二叉树的简单介绍

首先简单介绍一下树：

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继 因此，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，如下图所示：

树的一些结论：

节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6

叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点

非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点

双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点

孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点

兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点

树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6

节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4

堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点

节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先

子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙

森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

二叉树的概念 ：一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点

2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

二叉树的一些性质：

二叉树的存储结构：

1. 顺序存储，也就是使用数组的形式存储：

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树（上一讲的堆），因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。如下图所示：

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，目前我只会二叉链。如下图所示：

二叉链定义二叉树：

typedef int BTDataType;
// 二叉链
typedef struct BinaryTreeNode
{
     struct BinTreeNode* _left; // 指向当前节点左孩子
     struct BinTreeNode* _riight; // 指向当前节点右孩子
     BTDataType _data; // 当前节点值
}BTNode;

下面实现二叉树的构建、前中后遍历、叶子节点个数、树的深度的代码、树的节点个数。

定义二叉树和创建二叉树节点：

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>

typedef char BTDataType;

typedef struct BinaryTreeNode 
{
	BTDataType _data;
	struct BinaryTreeNode* _left;
	struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;

// 创建一个节点
BTNode* CreateNode(BTDataType x)
{
	BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
	if (node == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		exit(-1);
	}

	node->_data = x;
    // 左右孩子指针指向空
	node->_left = NULL;  
	node->_right = NULL;

	return node;
}

求树的节点个数和叶子节点的个数及树的深度：利用递归的方式求节点个数，将二叉树分为当前根节点和当前左右子树；一直递归下去，直到结束，层层返回。（下面的前序遍历我会画一个完成的递归图）

// 返回size，最好的方法
int TreeSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
		return 0;
	else
		return 1 + TreeSize(root->_left) + TreeSize(root->_right);

}

// 求叶子节点的个数
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)  // 根节点为空则没有叶子节点返回0
		return 0;

	if (root->_left == NULL && root->_right == NULL) // 一个节点无左右子树那么他就是叶子节点
		return 1;
	
	return TreeLeafSize(root->_left) + TreeLeafSize(root->_right);

}

// 求树的深度
int calculateDepth(BTNode* root) {
    if (root == NULL)
    {
        return 0;
    }

    int leftdeep = calculateDepth(root->_left);   // 记录左子树的深度
    int rightdeep = calculateDepth(root->_right); // 记录右子树的深度

    return leftdeep > rightdeep ? leftdeep + 1 : rightdeep + 1;  // 树的深度==左右子树大的+1
}

前中后序遍历：

详细讲一下前序遍历：根-左-右；以下面的二叉树为例。注意：这棵树的叶子节点的左右子树为空我画出来了便于理解。

首先访问根节点然后访问左孩子然后再访问右孩子。上来先访问A，然后是A的左孩子B，然后访问B的左孩子D，然后访问D的左孩子为NULL，D的左孩子访问完了访问D的右孩子也为NULL；然后访问B的右孩子为E，然后访问E的左孩子为NULL，E的左孩子访问完了访问E的右孩子也为NULL；A的左孩子B和B的左右孩子都访问完了接着访问A的右孩子C，然后访问C的左孩子为NULL，C的左孩子访问完了访问E的右孩子也为NULL。至此这棵二叉树就遍历完了。

结果就是：A B D NULL NULL E NULL NULL C NULL NULL。注意：在学校是不会将NULL写出来，这里写出来只是方便了解遍历。

代码运行结果：

// 前序遍历(根左右
void PrevOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->_data);
	PrevOrder(root->_left);
	PrevOrder(root->_right);
}

// 中序遍历(左根右
void InOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	InOrder(root->_left);
	printf("%c ", root->_data);
	InOrder(root->_right);
}

// 后序遍历(左右根
void PostOrder(BTNode* root)
{
	if (root == NULL)
	{
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->_left);
	PostOrder(root->_right);
	printf("%c ", root->_data);
}

测试代码：

int main()
{
    // 创建5个二叉树的节点
	BTNode* A = CreateNode('A');
	BTNode* B = CreateNode('B');
	BTNode* C = CreateNode('C');
	BTNode* D = CreateNode('D');
	BTNode* E = CreateNode('E');

    // 将这5个二叉树的节点连接起来形成逻辑上的二叉树
	A->_left = B;
	A->_right = C;
	B->_left = D;
	B->_right = E;

	printf("前序遍历结果: ");
	PrevOrder(A);
	printf("\n");

	printf("中序遍历结果: ");
	InOrder(A);
	printf("\n");

	printf("后序遍历结果: ");
	PostOrder(A);
	printf("\n");


	printf("树的节点数量: %d\n", TreeSize(A));
	
	printf("树的叶子节点数量: %d\n", TreeLeafSize(A));

	getchar();  // 暂停程序，等待输入
	return 0;
}

下面画一下前序遍历的代码递归图：

大家可以尝试画一下其他遍历。

结论：树是一种非线性数据结构，由节点构成层次结构，形似倒挂的树。主要特性包括：根节点无前驱，子树互不相交，具有递归定义。二叉树是特殊的树结构，每个节点最多有两个子节点（左/右子树），具有有序性。文章介绍了树的基本术语（如度、深度、叶子节点等）、存储结构（顺序/链式），并重点讲解了二叉树的构建、遍历（前序/中序/后序）以及计算节点数、叶子节点数和深度的方法。通过C语言代码示例演示了二叉树的实现和递归遍历过程，帮助理解树结构的特性与应用。