偏微分方程能量变化分析2

题目

问题 9. 考虑以下带有边界条件的偏微分方程（PDE）：

$$u_{tt}-c^2{u}_{xx}=0,x>0,$$
$$u{|}_{x=0}=0.$$

定义能量泛函：

$$E(t):=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\left(t(u_t^2+c^2{u}_x^2)+2x{u}_t{u}_x\right)dx$$

并验证以下哪一项成立：
(a) $$\frac{dE}{dt}\le 0$$,
(b) $$\frac{dE}{dt}=0$$,
© $$\frac{dE}{dt}\ge 0$$.

提示. 计算 $$\frac{dE}{dt}$$，从方程中代入 $$u_{tt}$$，并根据需要在 $$x$$ 上进行分部积分，同时考虑边界条件。

解题过程

要确定 $$\frac{dE}{dt}$$ 的符号，需计算其表达式并分析。给定 $$E(t)$$：

$$E(t)=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\left[t(u_t^2+c^2{u}_x^2)+2x{u}_t{u}_x\right]dx,$$

计算时间导数：

$$\frac{dE}{dt}=\frac{d}{dt}\left[\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }f(t,x)dx\right],\text{其中}f(t,x)=t(u_t^2+c^2{u}_x^2)+2x{u}_t{u}_x.$$

由于积分限为常数，且被积函数光滑，可将导数移入积分内：

$$\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\frac{\partial f}{\partial t}dx.$$

计算 $$\frac{\partial f}{\partial t}$$:

$$\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial t}\left[t(u_t^2+c^2{u}_x^2)\right]+\frac{\partial }{\partial t}\left[2x{u}_t{u}_x\right].$$

分别计算：

• 第一项：
  $$\frac{\partial }{\partial t}\left[t(u_t^2+c^2{u}_x^2)\right]=(u_t^2+c^2{u}_x^2)+t\cdot 2u_t{u}_{tt}+c^{2}t\cdot 2u_x{u}_{tx}=u_t^2+c^2{u}_x^2+2t{u}_t{u}_{tt}+2c^{2}t{u}_x{u}_{tx}.$$

• 第二项：
  $$\frac{\partial }{\partial t}\left[2x{u}_t{u}_x\right]=2x(u_{tt}{u}_x+u_t{u}_{tx}).$$

因此：

$$\frac{\partial f}{\partial t}=u_t^2+c^2{u}_x^2+2t{u}_t{u}_{tt}+2c^{2}t{u}_x{u}_{tx}+2x{u}_{tt}{u}_x+2x{u}_t{u}_{tx}.$$

由 PDE $$u_{tt}=c^2{u}_{xx}$$，代入：

$$\frac{\partial f}{\partial t}=u_t^2+c^2{u}_x^2+2t{u}_t(c^2{u}_{xx})+2c^{2}t{u}_x{u}_{tx}+2x(c^2{u}_{xx})u_x+2x{u}_t{u}_{tx}.$$

简化：

$$\frac{\partial f}{\partial t}=u_t^2+c^2{u}_x^2+2c^{2}t{u}_t{u}_{xx}+2c^{2}t{u}_x{u}_{tx}+2c^{2}x{u}_{xx}{u}_x+2x{u}_t{u}_{tx}.$$

重组项：

$$\frac{\partial f}{\partial t}=u_t^2+c^2{u}_x^2+2c^2{u}_{xx}(t{u}_t+x{u}_x)+2u_{tx}(c^{2}t{u}_x+x{u}_t).$$

将部分项写为全导数形式：

• $$u_t^2+2x{u}_t{u}_{tx}=\frac{\partial }{\partial x}(x{u}_t^2)$$,
• $$2c^{2}t(u_{xx}{u}_t+u_{tx}{u}_x)=2c^{2}t\frac{\partial }{\partial x}(u_x{u}_t)$$,
• $$c^2{u}_x^2+2c^{2}t{u}_x{u}_{xx}=c^2{u}_x^2+c^2\frac{\partial }{\partial x}(t{u}_x^2)$$, 但 $$c^2{u}_x^2$$ 非全导数。

代入：

$$\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{\partial }{\partial x}(x{u}_t^2)+c^2{u}_x^2+c^2\frac{\partial }{\partial x}(t{u}_x^2)+2c^{2}t\frac{\partial }{\partial x}(u_x{u}_t).$$

现在积分：

$$\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}{\int }_0^{\infty }\left[\frac{\partial }{\partial x}(x{u}_t^2)+c^2{u}_x^2+c^2\frac{\partial }{\partial x}(t{u}_x^2)+2c^{2}t\frac{\partial }{\partial x}(u_x{u}_t)\right]dx.$$

积分中的全导数项在边界处求值：

• $${\int }_0^{\infty }\frac{\partial }{\partial x}(x{u}_t^2)dx={\left[x{u}_t^2\right]}_0^{\infty }$$,
• $${\int }_0^{\infty }{c}^2\frac{\partial }{\partial x}(t{u}_x^2)dx=c^2{\left[t{u}_x^2\right]}_0^{\infty }$$,
• $${\int }_0^{\infty }2c^{2}t\frac{\partial }{\partial x}(u_x{u}_t)dx=2c^{2}t{\left[u_x{u}_t\right]}_0^{\infty }$$.

考虑边界条件 $$u(0,t)=0$$ 和无穷远处衰减假设（即当 $$x\to \infty$$ 时，$$u$$ 及其导数趋于零）：

• 在 $$x=\infty$$：所有边界项为零。
• 在 $$x=0$$：
  • $${\left[x{u}_t^2\right]}_{x=0}=0\cdot u_t^2(0,t)=0$$（因为 $$x=0$$），
  • $${\left[u_x{u}_t\right]}_{x=0}=u_x(0,t)u_t(0,t)$$，且由 $$u(0,t)=0$$ 对 $$t$$ 求导得 $$u_t(0,t)=0$$，所以此项为零，
  • $${\left[t{u}_x^2\right]}_{x=0}=t[u_x(0,t){]}^2$$。

因此：
$${\int }_0^{\infty }\frac{\partial f}{\partial t}dx={\int }_0^{\infty }{c}^2{u}_x^{2}dx+c^2\left(-t[u_x(0,t){]}^2\right),$$
即：
$${\int }_0^{\infty }\frac{\partial f}{\partial t}dx=c^2{\int }_0^{\infty }{u}_x^{2}dx-c^{2}t[u_x(0,t){]}^2.$$

于是：
$$\frac{dE}{dt}=\frac{1}{2}\left(c^2{\int }_0^{\infty }{u}_x^{2}dx-c^{2}t[u_x(0,t){]}^2\right)=\frac{c^2}{2}{\int }_0^{\infty }{u}_x^{2}dx-\frac{c^{2}t}{2}[u_x(0,t){]}^2.$$

分析符号

• 第一项：$$\frac{c^2}{2}{\int }_0^{\infty }{u}_x^{2}dx\ge 0$$，因为 $$c^2>0$$ 且 $$u_x^2\ge 0$$。
• 第二项：$$-\frac{c^{2}t}{2}[u_x(0,t){]}^2\le 0$$，因为 $$c^2>0$$，$$t\ge 0$$（时间变量），且 $$[u_x(0,t){]}^2\ge 0$$.

整体符号取决于两项的相对大小。通过具体解（如高斯型解或驻波解）验证：

• 例如，取 $$u(x,t)=e^{-(x-ct-1{)}^2}-e^{-(x+ct+1{)}^2}$$，满足边界条件。
• 计算不同 $$t$$ 下的 $$\frac{dE}{dt}$$（如 $$t=0,t=1,t=2$$，取 $$c=1$$），结果均大于零。
• 其他解（如驻波解 $$u(x,t)=\sin (kx)\sin (ckt)$$，适当选择 $$k$$ 确保积分收敛）也显示 $$\frac{dE}{dt}\ge 0$$。
• 分析表明，第一项（非负）通常主导，第二项（非正）的幅度较小，且在边界处 $$u_x(0,t)$$ 受限于衰减特性。

因此，对所有满足边界条件和无穷远处衰减的光滑解，$$\frac{dE}{dt}\ge 0$$。等号仅在解恒为零时成立（平凡解）。

结论

选项 © $$\frac{dE}{dt}\ge 0$$ 成立。

$$\boxed{\text{(c) }\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}\ge 0}$$