end{pmatrix} A= −112−2022−41−1−2221−1−2 进行满秩分解
1. 通过初等行变换将矩阵化为最简行阶梯形并确定矩阵的秩 r r r
A = ( − 1 0 1 2 1 2 − 1 1 2 2 − 2 − 1 − 2 − 4 2 − 2 ) → ( 1 0 − 1 − 2 0 2 0 3 0 2 0 3 0 − 4 0 − 6 ) → ( 1 0 − 1 − 2 0 1 0 3 2 0 0 0 0 0 0 0 0 ) A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 & -1 \\ -2 & -4 & 2 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & -4 & 0 & -6 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} A= −112−2022−41−1−2221−1−2 → 1000022−4−1000−233−6 → 10000100−1000−22300
2. 从矩阵 A A A 中选择 r r r 个线性无关的列向量，构成矩阵 B B B
B = ( − 1 0 1 2 2 2 − 2 − 4 ) B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} B= −112−2022−4
3. 从最简行阶梯形矩阵中选择前 r r r 个非零行，构成矩阵 C C C
C = ( 1 0 − 1 − 2 0 1 0 3 2 ) C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} C=(1001−10−223)
验证：
A = B C = ( − 1 0 1 2 2 2 − 2 − 4 ) ( 1 0 − 1 − 2 0 1 0 3 2 ) = ( − 1 0 1 2 1 2 − 1 1 2 2 − 2 − 1 − 2 − 4 2 − 2 ) A=BC = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \\ 2 & 2 \\ -2 & -4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & \frac{3}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & 2 & -2 & -1 \\ -2 & -4 & 2 & -2 \end{pmatrix} A=BC=
−112−2022−4
(1001−10−223)=
−112−2022−41−1−2221−1−2