【强连通分量 拓扑序】P9431 [NAPC-#1] Stage3 - Jump Refreshers|普及+

本文涉及的知识点

C++图论

P9431 [NAPC-#1] Stage3 - Jump Refreshers

题目背景

题目描述

注意本题中 kid 的移动方式与 iw 游戏中不同（）。

kid 面前有一个无穷大的竖直二维平面。坐标系 $x$ 轴正方向为从左到右，$y$ 轴正方向为从下到上。

地图（该平面）内有 $n$ 个位置互不相同的可以无限重复使用的跳跃球。当 kid 正好位于某跳跃球位置时，他可以让 shift 键按下，然后他会瞬间上升 $d$ 格（此期间不能左右移动）。他每秒往下坠落 $1$ 格，同时每秒 kid 可以选择：向左或向右移动 1 格，或者不移动。当 kid 不在跳跃球上时他不能起跳。

上图是一个例子，蓝色区域表示 kid 在跳跃球（箭头）处起跳（$d=2$）后可以达到的区域。kid 每秒时的横纵坐标只能是整数，即：我们认为他不能达到非整点位置。

现在，kid 把存档放在了第 $c$ 个跳跃球处（即起点是第 $c$ 个跳跃球处；此时可以立即起跳）。定义 kid 的得分为他经过（即在某处起跳：显然起跳之后可以回到原位置）的不同跳跃球的个数。kid 想知道他可以最多获得多少得分（不需要（但可以）回到起点），请你告诉他吧。

再次提醒：跳跃球可以无限重复使用，即 kid 可以在某个跳跃球上无限起跳。

输入格式

本题单测试点内有多组数据。

第一行仅两个整数 $T,id$ 表示测试数据的数量和测试点编号。特别地，样例的 $id=0$。

对于每组测试数据：

第一行三个正整数 $n,d,c$ 含义如上所述。

后 $n$ 行每行两个正整数 $x_i,y_i$ 表示第 $i$ 个跳跃球的位置。

输出格式

对于每组测试数据输出一行一个正整数表示最大得分。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 0
4 2 1
2 4
1 1
5 2
4 1
5 3 4
1 7
2 4
3 2
4 5
8 2
4 1 2
1 1
1 2
1 3
4 1
4 2 1
1 1
4 1
1 4
4 4

输出 #1

3
4
4
1

说明/提示

【数据范围】

本题采用捆绑测试。
$$\begin{array}{cccc}\text{Subtask}& id=& \text{Sp. Constraints}& \text{Score}\\ \text{1}& 1\sim 3,36& n⩽10,T⩽10& 10\\ \text{2}& 4\sim 7& \sum n⩽200& 15\\ \text{3}& 8\sim 13& \mathbf{A}& 25\\ \text{4}& 14\sim 18& \mathbf{B}& 10\\ \text{5}& 19\sim 35& -& 40\end{array}$$
其中 $\sum n$ 表示单测试点内所有 $n$ 的总和。

$id=1\sim 3,36$ 表示 i d ∈ { 1 , 2 , 3 , 36 } id\in\{1,2,3,36\} id∈{1,2,3,36}。

• 特殊性质 $\mathbf{A}$：保证对于任意不同跳跃球 $u,v$，如果 kid 理论上能从 $u$ 跳到 $v$（理论上：不考虑 kid 能否从起点到达 $u$ 的问题，下同），那么他理论上一定不可以从 $v$ 跳到 $u$。
• 特殊性质 $\mathbf{B}$：保证对于任意跳跃球 $u,v$，如果 kid 理论上能从 $u$ 跳到 $v$，那么他理论上一定可以从 $v$ 跳到 $u$。

注意上面的“从 $u$ 跳到 $v$"不一定非得一跳到位。比如样例 #1-2 中可以从第 $3$ 个跳到第 $5$ 个：$3\to 2\to 4\to 5$。

对于 $100\%$ 的数据，$1⩽T⩽1000$，$1⩽n⩽3000$，$\sum n⩽3000$，$1⩽d⩽10^9$，$1⩽c⩽n$，$1⩽x_i,y_i⩽10^6$，$(x_i,y_i)$ 互不相同。

【样例解释 #1-1】

$d=2$，容易发现离开初始位置就上不去了。所以 kid 要么往左边碰第 $2$ 个跳跃球，得分为 $2$；要么往右边跳，经过第 $3$ 和第 $4$ 个跳跃球，得分为 $3$。

【样例解释 #1-2】

$d=3$，kid 可以先往下走一圈（$4\to 3\to 2\to 4$）跳回起点，然后往右去碰第 $5$ 个球。左上角的第 $1$ 个跳跃球是碰不到的。

【样例解释 #1-3】

通过最上面那个球是可以跳到右边的。

【样例解释 #1-4】

有 的 人 。

P9431 [NAPC-#1] Stage3 - Jump Refreshers

强连通分量 拓扑序

(x,y)能否跳跃到(x1,y1)$⟺$ (x,0)和(x1,y1)的哈曼顿距离dis小于等于|y+d|。可能存在(x,y)能跳跃到(x1,y1)，(x1,y1)不能跳跃到(x,y)，故是有向边。
寻找强连通分量，缩点后，形成有向无环图G。点权=强连通分量的大小。
按拓扑序处理各节点cur。dp[cur] = cur的点权 + ${\sum }_{child是cur的孩子}dp[child]$
时间复杂度：O(边数)即O(nn)

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
	vector<T> ret;
	T tmp;
	while (cin >> tmp) {
		ret.emplace_back(tmp);
		if ('\n' == cin.get()) { break; }
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
	COutBuff() {
		m_p = puffer;
	}
	template<class T>
	void write(T x) {
		int num[28], sp = 0;
		if (x < 0)
			*m_p++ = '-', x = -x;

		if (!x)
			*m_p++ = 48;

		while (x)
			num[++sp] = x % 10, x /= 10;

		while (sp)
			*m_p++ = num[sp--] + 48;
		AuotToFile();
	}
	void writestr(const char* sz) {
		strcpy(m_p, sz);
		m_p += strlen(sz);
		AuotToFile();
	}
	inline void write(char ch)
	{
		*m_p++ = ch;
		AuotToFile();
	}
	inline void ToFile() {
		fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
		m_p = puffer;
	}
	~COutBuff() {
		ToFile();
	}
private:
	inline void AuotToFile() {
		if (m_p - puffer > N - 100) {
			ToFile();
		}
	}
	char  puffer[N], * m_p;
};

template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
	inline CInBuff() {}
	inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
		FileToBuf();
		while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
		ch = *S++;
		return *this;
	}
	inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
		FileToBuf();
		int x(0), f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		
		return *this;
	}
	inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
		FileToBuf();
		long long x(0); int f(0);
		while (!isdigit(*S))
			f |= (*S++ == '-');
		while (isdigit(*S))
			x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
		val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2>
	inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
		*this >> val.first >> val.second;
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
		return *this;
	}
	template<class T1, class T2, class T3, class T4>
	inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
		*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
		int n;
		*this >> n;
		val.resize(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> val[i];
		}
		return *this;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read(int n) {
		vector<T> ret(n);
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			*this >> ret[i];
		}
		return ret;
	}
	template<class T = int>
	vector<T> Read() {
		vector<T> ret;
		*this >> ret;
		return ret;
	}
private:
	inline void FileToBuf() {
		const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
		if (canRead >= 100) { return; }
		if (m_bFinish) { return; }
		for (int i = 0; i < canRead; i++)
		{
			buffer[i] = S[i];//memcpy出错			
		}
		m_iWritePos = canRead;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
		int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
		if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
		m_iWritePos += readCnt;
		buffer[m_iWritePos] = 0;
		S = buffer;
	}
	int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
	char buffer[N + 10], * S = buffer;
};

class CNeiBo
{
public:
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& [i1, i2] : edges)
		{
			vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<int>>  vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& v : edges)
		{
			vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
	{
		vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
		for (const auto& [u, v, w] : edges)
		{
			vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);
			if (!bDirect)
			{
				vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);
			}
		}
		return vNeiBo;
	}
	static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
	{
		vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
		for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
		{
			for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
			{
				if (neiBoMat[i][j])
				{
					neiBo[i].emplace_back(j);
					neiBo[j].emplace_back(i);
				}
			}
		}
		return neiBo;
	}
};

class CBFSLeve {
public:
	static vector<int> Leve(const vector<vector<int>>& neiBo, vector<int> start) {
		vector<int> leves(neiBo.size(), -1);
		for (const auto& s : start) {
			leves[s] = 0;
		}
		for (int i = 0; i < start.size(); i++) {
			for (const auto& next : neiBo[start[i]]) {
				if (-1 != leves[next]) { continue; }
				leves[next] = leves[start[i]] + 1;
				start.emplace_back(next);
			}
		}
		return leves;
	}
	template<class NextFun>
	static vector<int> Leve(int N, NextFun nextFun, vector<int> start) {
		vector<int> leves(N, -1);
		for (const auto& s : start) {
			leves[s] = 0;
		}
		for (int i = 0; i < start.size(); i++) {
			auto nexts = nextFun(start[i]);
			for (const auto& next : nexts) {
				if (-1 != leves[next]) { continue; }
				leves[next] = leves[start[i]] + 1;
				start.emplace_back(next);
			}
		}
		return leves;
	}
	static vector<vector<int>> LeveNodes(const vector<int>& leves) {
		const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());
		vector<vector<int>> ret(iMaxLeve + 1);
		for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {
			ret[leves[i]].emplace_back(i);
		}
		return ret;
	};
	static vector<int> LeveSort(const vector<int>& leves) {
		const int iMaxLeve = *max_element(leves.begin(), leves.end());
		vector<vector<int>> leveNodes(iMaxLeve + 1);
		for (int i = 0; i < leves.size(); i++) {
			leveNodes[leves[i]].emplace_back(i);
		}
		vector<int> ret;
		for (const auto& v : leveNodes) {
			ret.insert(ret.end(), v.begin(), v.end());
		}
		return ret;
	};
};

class CSCCTarjan {
public:
	CSCCTarjan(vector<vector<int>>& neiBo) :m_neiBo(neiBo) {
		const int N = neiBo.size();
		m_vTime.assign(N, -1);
		m_vBack.assign(N, -1);
		m_vIsStack.assign(N, false);
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			DFS(i);
		}
	}
	void InitPtNew() {
		m_ptNew.resize(m_neiBo.size());
		iota(m_ptNew.begin(), m_ptNew.end(), 0);
		for (auto& v : m_sccs) {
			nth_element(v.begin(), v.begin(), v.end());
			m_v0.emplace_back(v[0]);
			for (int i = 1; i < v.size(); i++) {
				m_ptNew[v[i]] = v[0];
			}
		}
	}
	vector<vector<int>> GetNewNeiBo() {
		vector<vector<int>> neiBo(m_neiBo.size());
		for (int i = 0; i < neiBo.size(); i++) {
			const int n1 = m_ptNew[i];
			unordered_set<int> s;
			for (const auto& next : m_neiBo[i]) {
				const int n2 = m_ptNew[next];
				if (n1 == n2) { continue; }//自环
				s.emplace(n2);
			}
			neiBo[n1].insert(neiBo[n1].begin(), s.begin(), s.end());
		}
		return neiBo;
	}
	vector<vector<int>> m_sccs;
	vector<int> m_v0, m_ptNew;
protected:
	void DFS(int cur) {
		if (-1 != m_vTime[cur]) { return; }
		m_vTime[cur] = m_vBack[cur] = m_iTimes++;
		m_vIsStack[cur] = true;
		m_sta.emplace(cur);
		for (const auto& next : m_neiBo[cur]) {
			if (-1 == m_vTime[next]) {
				DFS(next);
				m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vBack[next]);
			}
			else if (m_vIsStack[next]) {
				m_vBack[cur] = min(m_vBack[cur], m_vTime[next]);
			}
		}
		if (m_vTime[cur] != m_vBack[cur]) { return; }
		vector<int> scc;
		while (m_sta.size())
		{
			auto u = m_sta.top(); m_sta.pop();
			scc.emplace_back(u);
			m_vIsStack[u] = false;
			if (cur == u) { break; }
		}
		m_sccs.emplace_back(scc);
	}
	vector<vector<int>>& m_neiBo;
	int  m_iTimes = 0;
	vector<int> m_vTime, m_vBack;
	vector<bool> m_vIsStack;
	stack<int> m_sta;
};

class CDGTopSort
{
public:
	template <class T = vector<int> >
	CDGTopSort(const vector<T>& vNeiBo) :m_vDeg(vNeiBo.size()), m_neiBo(vNeiBo) {
		const int N = vNeiBo.size();
		m_backNeiBo.resize(N);
		for (int cur = 0; cur < N; cur++)
		{
			m_vDeg[cur] = vNeiBo[cur].size();
			for (const auto& next : vNeiBo[cur])
			{
				m_backNeiBo[next].emplace_back(cur);
			}
		}
	}
	void Init() {

		auto Add = [&](int i) {
			if (0 != m_vDeg[i]) { return; }
			m_que.emplace(i);
		};
		for (int i = 0; i < m_vDeg.size(); i++)
		{
			Add(i);
		}
		while (m_que.size())
		{
			const int cur = m_que.front(); m_que.pop();
			if (!OnDo(cur)) { continue; }
			for (const auto& next : m_backNeiBo[cur])
			{
				m_vDeg[next]--;
				Add(next);
			}
		};
	}
	queue<int> m_que;
	vector<int> m_vDeg;
	vector<int> m_vSort;
protected:
	const vector<vector<int>>& m_neiBo;
	vector<vector<int>> m_backNeiBo;
	virtual bool OnDo(int cur) {
		m_vSort.emplace_back(cur);
		return true;
	};
};

class Solution {
public:
	int Ans(const int D, int C, vector<pair<int, int>>& xy) {
		const int N = xy.size();
		vector<vector<int>> neiBo(N);
		for (int i = 0; i < N; i++) {
			for (int j = 0; j < N; j++) {
				if (abs(xy[i].first - xy[j].first) + abs(xy[j].second) <= xy[i].second + D) {
					neiBo[i].emplace_back(j);
				}
			}
		}
		CSCCTarjan scc(neiBo);
		scc.InitPtNew();
		vector<int> pw(N);
		for (const auto& v : scc.m_sccs) {
			for (const auto& i : v) {
				pw[i] = v.size();
			}
		}
		vector<int> ans = pw;
		auto neiBo2 = scc.GetNewNeiBo();
		CDGTopSort topSort(neiBo2);
		topSort.Init();
		for (const auto& cur : topSort.m_vSort) {
			for (const auto& child : neiBo2[cur]) {
				ans[cur] = max(ans[cur], ans[child] + pw[cur]);
			}
		}
		return ans[scc.m_ptNew[C - 1]];
	}
};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
	//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
	int N,D,C,T,id;
	cin >> T >> id;
	for (int i = 0; i < T; i++)
	{
		cin >> N >> D >> C;
		auto edge = Read<pair<int, int>>(N);
#ifdef _DEBUG	
		printf("D=%d,C=%d", D,C);
		//Out(ws, ",ws=");
		Out(edge, ",edge=");
#endif // DEBUG	
		auto res = Solution().Ans(D,C, edge);
		cout << res << "\n";
	}
	return 0;
};

单元测试

		int D,C;
		vector<pair<int, int>> edge;
		TEST_METHOD(TestMethod01)
		{
			D = 2, C = 1, edge = { {2,4},{1,1},{5,2},{4,1} };
			auto res = Solution().Ans(D,C, edge);
			AssertEx(3, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod02)
		{
			D = 3, C = 4, edge = { {1,7},{2,4},{3,2},{4,5},{8,2} };
			auto res = Solution().Ans(D, C, edge);
			AssertEx(4, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod03)
		{
			D = 1, C = 2, edge = { {1,1},{1,2},{1,3},{4,1} };
			auto res = Solution().Ans(D, C, edge);
			AssertEx(4, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod04)
		{
			D = 2, C = 1, edge = { {1,1},{4,1},{1,4},{4,4} };
			auto res = Solution().Ans(D, C, edge);
			AssertEx(1, res);
		}

扩展阅读

视频课程

先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176

测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。