原文地址：【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结2(一维随机变量及其分布)
分布函数
F ( x ) = P { X ≤ x } F(x)=P\{X\le x\} F(x)=P{X≤x}
性质：
0 ≤ F ( x ) ≤ 1 , F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 0\le F(x)\le 1,F(-\infty)=0,F(+\infty)=1 0≤F(x)≤1,F(−∞)=0,F(+∞)=1
P { X = x 0 } = P { X ≤ x 0 } − P { X < x 0 } = F ( x 0 ) − F ( x 0 − 0 ) \begin{aligned} P\{X=x_0\}&=P\{X\le x_0\}-P\{X<x_0\} \\ &=F(x_0)-F(x_0-0) \end{aligned} P{X=x0}=P{X≤x0}−P{X<x0}=F(x0)−F(x0−0)
离散型随机变量
分布律
P { X = x i } = p i , i = 1 , 2 , ⋯ P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,\cdots P{X=xi}=pi,i=1,2,⋯
连续型随机变量
分布函数
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)dt F(x)=−∞∫xf(t)dt
性质：
- P { X = a } = 0 P\{X=a\}=0 P{X=a}=0
- ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 ∫−∞+∞f(x)dx=1
- P { a < X ≤ b } = ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) − F ( a ) P\{a<X\le b\}=\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) P{a<X≤b}=∫abf(x)dx=F(b)−F(a)
- F ′ ( x ) = f ( x ) F'(x)=f(x) F′(x)=f(x)
常用分布
| 分布名称 | 分布律/概率密度函数 |
|---|---|
| 0-1分布 b ( 1 , p ) \quad b(1,p) b(1,p) | P { X = k } = ( 1 − p ) 1 − k p k , k = 0 , 1 P\{X=k\}=(1-p)^{1-k}p^k, \quad k=0,1 P{X=k}=(1−p)1−kpk,k=0,1 |
| 二项分布 b ( n , p ) \quad b(n,p) b(n,p) | P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯ , n P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\cdots ,n P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,⋯,n |
| 几何分布 G ( n ) \quad G(n) G(n) | P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , ⋯ , n P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p, \quad k=1,\cdots ,n P{X=k}=(1−p)k−1p,k=1,⋯,n |
| 泊松分布 π ( λ ) \quad \pi(\lambda) π(λ) | P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , ⋯ P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,\cdots P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,⋯ |
| 均匀分布 U ( a , b ) \quad U(a,b) U(a,b) | f ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , o t h e r s f(x)=\Big\{\begin{aligned} \frac{1}{b-a}&, \quad a<x<b \\ 0\quad &, \quad others \end{aligned} f(x)={b−a10,a<x<b,others |
| 指数分布 E ( λ ) \quad E(\lambda) E(λ) | f ( x ) = { λ e − λ x , x ≥ 0 0 , x < 0 f(x)=\Big\{\begin{aligned} \lambda e^{-\lambda x}&, \quad x\ge 0 \\ 0\quad &, \quad x<0\end{aligned} f(x)={λe−λx0,x≥0,x<0 |
| 正态分布 N ( μ , σ 2 ) \quad N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2) | f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , − ∞ < x < + ∞ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty<x<+\infty f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,−∞<x<+∞ |
| 标准正态分布 N ( 0 , 1 ) \quad N(0, 1) N(0,1) | f ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 , − ∞ < x < + ∞ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad -\infty<x<+\infty f(x)=2π1e−2x2,−∞<x<+∞ |
标准正态分布
Φ ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ x e − t 2 2 d t Φ ( 0 ) = 0.5 , Φ ( − x ) = 1 − Φ ( x ) \begin{aligned} \Phi(x)&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}}dt \\ \Phi(0)&=0.5,\Phi(-x)=1-\Phi(x) \end{aligned} Φ(x)Φ(0)=2π1∫−∞xe−2t2dt=0.5,Φ(−x)=1−Φ(x)
随机变量函数的分布
离散型随机变量函数的分布
求法：根据函数求出新的随机变量取值，将对应原随机变量的概率求和
连续性随机变量函数的分布
求法：
先求 Y = g ( x ) Y=g(x) Y=g(x)的分布函数
F Y y = P { Y ≤ y } = P { g ( x ) ≤ y } = ∫ g ( x ) ≤ y f X ( x ) d x F_Y{y}=P\{Y\le y\}=P\{g(x)\le y\}=\int\limits_{g(x)\le y} f_X(x)dx FYy=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}=g(x)≤y∫fX(x)dx
分布函数求导得到概率密度函数
f Y ( y ) = F ′ ( y ) f_Y(y)=F'(y) fY(y)=F′(y)