【数学建模学习笔记】无监督聚类模型：K-means聚类

K-Means 聚类算法通俗解释

什么是 K-Means 聚类？

K-Means 是一种 "自动分类" 的算法，就像你整理衣柜时会把衣服分成 "上衣"、"裤子"、"裙子" 几类一样，它能帮你把数据按照相似性分成 K 个组（K 是你设定的数字）。

打个比方理解

想象你是一位老师，手里有 30 个学生的成绩单（包含数学、语文、英语分数），你想把他们分成 3 个学习水平相近的小组：

1. 先随便选 3 个学生作为 "临时组长"（初始化质心）
2. 让其他学生根据自己的分数和组长的相似度，选择加入哪个组（分配簇）
3. 每个组重新选一个新组长（成绩最接近组内平均的学生）（更新质心）
4. 重复第 2-3 步，直到组长不再变化（迭代优化）

我们的案例做了什么？

我们用了一个包含 "收入"、"年龄"、"学历" 的数据表，想把人群分成几类：

1. 准备工作：

   • 把 "学历" 文字（小学、初中等）变成数字（1-5）方便计算
   • 标准化数据：比如收入数值很大（几千），年龄较小（几十），需要转换成同一尺度

2. 聚类过程：

   • 我们选择分成 2 类（k=2）
   • 用 k-means++ 方法选择初始 "中心"（比随机选更合理）
   • 计算每个数据点到两个中心的距离（用的是欧氏距离，类似坐标系中两点距离）
   • 把每个点分到最近的中心所在的组
   • 重新计算每个组的新中心（组内所有点的平均值）
   • 重复上面两步，直到中心位置不再变化

3. 结果展示：

   • 用三维图展示分类结果（x 轴收入，y 轴年龄，z 轴学历）
   • 不同颜色代表不同的簇（组）
   • 红色 "X" 代表每个簇的中心

代码演示

一步一步学操作

1. 准备工具
   就像做饭需要锅碗瓢盆，我们需要这些 Python 库：

   # 导入需要的库
   import numpy as np  # 用于数值计算
   import pandas as pd  # 用于处理表格数据
   from sklearn.cluster import KMeans  # 用于K-Means聚类
   import matplotlib.pyplot as plt  # 用于画图
   from sklearn.preprocessing import StandardScaler  # 用于数据标准化
   from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D  # 用于画3D图
   

2. 导入数据
   我们的数据长这样：

   # 导入数据
   df = pd.read_excel('https://labfile.oss.aliyuncs.com/courses/40611/%E8%81%9A%E7%B1%BB%E5%88%86%E6%9E%90.xlsx')
   
   # 查看前5行数据
   df.head()
   

    

   运行后会看到：

   收入	年龄	学历
   6668	57	研究生
   14658	60	研究生
   6493	17	初中
   12458	26	小学
   12179	24	小学

3. 数据处理

   • 学历是文字（小学、初中等），我们把它转成数字：

     # 把学历文字转换成数字
     df['学历'] = df['学历'].map({
         "小学": 1,
         "初中": 2,
         "高中": 3,
         "大学": 4,
         "研究生": 5
     })
     

   • 标准化：因为收入是几千上万，年龄是几十，数字大小差别大，需要统一尺度：

     # 数据标准化
     scaler = StandardScaler()
     df_scaled = scaler.fit_transform(df)
     

4. K-Means 核心步骤

   • 选 K 值并初始化：这里我们选 2，意思是想分成 2 类

     # 设置聚类数为2
     k = 2
     # 初始化K-Means模型，使用k-means++方法选择初始中心点
     kmeans = KMeans(n_clusters=k, init='k-means++')
     

   • 执行聚类：

     # 对标准化后的数据进行聚类
     kmeans.fit(df_scaled)
     
     # 获取每个数据点的聚类标签（0或1）
     labels = kmeans.labels_
     print(labels)  # 会输出类似 [0, 0, 1, ..., 0, 0, 1] 的结果
     

   • 查看聚类中心：

     # 获取每个簇的中心点
     centroids = kmeans.cluster_centers_
     print(centroids)  # 输出两个中心点的坐标
     

5. 可视化结果
   我们可以画出三维图直观展示聚类结果：

   # 创建3D图形
   fig = plt.figure(figsize=(10, 8))
   ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')
   
   # 绘制数据点，不同颜色表示不同簇
   scatter = ax.scatter(df_scaled[:, 0], df_scaled[:, 1], df_scaled[:, 2], c=labels, cmap='viridis')
   
   # 绘制质心（用红色X标记）
   ax.scatter(centroids[:, 0], centroids[:, 1], centroids[:, 2], s=300, c='red', marker='X')
   
   # 添加标题和坐标轴标签
   ax.set_xlabel('收入')
   ax.set_ylabel('年龄')
   ax.set_zlabel('学历')
   
   # 调整视角
   ax.view_init(elev=30, azim=70)
   
   # 添加图例
   legend1 = ax.legend(*scatter.legend_elements(), title="类别")
   ax.add_artist(legend1)
   
   # 显示图形
   plt.show()
   

你能从结果中看到什么？

• 图中明显分成了两群点，说明数据中确实存在两种不同特征的人群
• 红色中心代表了每类人群的 "典型特征"（平均收入、平均年龄、平均学历）
• 同一簇内的人，在收入、年龄、学历上更相似

为什么要用这个算法？

• 不需要提前知道分类标准（无监督学习）
• 速度快，适合处理大量数据
• 结果直观，容易理解

简单总结步骤

1. 确定要分成几类（K 值）
2. 选初始中心
3. 按距离分组
4. 重新算中心
5. 重复 3-4 直到稳定
6. 看结果，分析每组的特点