贪心算法应用：多重背包启发式问题详解

贪心算法应用：多重背包启发式问题详解

多重背包问题是经典的组合优化问题，也是贪心算法的重要应用场景。本文将全面深入地探讨Java中如何利用贪心算法解决多重背包问题。

多重背包问题定义

**多重背包问题(Multiple Knapsack Problem)**是背包问题的变种，描述如下：

• 给定一个容量为W的背包
• 有n种物品，每种物品i有：
  • 重量w_i
  • 价值v_i
  • 最大可用数量c_i（每种物品可以选择0到c_i个）
• 目标：在不超过背包容量的前提下，选择物品使总价值最大

与0-1背包（每种物品只能选0或1个）和完全背包（每种物品无限）不同，多重背包中物品有数量限制。

问题分析

数学表达

最大化：Σ(v_i * x_i) 对于i=1到n
约束条件：

1. Σ(w_i * x_i) ≤ W 对于i=1到n
2. 0 ≤ x_i ≤ c_i 且 x_i为整数

关键特性

1. 组合爆炸：可能的组合数量为Π(c_i+1)，直接枚举不可行
2. NP难问题：没有已知的多项式时间解法
3. 贪心可行：虽然不能保证最优解，但能得到近似解

贪心算法解决方案

1. 基本贪心策略

三种常见的贪心策略：

1. 价值优先：按价值降序选择
2. 重量优先：按重量升序选择
3. 价值密度优先：按价值/重量(v_i/w_i)降序选择

实践证明，价值密度优先策略通常效果最好。

2. Java实现基础版

import java.util.Arrays;
import java.util.Comparator;

class Item {
    int weight;
    int value;
    int count;
    
    public Item(int weight, int value, int count) {
        this.weight = weight;
        this.value = value;
        this.count = count;
    }
}

public class MultipleKnapsack {
    
    public static int greedySolution(Item[] items, int capacity) {
        // 按价值密度排序
        Arrays.sort(items, new Comparator<Item>() {
            @Override
            public int compare(Item a, Item b) {
                double densityA = (double)a.value / a.weight;
                double densityB = (double)b.value / b.weight;
                return Double.compare(densityB, densityA); // 降序
            }
        });
        
        int totalValue = 0;
        int remainingCapacity = capacity;
        
        for (Item item : items) {
            if (remainingCapacity <= 0) break;
            
            // 计算可以取多少个当前物品
            int maxTake = Math.min(item.count, remainingCapacity / item.weight);
            if (maxTake > 0) {
                totalValue += maxTake * item.value;
                remainingCapacity -= maxTake * item.weight;
            }
        }
        
        return totalValue;
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        Item[] items = {
            new Item(2, 10, 3),
            new Item(3, 5, 2),
            new Item(5, 15, 2),
            new Item(7, 7, 3),
            new Item(1, 6, 4)
        };
        int capacity = 15;
        
        System.out.println("最大价值: " + greedySolution(items, capacity));
    }
}

3. 算法复杂度分析

1. 排序：O(n log n)
2. 贪心选择：O(n)
   总时间复杂度：O(n log n)

空间复杂度：O(1)（不包括输入存储）

改进的贪心算法

基础贪心算法可能不是最优的，我们可以通过以下方法改进：

1. 贪心+动态规划混合

public static int hybridSolution(Item[] items, int capacity) {
    // 先按贪心算法得到一个解
    int greedyValue = greedySolution(items, capacity);
    
    // 对高价值物品尝试动态规划
    Arrays.sort(items, (a, b) -> b.value - a.value);
    
    int n = items.length;
    int[] dp = new int[capacity + 1];
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        Item item = items[i];
        for (int k = 1; k <= item.count; k++) {
            for (int w = capacity; w >= k * item.weight; w--) {
                dp[w] = Math.max(dp[w], dp[w - k * item.weight] + k * item.value);
            }
        }
    }
    
    return Math.max(greedyValue, dp[capacity]);
}

2. 多阶段贪心选择

public static int multiPhaseGreedy(Item[] items, int capacity) {
    // 阶段1：价值密度优先
    int phase1 = greedySolution(items, capacity);
    
    // 阶段2：纯价值优先
    Arrays.sort(items, (a, b) -> b.value - a.value);
    int phase2 = greedySolution(items, capacity);
    
    // 阶段3：纯重量优先
    Arrays.sort(items, (a, b) -> a.weight - b.weight);
    int phase3 = greedySolution(items, capacity);
    
    return Math.max(phase1, Math.max(phase2, phase3));
}

完全解与贪心解对比

动态规划解法（最优解）

public static int dpSolution(Item[] items, int capacity) {
    int[] dp = new int[capacity + 1];
    
    for (Item item : items) {
        for (int w = capacity; w >= 0; w--) {
            for (int k = 1; k <= item.count; k++) {
                if (w >= k * item.weight) {
                    dp[w] = Math.max(dp[w], dp[w - k * item.weight] + k * item.value);
                }
            }
        }
    }
    
    return dp[capacity];
}

对比分析

其中C_max是最大物品数量，C_limited是限制的高价值物品数量

性能优化技巧

1. 物品预处理：

   • 移除重量>W的物品
   • 合并相同物品
   • 对价值密度相同的物品进行捆绑

2. 搜索剪枝：

   public static int greedyWithPruning(Item[] items, int capacity) {
       Arrays.sort(items, (a, b) -> Double.compare((double)b.value/b.weight, (double)a.value/a.weight));
       
       int[] best = {0};
       backtrack(items, 0, capacity, 0, best);
       return best[0];
   }
   
   private static void backtrack(Item[] items, int index, int remaining, int currentValue, int[] best) {
       if (index == items.length || remaining == 0) {
           if (currentValue > best[0]) best[0] = currentValue;
           return;
       }
       
       Item item = items[index];
       int maxTake = Math.min(item.count, remaining / item.weight);
       
       // 从最多开始尝试，贪心顺序
       for (int k = maxTake; k >= 0 && (maxTake - k) <= 100; k--) {
           if (remaining - k * item.weight >= 0) {
               // 剪枝：如果剩余容量全部用下一个物品也无法超越当前最优
               double upperBound = currentValue + k * item.value;
               if (index + 1 < items.length) {
                   upperBound += (remaining - k * item.weight) * 
                               ((double)items[index+1].value/items[index+1].weight);
               }
               if (upperBound <= best[0]) break;
               
               backtrack(items, index + 1, remaining - k * item.weight, 
                       currentValue + k * item.value, best);
           }
       }
   }
   

3. 并行处理：

   public static int parallelGreedy(Item[] items, int capacity) {
       // 多种贪心策略并行执行
       int[] results = new int[3];
       
       Thread t1 = new Thread(() -> {
           Arrays.sort(items, (a, b) -> Double.compare((double)b.value/b.weight, (double)a.value/a.weight));
           results[0] = greedySolution(items, capacity);
       });
       
       Thread t2 = new Thread(() -> {
           Arrays.sort(items, (a, b) -> b.value - a.value);
           results[1] = greedySolution(items, capacity);
       });
       
       Thread t3 = new Thread(() -> {
           Arrays.sort(items, (a, b) -> a.weight - b.weight);
           results[2] = greedySolution(items, capacity);
       });
       
       t1.start(); t2.start(); t3.start();
       try { t1.join(); t2.join(); t3.join(); } catch (InterruptedException e) {}
       
       return Math.max(results[0], Math.max(results[1], results[2]));
   }
   

实际应用场景

多重背包问题在现实中有广泛应用：

1. 资源分配：服务器资源分配，选择最有价值的任务组合
2. 投资组合：在有限资金下选择不同数量的多种投资产品
3. 生产计划：原材料切割，最大化利用原材料
4. 广告投放：在有限广告位中选择不同频次的广告组合
5. 运输装载：货车装载多种货物，考虑数量限制

变种问题与扩展

1. 多维多重背包

每种物品有多个维度的重量限制（如体积和重量）：

class MultiDimensionalItem {
    int[] weights; // 各维度的重量
    int value;
    int count;
}

public static int multiDimensionalGreedy(MultiDimensionalItem[] items, int[] capacities) {
    // 按综合价值密度排序
    Arrays.sort(items, (a, b) -> {
        double densityA = a.value / Arrays.stream(a.weights).sum();
        double densityB = b.value / Arrays.stream(b.weights).sum();
        return Double.compare(densityB, densityA);
    });
    
    int[] remaining = Arrays.copyOf(capacities, capacities.length);
    int totalValue = 0;
    
    for (MultiDimensionalItem item : items) {
        boolean canTakeMore = true;
        while (canTakeMore) {
            // 检查是否可以再取一个当前物品
            for (int i = 0; i < remaining.length; i++) {
                if (remaining[i] < item.weights[i]) {
                    canTakeMore = false;
                    break;
                }
            }
            
            if (canTakeMore && item.count > 0) {
                totalValue += item.value;
                item.count--;
                for (int i = 0; i < remaining.length; i++) {
                    remaining[i] -= item.weights[i];
                }
            } else {
                break;
            }
        }
    }
    
    return totalValue;
}

2. 分组多重背包

物品分为若干组，每组只能选择一定数量的物品：

class Group {
    Item[] items;
    int maxSelect; // 该组最多选择的物品数
}

public static int groupKnapsack(Group[] groups, int capacity) {
    // 两层贪心：先对组排序，再对组内物品排序
    Arrays.sort(groups, (a, b) -> {
        double maxDensityA = Arrays.stream(a.items)
                .mapToDouble(item -> (double)item.value/item.weight)
                .max().orElse(0);
        double maxDensityB = Arrays.stream(b.items)
                .mapToDouble(item -> (double)item.value/item.weight)
                .max().orElse(0);
        return Double.compare(maxDensityB, maxDensityA);
    });
    
    int remaining = capacity;
    int totalValue = 0;
    
    for (Group group : groups) {
        Arrays.sort(group.items, (a, b) -> Double.compare((double)b.value/b.weight, (double)a.value/a.weight));
        
        int groupSelected = 0;
        for (Item item : group.items) {
            if (groupSelected >= group.maxSelect) break;
            if (remaining <= 0) break;
            
            int maxTake = Math.min(item.count, remaining / item.weight);
            maxTake = Math.min(maxTake, group.maxSelect - groupSelected);
            if (maxTake > 0) {
                totalValue += maxTake * item.value;
                remaining -= maxTake * item.weight;
                groupSelected += maxTake;
            }
        }
    }
    
    return totalValue;
}

测试与验证

测试用例设计

应包含以下类型测试用例：

1. 基础用例：简单验证功能
2. 边界用例：空输入、单个物品、容量为0等
3. 性能用例：大量物品测试算法效率
4. 极端用例：所有物品重量相同、价值相同等特殊情况

JUnit测试示例

import org.junit.Test;
import static org.junit.Assert.*;

public class MultipleKnapsackTest {
    
    @Test
    public void testEmptyItems() {
        Item[] items = {};
        assertEquals(0, MultipleKnapsack.greedySolution(items, 10));
    }
    
    @Test
    public void testZeroCapacity() {
        Item[] items = {
            new Item(2, 10, 3),
            new Item(3, 5, 2)
        };
        assertEquals(0, MultipleKnapsack.greedySolution(items, 0));
    }
    
    @Test
    public void testSingleItemWithinCapacity() {
        Item[] items = {new Item(5, 20, 2)};
        assertEquals(40, MultipleKnapsack.greedySolution(items, 10));
    }
    
    @Test
    public void testSingleItemExceedCapacity() {
        Item[] items = {new Item(15, 30, 3)};
        assertEquals(0, MultipleKnapsack.greedySolution(items, 10));
    }
    
    @Test
    public void testMixedItems1() {
        Item[] items = {
            new Item(2, 10, 3),
            new Item(3, 5, 2),
            new Item(5, 15, 2),
            new Item(7, 7, 3),
            new Item(1, 6, 4)
        };
        // 贪心解：3个重量1价值6 + 3个重量2价值10 = 3*6 + 3*10 = 48
        assertEquals(48, MultipleKnapsack.greedySolution(items, 15));
    }
    
    @Test
    public void testMixedItems2() {
        Item[] items = {
            new Item(10, 60, 1),
            new Item(20, 100, 1),
            new Item(30, 120, 1)
        };
        // 最优解是取重量20和30的物品
        assertEquals(220, MultipleKnapsack.hybridSolution(items, 50));
    }
    
    @Test
    public void testLargeInput() {
        // 生成100个随机物品测试性能
        Item[] items = new Item[100];
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
            int w = 1 + (int)(Math.random() * 10);
            int v = 1 + (int)(Math.random() * 20);
            int c = 1 + (int)(Math.random() * 5);
            items[i] = new Item(w, v, c);
        }
        int capacity = 100;
        
        long start = System.nanoTime();
        int result = MultipleKnapsack.greedySolution(items, capacity);
        long end = System.nanoTime();
        
        System.out.println("Large test result: " + result);
        System.out.println("Time taken: " + (end - start)/1e6 + " ms");
        assertTrue(result > 0);
    }
}

算法选择指南

在实际应用中如何选择算法：

1. 小规模问题（n < 100，W < 1000）：使用动态规划获取精确解
2. 中规模问题（100 < n < 10^4）：使用贪心+动态规划混合方法
3. 大规模问题（n > 10^4）：使用纯贪心算法或并行贪心
4. 实时系统：必须使用纯贪心算法保证响应时间
5. 离线处理：可以使用更复杂的混合方法

常见问题与解决

1. 贪心解与最优解差距大：

   • 尝试多种贪心策略取最大值
   • 结合局部动态规划
   • 调整物品排序标准

2. 性能瓶颈：

   • 预处理移除无用物品
   • 限制动态规划的物品范围
   • 使用并行计算

3. 整数溢出：

   • 使用long类型存储大数值
   • 添加边界检查

4. 浮点精度问题：

   • 使用分数比较代替浮点数
   • 实现自定义比较器

总结

多重背包问题是组合优化中的经典问题，贪心算法提供了高效的近似解决方案。Java实现时需要注意：

1. 物品排序策略的选择
2. 贪心与动态规划的平衡
3. 性能与解质量的权衡
4. 各种边界条件的处理

通过合理选择和改进贪心策略，可以在大多数实际应用中获得满意的结果。对于需要精确解的小规模问题，可以结合动态规划；对于大规模问题，贪心算法是唯一可行的选择。

关键点总结：

• 价值密度优先的贪心策略通常效果最好
• 混合方法可以平衡效率和质量
• 预处理和剪枝能显著提高性能
• 测试要充分，特别是边界情况

更多资源：

https://www.kdocs.cn/l/cvk0eoGYucWA

本文发表于【纪元A梦】！