首先简单介绍一下树:
树是一种非线性的数据结构,它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。 有一个特殊的结点,称为根结点,根节点没有前驱结点 除根节点外,其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm,其中每一个集合Ti(1又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱,可以有0个或多个后继 因此,树是递归定义的。
注意:树形结构中,子树之间不能有交集,否则就不是树形结构,如下图所示:
树的一些结论:
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度; 如上图:A的为6
叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点; 如上图:B、C、H、I...等节点为叶节点
非终端节点或分支节点:度不为0的节点; 如上图:D、E、F、G...等节点为分支节点
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点; 如上图:A是B的父节点
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点; 如上图:B是A的孩子节点
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点; 如上图:B、C是兄弟节点
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度; 如上图:树的度为6
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度:树中节点的最大层次; 如上图:树的高度为4
堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;如上图:H、I互为兄弟节点
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;如上图:A是所有节点的祖先
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图:所有节点都是A的子孙
森林:由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林;
二叉树的概念 :一棵二叉树是结点的一个有限集合,该集合:
1. 或者为空
2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成
从上图可以看出:
1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒,因此二叉树是有序树
注意:对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的:
二叉树的一些性质:
二叉树的存储结构:
1. 顺序存储,也就是使用数组的形式存储:
顺序结构存储就是使用数组来存储,一般使用数组只适合表示完全二叉树(上一讲的堆),因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储,二叉树顺序存储在物理上是一个数组,在逻辑上是一颗二叉树。如下图所示:
2. 链式存储
二叉树的链式存储结构是指,用链表来表示一棵二叉树,即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是 链表中每个结点由三个域组成,数据域和左右指针域,左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所 在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链,目前我只会二叉链。如下图所示:
二叉链定义二叉树:
typedef int BTDataType;
// 二叉链
typedef struct BinaryTreeNode
{
struct BinTreeNode* _left; // 指向当前节点左孩子
struct BinTreeNode* _riight; // 指向当前节点右孩子
BTDataType _data; // 当前节点值
}BTNode;
下面实现二叉树的构建、前中后遍历、叶子节点个数、树的深度的代码、树的节点个数。
定义二叉树和创建二叉树节点:
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
BTDataType _data;
struct BinaryTreeNode* _left;
struct BinaryTreeNode* _right;
}BTNode;
// 创建一个节点
BTNode* CreateNode(BTDataType x)
{
BTNode* node = (BTNode*)malloc(sizeof(BTNode));
if (node == NULL)
{
perror("malloc fail");
exit(-1);
}
node->_data = x;
// 左右孩子指针指向空
node->_left = NULL;
node->_right = NULL;
return node;
}
求树的节点个数和叶子节点的个数及树的深度:利用递归的方式求节点个数,将二叉树分为当前根节点和当前左右子树;一直递归下去,直到结束,层层返回。(下面的前序遍历我会画一个完成的递归图)
// 返回size,最好的方法
int TreeSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
return 0;
else
return 1 + TreeSize(root->_left) + TreeSize(root->_right);
}
// 求叶子节点的个数
int TreeLeafSize(BTNode* root)
{
if (root == NULL) // 根节点为空则没有叶子节点返回0
return 0;
if (root->_left == NULL && root->_right == NULL) // 一个节点无左右子树那么他就是叶子节点
return 1;
return TreeLeafSize(root->_left) + TreeLeafSize(root->_right);
}
// 求树的深度
int calculateDepth(BTNode* root) {
if (root == NULL)
{
return 0;
}
int leftdeep = calculateDepth(root->_left); // 记录左子树的深度
int rightdeep = calculateDepth(root->_right); // 记录右子树的深度
return leftdeep > rightdeep ? leftdeep + 1 : rightdeep + 1; // 树的深度==左右子树大的+1
}
前中后序遍历:
详细讲一下前序遍历:根-左-右;以下面的二叉树为例。注意:这棵树的叶子节点的左右子树为空我画出来了便于理解。
首先访问根节点然后访问左孩子然后再访问右孩子。上来先访问A,然后是A的左孩子B,然后访问B的左孩子D,然后访问D的左孩子为NULL,D的左孩子访问完了访问D的右孩子也为NULL;然后访问B的右孩子为E,然后访问E的左孩子为NULL,E的左孩子访问完了访问E的右孩子也为NULL;A的左孩子B和B的左右孩子都访问完了接着访问A的右孩子C,然后访问C的左孩子为NULL,C的左孩子访问完了访问E的右孩子也为NULL。至此这棵二叉树就遍历完了。
结果就是:A B D NULL NULL E NULL NULL C NULL NULL。注意:在学校是不会将NULL写出来,这里写出来只是方便了解遍历。
代码运行结果:
// 前序遍历(根左右
void PrevOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
printf("%c ", root->_data);
PrevOrder(root->_left);
PrevOrder(root->_right);
}
// 中序遍历(左根右
void InOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
InOrder(root->_left);
printf("%c ", root->_data);
InOrder(root->_right);
}
// 后序遍历(左右根
void PostOrder(BTNode* root)
{
if (root == NULL)
{
printf("NULL ");
return;
}
PostOrder(root->_left);
PostOrder(root->_right);
printf("%c ", root->_data);
}
测试代码:
int main()
{
// 创建5个二叉树的节点
BTNode* A = CreateNode('A');
BTNode* B = CreateNode('B');
BTNode* C = CreateNode('C');
BTNode* D = CreateNode('D');
BTNode* E = CreateNode('E');
// 将这5个二叉树的节点连接起来形成逻辑上的二叉树
A->_left = B;
A->_right = C;
B->_left = D;
B->_right = E;
printf("前序遍历结果: ");
PrevOrder(A);
printf("\n");
printf("中序遍历结果: ");
InOrder(A);
printf("\n");
printf("后序遍历结果: ");
PostOrder(A);
printf("\n");
printf("树的节点数量: %d\n", TreeSize(A));
printf("树的叶子节点数量: %d\n", TreeLeafSize(A));
getchar(); // 暂停程序,等待输入
return 0;
}
下面画一下前序遍历的代码递归图:
大家可以尝试画一下其他遍历。
结论:树是一种非线性数据结构,由节点构成层次结构,形似倒挂的树。主要特性包括:根节点无前驱,子树互不相交,具有递归定义。二叉树是特殊的树结构,每个节点最多有两个子节点(左/右子树),具有有序性。文章介绍了树的基本术语(如度、深度、叶子节点等)、存储结构(顺序/链式),并重点讲解了二叉树的构建、遍历(前序/中序/后序)以及计算节点数、叶子节点数和深度的方法。通过C语言代码示例演示了二叉树的实现和递归遍历过程,帮助理解树结构的特性与应用。