C++红黑树

发布于:2022-11-09 ⋅ 阅读:(12) ⋅ 点赞:(0) ⋅ 评论:(0)

 1.1 红黑树

1.1.1 红黑树的概念

     红黑树 ,是一种 二叉搜索树 ,但 在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色,可以是 Red
Black 。 通过对 任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制,红黑树确保没有一条路
径会比其他路径长出俩倍 ,因而是 接近平衡 的。

1.1.2 红黑树的性质

  1. 每个结点不是红色就是黑色
  2. 根节点是黑色的 
  3. 如果一个节点是红色的,则它的两个孩子结点是黑色的 
  4. 对于每个结点,从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上,均包含相同数目的黑色结点 
  5. 每个叶子结点都是黑色的 ( 此处的叶子结点指的是空结点 )

1.1.3 红黑树节点的定义


// 节点的颜色
enum Color { RED, BLACK };
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType(),Color color = RED)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _color(color)
	{}
	RBTreeNode<ValueType>* _pLeft;   // 节点的左孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pRight;  // 节点的右孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转,为了实现简单给
	出该字段)
	ValueType _data;            // 节点的值域
	Color _color;               // 节点的颜色
};

1.1.4 红黑树结构

      为了后续实现关联式容器简单,红黑树的实现中增加一个头结点,因为跟节点必须为黑色,为了与根节点进行区分,将头结点给成黑色,并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点, pLeft域指向红黑树中最小的节点,_pRight 域指向红黑树中最大的节点,如下:

1.1.5 红黑树的插入操作

     红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件,因此红黑树的插入可分为两步:
  1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点
template<class ValueType>
class RBTree
{
	//……
	bool Insert(const ValueType& data)
	{
		PNode& pRoot = GetRoot();
		if (nullptr == pRoot)
		{
			pRoot = new Node(data, BLACK);
			// 根的双亲为头节点
			pRoot->_pParent = _pHead;
			_pHead->_pParent = pRoot;
		}
		else
		{
			// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
						// 2. 检测新节点插入后,红黑树的性质是否造到破坏,
			//   若满足直接退出,否则对红黑树进行旋转着色处理
		}

		// 根节点的颜色可能被修改,将其改回黑色
		pRoot->_color = BLACK;
		_pHead->_pLeft = LeftMost();
		_pHead->_pRight = RightMost();
		return true;
	}
private:
	PNode& GetRoot()
	{
		return _pHead->_pParent; 
	}

	// 获取红黑树中最小节点,即最左侧节点
	PNode LeftMost();

	// 获取红黑树中最大节点,即最右侧节点
	PNode RightMost();

private:
	PNode _pHead;
}
2. 检测新节点插入后,红黑树的性质是否造到破坏
   
      因为 新节点的默认颜色是红色 ,因此:如果 其双亲节点的颜色是黑色,没有违反红黑树任何
性质 ,则不需要调整;但 当新插入节点的双亲节点颜色为红色时,就违反了性质三不能有连
在一起的红色节点 ,此时需要对红黑树分情况来讨论:
     
     约定 :cur 为当前节点, p 为父节点, g 为祖父节点, u 为叔叔节点
  • 情况一 : cur 为红, p 为红, g 为黑, u 存在且为红

      cur p 均为红,违反了性质三,此处能否将 p 直接改为黑?
     
      解决方式:将 p,u 改为黑, g 改为红,然后把 g 当成 cur ,继续向上调整。
  • 情况二: cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u存在且为黑

    p为g的左孩子,cur为p的左孩子,则进行右单旋转;相反,
   p为g的右孩子,cur为p的右孩子,则进行左单旋转
   p、g变色--p变黑,g变红
  • 情况三: cur为红,p为红,g为黑,u不存在/u存在且为黑

 

 

p为g的左孩子,cur为p的右孩子,则针对p做左单旋转;相反,
p为g的右孩子,cur为p的左孩子,则针对p做右单旋转
则转换成了情况2

     针对每种情况进行相应的处理即可。

bool Insert(const ValueType& data)
{
	// ...
	// 新节点插入后,如果其双亲节点的颜色为空色,则违反性质3:不能有连在一起的红色结点
		while (pParent && RED == pParent->_color)
		{
			// 注意:grandFather一定存在
        	 // 因为pParent存在,且不是黑色节点,则pParent一定不是根,则其一定有双亲
			PNode grandFather = pParent->_pParent;
			// 先讨论左侧情况
			if (pParent == grandFather->_pLeft)
			{
				PNode unclue = grandFather->_pRight;
				// 情况三:叔叔节点存在,且为红
				if (unclue && RED == unclue->_color)
				{
					pParent->_color = BLACK;
					unclue->_color = BLACK;
					grandFather->_color = RED;
					pCur = grandFather;
					pParent = pCur->_pParent;
				}
				else
				{
					// 情况五:叔叔节点不存在,或者叔叔节点存在且为黑
					if (pCur == pParent->_pRight)
					{
						_RotateLeft(pParent);
						swap(pParent, pCur);
					}
					// 情况五最后转化成情况四
					grandFather->_color = RED;
					pParent->_color = BLACK;
					_RotateRight(grandFather);
				}
			}
			else
			{

			}
		}
	// ...
}

1.1.6 红黑树的验证

    红黑树的检测分为两步:

  1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)​​​​​​​
  2. 检测其是否满足红黑树的性质​​​​​​​
bool IsValidRBTree()
{
	PNode pRoot = GetRoot();
	// 空树也是红黑树
	if (nullptr == pRoot)
		return true;
	// 检测根节点是否满足情况
	if (BLACK != pRoot->_color)
	{
		cout << "违反红黑树性质二:根节点必须为黑色" << endl;
		return false;
	}
	// 获取任意一条路径中黑色节点的个数
	size_t blackCount = 0;
	PNode pCur = pRoot;
	while (pCur)
	{
		if (BLACK == pCur->_color)
			blackCount++;
		pCur = pCur->_pLeft;
	}
	// 检测是否满足红黑树的性质,k用来记录路径中黑色节点的个数
	size_t k = 0;
	return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
	//走到null之后,判断k和black是否相等
	if (nullptr == pRoot)
	{
		if (k != blackCount)
		{
			cout << "违反性质四:每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	// 统计黑色节点的个数
	if (BLACK == pRoot->_color)
		k++;
	// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
	PNode pParent = pRoot->_pParent;
	if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
	{
		cout << "违反性质三:没有连在一起的红色节点" << endl;
		return false;
	}
	return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) &&_IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
}

1.1.8 红黑树与AVL树的比较

       红黑树和 AVL 树都是高效的平衡二叉树,增删改查的时间复杂度都是 O($log_2 N$) ,红黑树不追 求绝对平衡,其只需保证最长路径不超过最短路径的 2 倍,相对而言,降低了插入和旋转的次数, 所以在经常进行增删的结构中性能比 AVL 树更优,而且红黑树实现比较简单,所以实际运用中红 黑树更多。

1.1.9 红黑树的应用

  1. C++ STL -- map/setmutil_map/mutil_set
  2. Java
  3. linux内核
  4. 其他一些库

1.2 红黑树模拟实现STL中的map与set  

1.2.1 红黑树的迭代器

     迭代器的好处是可以方便遍历,是数据结构的底层实现与用户透明。如果想要给红黑树增加迭代器,需要考虑以前问题:
  • begin()end()
      STL 明确规定, begin() end() 代表的是一段前闭后开的区间,而对红黑树进行中序遍历后,
可以得到一个有序的序列,因此: begin() 可以放在红黑树中最小节点 ( 即最左侧节点 ) 的位
end() 放在最大节点 ( 最右侧节点 ) 的下一个位置 ,关键是最大节点的下一个位置在哪块?
能否给成 nullptr 呢?答案是行不通的,因为 end() 位置的迭代器进行 -- 操作,必须要能找最
后一个元素 ,此处就不行,因此最好的方式是 end() 放在头结点的位置

 

  •  operator++()operator--()
    // 找迭代器的下一个节点,下一个节点肯定比其大
    void Increasement()
    {
    	//分两种情况讨论:_pNode的右子树存在和不存在
    	// 右子树存在
    	if (_pNode->_pRight)
    	{
    		// 右子树中最小的节点,即右子树中最左侧节点
    		_pNode = _pNode->_pRight;
    		while (_pNode->_pLeft)
    			_pNode = _pNode->_pLeft;
    	}
    	else
    	{
    		// 右子树不存在,向上查找,直到_pNode != pParent->right
    		PNode pParent = _pNode->_pParent;
    		while (pParent->_pRight == _pNode)
    		{
    			_pNode = pParent;
    			pParent = _pNode->_pParent;
    		}
    		// 特殊情况:根节点没有右子树
    		if (_pNode->_pRight != pParent)
    			_pNode = pParent;
    	}
    }
    
    // 获取迭代器指向节点的前一个节点
    void Decreasement()
    {
    	//分三种情况讨论:_pNode 在head的位置,_pNode 左子树存在,_pNode 左子树不存在
    		// 1. _pNode 在head的位置,--应该将_pNode放在红黑树中最大节点的位置
    		if (_pNode->_pParent->_pParent == _pNode && _pNode->_color == RED)
    			_pNode = _pNode->_pRight;
    		else if (_pNode->_pLeft)
    		{
    			// 2. _pNode的左子树存在,在左子树中找最大的节点,即左子树中最右侧节点
    			_pNode = _pNode->_pLeft;
    			while (_pNode->_pRight)
    				_pNode = _pNode->_pRight;
    		}
    		else
    		{
    			// _pNode的左子树不存在,只能向上找
    			PNode pParent = _pNode->_pParent;
    			while (_pNode == pParent->_pLeft)
    			{
    				_pNode = pParent;
    				pParent = _pNode->_pParent;
    			}
    			_pNode = pParent;
    		}
    }

    1.2.2 改造红黑树

    // 因为关联式容器中存储的是<key, value>的键值对,因此
    // k为key的类型,
    // ValueType: 如果是map,则为pair<K, V>; 如果是set,则为k
    // KeyOfValue: 通过value来获取key的一个仿函数类
    template<class K, class ValueType, class KeyOfValue>
    class RBTree
    {
    	typedef RBTreeNode<ValueType> Node;
    	typedef Node* PNode;
    public:
    	typedef RBTreeIterator<ValueType, ValueType*, ValueType&> Iterator;
    public:
    	RBTree();
    	~RBTree()
    		/
    
    	   // Iterator
    		Iterator Begin() { return Iterator(_pHead->_pLeft); }
    	Iterator End() { return Iterator(_pHead); }
    	//
    	// Modify
    	pair<Iterator, bool> Insert(const ValueType& data)
    	{
    		// 插入节点并进行调整
    		// 参考上文...
    		return make_pair(Iterator(pNewNode), true);
    	}
    	// 将红黑树中的节点清空
    	void Clear();
    	Iterator Find(const K& key);
    	//
    	// capacity
    	size_t Size()const;
    	bool Empty()const;
    	// ……
    private:
    	PNode _pHead;
    	size_t _size;  // 红黑树中有效节点的个数
    };

    1.2.3 map的模拟实现

        map的底层结构就是红黑树,因此在map中直接封装一棵红黑树,然后将其接口包装下即可。

    namespace bite
    {
    	template<class K, class V>
    	class map
    	{
    		typedef pair<K, V> ValueType;
    		// 作用:将value中的key提取出来
    		struct KeyOfValue
    		{
    			const K& operator()(const ValueType& v)
    			{
    				return v.first;
    			}
    		};
    		typedef RBTree<K, ValueType, KeyOfValue> RBTree;
    	public:
    		typedef typename RBTree::Iterator iterator;
    	public:
    		map() {}
    		/
    		// Iterator
    		iterator begin()
    		{ 
    			return _t.Begin();
    		}
    		iterator end() 
    		{ 
    			return _t.End();
    		}
    		/
    		// Capacity
    		size_t size()const 
    		{
    			return _t.Size();
    		}
    		bool empty()const 
    		{
    			return _t.Empty();
    		}
    
    		/
    		 // Acess
    		V& operator[](const K& key)
    		{
    			return (*(_t.Insert(ValueType(key, V()))).first).second;
    		}
    		const V& operator[](const K& key)const;
    		
    		// modify
    		pair<iterator, bool> insert(const ValueType& data)
    		{
    			return
    				_t.Insert(data);
    		}
    		void clear()
    		{ 
    			_t.Clear(); 
    		}
    		iterator find(const K& key) 
    		{ 
    			return _t.Find(key); 
    		}
    	private:
    		RBTree _t;
    	};
    }
    

    1.2.4 set的模拟实现

          set 的底层为红黑树,因此只需在 set 内部封装一棵红黑树,即可将该容器实现出来 ( 具体实现可参考map)
    namespace bit
    {
    	template<class K>
    	class set
    	{
    		typedef K ValueType;
    		// 作用是:将value中的key提取出来
    		struct KeyOfValue
    		{
    			const K& operator()(const ValueType& key)
    			{
    				return key;
    			}
    		};
    		// 红黑树类型重命名
    		typedef RBTree<K, ValueType, KeyOfValue> RBTree;
    	public:
    		typedef typename RBTree::Iterator iterator;
    	public:
    		Set() {}
    		/
    		// Iterator
    		iterator Begin();
    		iterator End();
    		/
    		// Capacity
    		size_t size()const;
    		bool empty()const;
    		
    		// modify
    		pair<iterator, bool> insert(const ValueType& data)
    		{
    			return _t.Insert(data);
    		}
    		void clear();
    		iterator find(const K& key);
    	private:
    		RBTree _t;
    	};
    }