什么是自治系统和非自治系统

自治系统

自治系统的特征是其状态方程不依赖于时间。举个简单的例子，考虑一阶常微分方程：

$$\frac{dx}{dt}=-x$$

这是一个经典的指数衰减过程，其中状态 (x) 随时间 (t) 衰减。这个系统是自治的，因为它的演化仅仅依赖于当前的状态 (x)，而不受时间的影响。

MATLAB代码示例

% 定义自治系统
function dxdt = autonomous_system(t, x)
    dxdt = -x;  % 系统的状态方程，dx/dt = -x
end

% 初始条件
x0 = 1;  % 初始状态 x(0) = 1

% 时间范围
tspan = [0, 10];  % 从 t = 0 到 t = 10

% 求解微分方程
[t, x] = ode45(@autonomous_system, tspan, x0);

% 绘图
figure;
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State x(t)');
title('Autonomous System: dx/dt = -x');
grid on;

非自治系统

非自治系统的特征是其状态方程显式地依赖于时间。一个典型的例子是：

$$\frac{dx}{dt}=-x+\sin (t)$$

在这个例子中，状态的变化不仅依赖于当前的状态 (x)，还显式地依赖于时间 (t)，通过 (\sin(t)) 项来表示。

MATLAB代码示例

% 定义非自治系统
function dxdt = non_autonomous_system(t, x)
    dxdt = -x + sin(t);  % 系统的状态方程，dx/dt = -x + sin(t)
end

% 初始条件
x0 = 1;  % 初始状态 x(0) = 1

% 时间范围
tspan = [0, 10];  % 从 t = 0 到 t = 10

% 求解微分方程
[t, x] = ode45(@non_autonomous_system, tspan, x0);

% 绘图
figure;
plot(t, x);
xlabel('Time (s)');
ylabel('State x(t)');
title('Non-Autonomous System: dx/dt = -x + sin(t)');
grid on;

总结

• 自治系统：状态方程仅依赖于状态变量，不依赖时间。其数学形式为：

$$\frac{dx}{dt}=-x$$

• 非自治系统：状态方程显式依赖于时间。其数学形式为：

$$\frac{dx}{dt}=-x+\sin (t)$$

通过这些代码和公式，可以直观地理解自治系统和非自治系统的区别。