向量与向量组的线性相关性线性代数-EW帮帮网

我们向量要研究什么？实际上我们在现实中是研究向量与向量之间的关系，而在关系中最重要的是向量与向量之间能否线性表示。

我们在数学中首次理解的向量一般都是二维向量吧，一般是一个直角坐标系，我们说定义这样一个坐标系一般是用两个单位向量（x轴和y轴）来定义的，这里就体现了我们本章的思想。我们在初等数学中做出向量一般都是要问他们之间的关系是什么，而在这些所有的前提是，得有个这样的两个单位向量来定义这个二维空间。也就首先是要找到两个线性无关的向量来“打开”这个空间。

那么本章，主要就是研究的这个线性表示和线性相关性的问题，也就是我们向量诞生的第一步，怎么判断“支撑”这个空间的向量。

向量与向量组的线性相关性

向量的概念和运算

向量和1*n的矩阵类似，可以类比记忆。

向量的内积和正交

可以看到当我们的向量中的数变成向量，其实也就是我们后面学的向量组。向量的Gram矩阵就有了更深层的含义，我们可以在这个Gram矩阵上看到向量和向量之间的cos关系和向量各自模的平方。这是相当有意思的，因为且不说我们很多时候不好直接求cos，很多高维向量的cos我们更是很难去想象出来的，而通过这种方式我们就能知道很多向量之间的cos关系，而cos的大小又能很好的描述两个向量之间的“相似程度”，这样的话对于我们其实有很多现实意义，大家可以思考一下，这里就不过多展开了。

正交矩阵

注意别和之前的搞混了。之前那个是两向量相乘为0是正交，而我们的正交矩阵是方阵且自身的Gram矩阵为E则为正交矩阵。

而我们正交矩阵的作用一般是将数据进行旋转操作。

向量组的线性表示和线性相关的概念

注意这里的k是“不全为零”，这个线性相关啥意思呢，就是说这个向量组里有一个向量能被其他向量表示，就说这个向量组线性相关。那这个能被其他向量表示的向量其实是多余的，纯纯是“摆烂仔”，因为对于我们这个向量撑起空间来说他没什么b用。那我们为什么说含有零向量的向量组必线性相关呢？从定义上来说，只要其他的向量都乘0，这个零向量乘啥就行。从我们这里理解就很显然了，零向量显然可以被其他向量都乘0的和来表示。

当然你也可以跟着这个定义去理解，其实是一样的，就是说这个向量组里面有一个向量是其他向量的乘积和，原因是我们最后的结果要是0。这里建议跟我的理解就行了，这个定义有点绕，不太适合我们记忆。

那么啥是线性无关呢，就是说这个向量组里面所有的向量都无法互相表示，没有人是“摆烂仔”，每个人对于他所在的那个方向都是独特的，都是无法代替的。表现上数学上就是他们只有前面的数字是0才能和为0，因为他们没办法互相抵消。举个例子吧，就比如说我们二维向量组中（0，1）（1，0）所构成的向量组就是线性无关的，他们无法相互表示，而若这个向量组里加入了（1，1），就变成了线性相关的，因为（1，1）可以被（0，1）和（1，0）表示。我们换一个理解就是，这个（1，0）和（0，1）两个人张成了一个二维空间，而向量（1，1）是躺在他俩张成的空间里的，属于是啥也没干的摆烂仔，所以加了他就线性相关了。

因此我们很容易看出来，这个线性无关是比线性相关要更重要的。

判别线性相关性的七大定理

这七大定理用我刚刚说的理解来诠释起来就很容易了。我就不过多赘述了，你们有人需要解释的话在评论区留言一下。

这个要重点理解一下：

第一种的意思是，给出的约束的数量少于未知数的个数，那么根据我们初中的知识，这种对应的就是给出的式子少于未知数的个数，那这样的方程组肯定是有很多个解的，而且这个解里面有未知数有很多的取值，因为一定有自由未知数的存在。第二种的意思是，虽然我给的式子和我们的未知数相等，但是有的式子是可以由其他的式子推出来的（对应的是行列式为0），那么这种就相当于少给个式子，和第一种一样理解。第二个是每个式子都是有用的（对应行列式不为0），那么这样的话显然就只有零解了。第三种给出的式子大于未知数的情况，考试一般不会遇到也不会这样考。