C++红黑树-易微帮

1.1 红黑树

1.1.1 红黑树的概念

红黑树 ，是一种 二叉搜索树 ，但 在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是 Red 或

Black 。通过对 任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路

径会比其他路径长出俩倍 ，因而是 接近平衡 的。

1.1.2 红黑树的性质

每个结点不是红色就是黑色
根节点是黑色的
如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
每个叶子结点都是黑色的 ( 此处的叶子结点指的是空结点 )

1.1.3 红黑树节点的定义


// 节点的颜色
enum Color { RED, BLACK };
// 红黑树节点的定义
template<class ValueType>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode(const ValueType& data = ValueType()，Color color = RED)
		: _pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr)
		, _data(data), _color(color)
	{}
	RBTreeNode<ValueType>* _pLeft;   // 节点的左孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pRight;  // 节点的右孩子
	RBTreeNode<ValueType>* _pParent; // 节点的双亲(红黑树需要旋转，为了实现简单给
	出该字段)
	ValueType _data;            // 节点的值域
	Color _color;               // 节点的颜色
};

1.1.4 红黑树结构

为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点， pLeft域指向红黑树中最小的节点，_pRight 域指向红黑树中最大的节点，如下：

1.1.5 红黑树的插入操作

红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：

1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点

template<class ValueType>
class RBTree
{
	//……
	bool Insert(const ValueType& data)
	{
		PNode& pRoot = GetRoot();
		if (nullptr == pRoot)
		{
			pRoot = new Node(data, BLACK);
			// 根的双亲为头节点
			pRoot->_pParent = _pHead;
			_pHead->_pParent = pRoot;
		}
		else
		{
			// 1. 按照二叉搜索的树方式插入新节点
						// 2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏，
			//   若满足直接退出，否则对红黑树进行旋转着色处理
		}

		// 根节点的颜色可能被修改，将其改回黑色
		pRoot->_color = BLACK;
		_pHead->_pLeft = LeftMost();
		_pHead->_pRight = RightMost();
		return true;
	}
private:
	PNode& GetRoot()
	{
		return _pHead->_pParent; 
	}

	// 获取红黑树中最小节点，即最左侧节点
	PNode LeftMost();

	// 获取红黑树中最大节点，即最右侧节点
	PNode RightMost();

private:
	PNode _pHead;
}

2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏

因为 新节点的默认颜色是红色 ，因此：如果 其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何

性质，则不需要调整；但 当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连

在一起的红色节点 ，此时需要对红黑树分情况来讨论：

约定 :cur 为当前节点， p 为父节点， g 为祖父节点， u 为叔叔节点

情况一 : cur 为红， p 为红， g 为黑， u 存在且为红

cur 和 p 均为红，违反了性质三，此处能否将 p 直接改为黑？

解决方式：将 p,u 改为黑， g 改为红，然后把 g 当成 cur ，继续向上调整。

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的左孩子，则进行右单旋转；相反，

p为g的右孩子，cur为p的右孩子，则进行左单旋转

p、g变色--p变黑，g变红

情况三: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

p为g的左孩子，cur为p的右孩子，则针对p做左单旋转；相反，

p为g的右孩子，cur为p的左孩子，则针对p做右单旋转

则转换成了情况2

针对每种情况进行相应的处理即可。

bool Insert(const ValueType& data)
{
	// ...
	// 新节点插入后，如果其双亲节点的颜色为空色，则违反性质3：不能有连在一起的红色结点
		while (pParent && RED == pParent->_color)
		{
			// 注意：grandFather一定存在
        	 // 因为pParent存在，且不是黑色节点，则pParent一定不是根，则其一定有双亲
			PNode grandFather = pParent->_pParent;
			// 先讨论左侧情况
			if (pParent == grandFather->_pLeft)
			{
				PNode unclue = grandFather->_pRight;
				// 情况三：叔叔节点存在，且为红
				if (unclue && RED == unclue->_color)
				{
					pParent->_color = BLACK;
					unclue->_color = BLACK;
					grandFather->_color = RED;
					pCur = grandFather;
					pParent = pCur->_pParent;
				}
				else
				{
					// 情况五：叔叔节点不存在，或者叔叔节点存在且为黑
					if (pCur == pParent->_pRight)
					{
						_RotateLeft(pParent);
						swap(pParent, pCur);
					}
					// 情况五最后转化成情况四
					grandFather->_color = RED;
					pParent->_color = BLACK;
					_RotateRight(grandFather);
				}
			}
			else
			{

			}
		}
	// ...
}

1.1.6 红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)
检测其是否满足红黑树的性质

bool IsValidRBTree()
{
	PNode pRoot = GetRoot();
	// 空树也是红黑树
	if (nullptr == pRoot)
		return true;
	// 检测根节点是否满足情况
	if (BLACK != pRoot->_color)
	{
		cout << "违反红黑树性质二：根节点必须为黑色" << endl;
		return false;
	}
	// 获取任意一条路径中黑色节点的个数
	size_t blackCount = 0;
	PNode pCur = pRoot;
	while (pCur)
	{
		if (BLACK == pCur->_color)
			blackCount++;
		pCur = pCur->_pLeft;
	}
	// 检测是否满足红黑树的性质，k用来记录路径中黑色节点的个数
	size_t k = 0;
	return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(PNode pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
	//走到null之后，判断k和black是否相等
	if (nullptr == pRoot)
	{
		if (k != blackCount)
		{
			cout << "违反性质四：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
			return false;
		}
		return true;
	}
	// 统计黑色节点的个数
	if (BLACK == pRoot->_color)
		k++;
	// 检测当前节点与其双亲是否都为红色
	PNode pParent = pRoot->_pParent;
	if (pParent && RED == pParent->_color && RED == pRoot->_color)
	{
		cout << "违反性质三：没有连在一起的红色节点" << endl;
		return false;
	}
	return _IsValidRBTree(pRoot->_pLeft, k, blackCount) &&_IsValidRBTree(pRoot->_pRight, k, blackCount);
}

1.1.8 红黑树与AVL树的比较

红黑树和 AVL 树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是 O($log_2 N$) ，红黑树不追 求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的 2 倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数， 所以在经常进行增删的结构中性能比 AVL 树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红 黑树更多。

1.1.9 红黑树的应用

C++ STL库 -- map/set、mutil_map/mutil_set
Java 库
linux内核
其他一些库

1.2 红黑树模拟实现STL中的map与set

1.2.1 红黑树的迭代器

迭代器的好处是可以方便遍历，是数据结构的底层实现与用户透明。如果想要给红黑树增加迭代器，需要考虑以前问题：

begin()与end()

STL 明确规定， begin() 与 end() 代表的是一段前闭后开的区间，而对红黑树进行中序遍历后，

可以得到一个有序的序列，因此： begin() 可以放在红黑树中最小节点 ( 即最左侧节点 ) 的位

置， end() 放在最大节点 ( 最右侧节点 ) 的下一个位置 ，关键是最大节点的下一个位置在哪块？

能否给成 nullptr 呢？答案是行不通的，因为对 end() 位置的迭代器进行 -- 操作，必须要能找最

后一个元素 ，此处就不行，因此最好的方式是将 end() 放在头结点的位置 ：

operator++()与operator--()

// 找迭代器的下一个节点，下一个节点肯定比其大
void Increasement()
{
	//分两种情况讨论:_pNode的右子树存在和不存在
	// 右子树存在
	if (_pNode->_pRight)
	{
		// 右子树中最小的节点，即右子树中最左侧节点
		_pNode = _pNode->_pRight;
		while (_pNode->_pLeft)
			_pNode = _pNode->_pLeft;
	}
	else
	{
		// 右子树不存在，向上查找，直到_pNode != pParent->right
		PNode pParent = _pNode->_pParent;
		while (pParent->_pRight == _pNode)
		{
			_pNode = pParent;
			pParent = _pNode->_pParent;
		}
		// 特殊情况：根节点没有右子树
		if (_pNode->_pRight != pParent)
			_pNode = pParent;
	}
}

// 获取迭代器指向节点的前一个节点
void Decreasement()
{
	//分三种情况讨论：_pNode 在head的位置，_pNode 左子树存在，_pNode 左子树不存在
		// 1. _pNode 在head的位置，--应该将_pNode放在红黑树中最大节点的位置
		if (_pNode->_pParent->_pParent == _pNode && _pNode->_color == RED)
			_pNode = _pNode->_pRight;
		else if (_pNode->_pLeft)
		{
			// 2. _pNode的左子树存在,在左子树中找最大的节点，即左子树中最右侧节点
			_pNode = _pNode->_pLeft;
			while (_pNode->_pRight)
				_pNode = _pNode->_pRight;
		}
		else
		{
			// _pNode的左子树不存在，只能向上找
			PNode pParent = _pNode->_pParent;
			while (_pNode == pParent->_pLeft)
			{
				_pNode = pParent;
				pParent = _pNode->_pParent;
			}
			_pNode = pParent;
		}
}

1.2.2 改造红黑树

// 因为关联式容器中存储的是<key, value>的键值对，因此
// k为key的类型，
// ValueType: 如果是map，则为pair<K, V>; 如果是set，则为k
// KeyOfValue: 通过value来获取key的一个仿函数类
template<class K, class ValueType, class KeyOfValue>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<ValueType> Node;
	typedef Node* PNode;
public:
	typedef RBTreeIterator<ValueType, ValueType*, ValueType&> Iterator;
public:
	RBTree();
	~RBTree()
		/

	   // Iterator
		Iterator Begin() { return Iterator(_pHead->_pLeft); }
	Iterator End() { return Iterator(_pHead); }
	//
	// Modify
	pair<Iterator, bool> Insert(const ValueType& data)
	{
		// 插入节点并进行调整
		// 参考上文...
		return make_pair(Iterator(pNewNode), true);
	}
	// 将红黑树中的节点清空
	void Clear();
	Iterator Find(const K& key);
	//
	// capacity
	size_t Size()const;
	bool Empty()const;
	// ……
private:
	PNode _pHead;
	size_t _size;  // 红黑树中有效节点的个数
};

1.2.3 map的模拟实现

map的底层结构就是红黑树，因此在map中直接封装一棵红黑树，然后将其接口包装下即可。

namespace bite
{
	template<class K, class V>
	class map
	{
		typedef pair<K, V> ValueType;
		// 作用：将value中的key提取出来
		struct KeyOfValue
		{
			const K& operator()(const ValueType& v)
			{
				return v.first;
			}
		};
		typedef RBTree<K, ValueType, KeyOfValue> RBTree;
	public:
		typedef typename RBTree::Iterator iterator;
	public:
		map() {}
		/
		// Iterator
		iterator begin()
		{ 
			return _t.Begin();
		}
		iterator end() 
		{ 
			return _t.End();
		}
		/
		// Capacity
		size_t size()const 
		{
			return _t.Size();
		}
		bool empty()const 
		{
			return _t.Empty();
		}

		/
		 // Acess
		V& operator[](const K& key)
		{
			return (*(_t.Insert(ValueType(key, V()))).first).second;
		}
		const V& operator[](const K& key)const;
		
		// modify
		pair<iterator, bool> insert(const ValueType& data)
		{
			return
				_t.Insert(data);
		}
		void clear()
		{ 
			_t.Clear(); 
		}
		iterator find(const K& key) 
		{ 
			return _t.Find(key); 
		}
	private:
		RBTree _t;
	};
}

1.2.4 set的模拟实现

set 的底层为红黑树，因此只需在 set 内部封装一棵红黑树，即可将该容器实现出来 ( 具体实现可参考map) 。

namespace bit
{
	template<class K>
	class set
	{
		typedef K ValueType;
		// 作用是：将value中的key提取出来
		struct KeyOfValue
		{
			const K& operator()(const ValueType& key)
			{
				return key;
			}
		};
		// 红黑树类型重命名
		typedef RBTree<K, ValueType, KeyOfValue> RBTree;
	public:
		typedef typename RBTree::Iterator iterator;
	public:
		Set() {}
		/
		// Iterator
		iterator Begin();
		iterator End();
		/
		// Capacity
		size_t size()const;
		bool empty()const;
		
		// modify
		pair<iterator, bool> insert(const ValueType& data)
		{
			return _t.Insert(data);
		}
		void clear();
		iterator find(const K& key);
	private:
		RBTree _t;
	};
}

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