前文回顾：数理统计的基本概念

二、统计量的分布

2.1 统计的基本原理

小概率事件原理：
若事件 $A$ 发生的概率 $P(A)\le \alpha$，则统计规定 $A$ 在一次抽样下不发生。我们只抽样一次，得 ${\bar{x}}_n$ 用来估计 $\mu$，于是 $\mu$ 的估计区间应该为：$(T_1,T_2)$（小概率事件抽不到）。即 $\mu$ 的估计区间应该为 ${\bar{X}}_n\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})$ 的非小概率区间端点值 $(T_1,T_2)$
$$\begin{gathered} P(T_1<{\bar{X}}_n<T_2)=1-\alpha ⟹\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1) \\ P(z_1<\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /n}<z_2)=1-\alpha \\ P({\bar{X}}_n-z_2\frac{\sigma }{\sqrt{n}}<\mu <{\bar{X}}_n-z_1\frac{\sigma }{\sqrt{n}})=1-\alpha \end{gathered}$$
分位点：
（小概率事件区间与非小概率事件区间的分界点 $T_1,T_2$）
$P(X>X_{\alpha })=\alpha$，$X_{\alpha }$ 称为随机变量 $X$ 的上 $\alpha$ 分位点。用右尾面积的大小标注分位点的位置所在。

2.2 标准正态分布 $N(0,1)$

• 定义：
  $$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{x^2}{2}},-\infty <x<+\infty$$
• 性质： 关于y轴对称。
• 分位点： （上 $\alpha$ 分位点） （以 $\alpha =0.05$ 为例）
  • 双侧分位点： $Z_{0.975}=-Z_{0.025}$ 及 $Z_{0.025}$
    • 非小概率事件区间：$(-Z_{0.025},Z_{0.025})$
    • 小概率事件区间：$(-\infty ,-Z_{0.025})\cup (Z_{0.025},\infty )$
  • 单侧上限分位点 （过高异常）：$Z_{0.05}$
    • 非小概率事件区间：$(-\infty ,Z_{0.05})$
    • 小概率事件区间：$(Z_{0.05},\infty )$
  • 单侧下限分位点 （过低异常）：$Z_{0.95}=-Z_{0.05}$
    • 非小概率事件区间：$(-Z_{0.05},\infty )$
    • 小概率事件区间：$(-\infty ,-Z_{0.05})$

例1：
（1）当 $\alpha =0.05$，求 $X\sim N(0,1)$ 双侧分位点。
（2）当 $\alpha =0.01$，求 $X\sim N(0,1)$ 单侧上限分位点。
（3）当 $\alpha =0.1$，求 $X\sim N(0,1)$ 单侧下限分位点。

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解：
（1）$\alpha =0.05$ 双侧分位点：$\pm Z_{0.025}=\pm 1.96$
（2）$\alpha =0.01$ 单侧上限分位点：$Z_{0.01}=2.33$
（3）$\alpha =0.1$ 单侧下限分位点： $Z_{0.9}=-Z_{0.1}=-1.28$

一个相关的结论（只需了解）

1. $X\sim N(0,1),Y=X^2$，称 $X\sim {\chi }^2(1)$ 分布，密度函数为：
   $$f_Y(y)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{y}^{-\frac{1}{2}}{e}^{-\frac{y}{2}},y>0\\ 0,y\le 0\end{array}=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}\Gamma (\frac{1}{2})}{y}^{\frac{1}{2}-1}{e}^{-\frac{y}{2}},y>0\\ 0,y\le 0\end{array}$$
2. $X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，且所有 $X_i\sim N(0,1)$
   则 $Z=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2\sim {\chi }^2(n)$
   $$f_Z(z)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma (\frac{n}{2})}{z}^{\frac{n}{2}-1}{e}^{-\frac{z}{2}},z>0\\ 0,z\le 0\end{array}$$ ${\chi }^2(n)$ 具有可加性。

2.3 ${\chi }^2(n)$ 分布

• 定义：
  • $X\sim N(0,1)$ 则称 $X^2\sim {\chi }^2(1)$ 自由度为1的卡方分布。
  • $X_1,\cdots ,X_n$ 相互独立， $X_i\sim N(0,1),i=1,2,\cdots ,n$，则：
    $$\sum _{i=1}^n{X}_i^2={\chi }^2(n)$$
• 性质：
  • ${\chi }^2(n)$ 与 ${\chi }^2(m)$ 相互独立，则 ${\chi }^2(n)+{\chi }^2(m)\sim {\chi }^2(n+m)$
  • 若 $X\sim {\chi }^2(n)$，则 E { χ 2 ( n ) } = n , D { χ 2 ( n ) } = 2 n E\{ \chi^2(n) \} = n, \quad D\{ \chi^2(n) \}=2n E{χ2(n)}=n,D{χ2(n)}=2n
• 分位点： （以 $\alpha =0.05$ 为例）
  • 双侧分位点： ${\chi }_{0.975}^2(n),{\chi }_{0.025}^2(n)$
    • 非小概率事件区间： { χ 0.975 2 ( n ) , χ 0.025 2 ( n ) } \{ \chi^2_{0.975}(n), \chi^2_{0.025}(n) \} {χ0.9752​(n),χ0.0252​(n)}
    • 小概率事件区间： { 0 , χ 0.975 2 ( n ) } ∪ { χ 0.025 2 ( n ) , + ∞ } \{ 0, \chi^2_{0.975}(n) \} \cup \{ \chi^2_{0.025}(n), +\infty \} {0,χ0.9752​(n)}∪{χ0.0252​(n),+∞}
  • 单侧上限分位点 （过高异常）：${\chi }_{0.05}^2(n)$
    • 非小概率事件区间： { 0 , χ 0.05 2 ( n ) } \{ 0, \chi^2_{0.05}(n) \} {0,χ0.052​(n)}
    • 小概率事件区间： { χ 0.05 2 ( n ) , + ∞ } \{ \chi^2_{0.05}(n), +\infty \} {χ0.052​(n),+∞}
  • 单侧下限分位点 （过低异常）：${\chi }_{0.95}^2(n)$
    • 非小概率事件区间： { χ 0.95 2 ( n ) , + ∞ } \{ \chi^2_{0.95}(n), +\infty \} {χ0.952​(n),+∞}
    • 小概率事件区间： { 0 , χ 0.95 2 ( n ) } \{ 0, \chi^2_{0.95}(n) \} {0,χ0.952​(n)}

例2：
（1）当 $\alpha =0.01$，求 $X\sim {\chi }^2(15)$ 双侧分位点。
（2）当 $\alpha =0.05$，求 $X\sim {\chi }^2(18)$ 单侧下限分位点。
（3）当 $\alpha =0.025$，求 $X\sim {\chi }^2(28)$ 单侧上限分位点。

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解：
（1）当 $\alpha =0.01$，${\chi }_{0.995}^2(15)=4.601,{\chi }_{0.005}^2(15)=32.801$
（2）当 $\alpha =0.05$，${\chi }_{0.95}^2(18)=9.390$
（3）当 $\alpha =0.025$，${\chi }_{0.025}^2(28)=44.461$

例3：
$X_1,\cdots ,X_n$ 相互独立，$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2),i=1,2,\cdots ,n$，$Y={\sum }_{i=1}^n(\frac{X_i-\mu }{\sigma }{)}^2$，求 $Y$ 的分布。

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解：
$$X_i\sim N(\mu ,{\sigma }^2),i=1,2,\cdots ,n$$令
$$\begin{array}{rl}& Y_i=\frac{X_i-\mu }{\sigma }\sim N(0,1),i=1,2,\cdots ,n\\ \Rightarrow & Y_i^2=(\frac{X_i-\mu }{\sigma }{)}^2\sim {\chi }^2(1);\\ \Rightarrow & Y=\sum _{i=1}^n{Y}_i^2=\sum _{i=1}^n(\frac{X_i-\mu }{\sigma }{)}^2\sim {\chi }^2(n)\end{array}$$

2.4 $t(n)$ 分布

• 定义：
  $X\sim N(0,1)$，$Y\sim {\chi }^2(n)$，$X$ 与 $Y$ 独立，则称
  $$t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}$$服从自由度为 $n$ 的 $t$分布，记为 $t\sim t(n)$。
• 性质：
  • 关于Y轴对称。
  • 当 $n\to \infty$ 时，$t(n)=N(0,1)$（$n>45$ 时基本相同）
• 分位点： （以 $\alpha =0.05$ 为例）
  • 双侧分位点： $t_{0.975}(n)=-t_{0.025}$ 和 $t_{0.025}(n)$
    • 非小概率事件区间： { − t 0.025 ( n ) , t 0.025 ( n ) } \{ -t_{0.025}(n), t_{0.025}(n) \} {−t0.025​(n),t0.025​(n)}
    • 小概率事件区间： { − ∞ , − t 0.025 ( n ) } ∪ { t 0.025 ( n ) , + ∞ } \{ -\infty, -t_{0.025}(n) \} \cup \{ t_{0.025}(n), +\infty \} {−∞,−t0.025​(n)}∪{t0.025​(n),+∞}
  • 单侧上限分位点 （过高异常）：$t_{0.05}(n)$
    • 非小概率事件区间： { − ∞ , t 0.05 ( n ) } \{ -\infty, t_{0.05}(n) \} {−∞,t0.05​(n)}
    • 小概率事件区间： { t 0.05 ( n ) , + ∞ } \{ t_{0.05}(n), +\infty \} {t0.05​(n),+∞}
  • 单侧下限分位点 （过低异常）：$t_{0.95}(n)=-t_{0.05}(n)$
    • 非小概率事件区间： { − t 0.05 ( n ) , + ∞ } \{ -t_{0.05}(n), +\infty \} {−t0.05​(n),+∞}
    • 小概率事件区间： { − ∞ , − t 0.05 ( n ) } \{ -\infty, -t_{0.05}(n) \} {−∞,−t0.05​(n)}

例4：
（1）当 $\alpha =0.05$，求 $t\sim t(17)$ 双侧分位点。
（2）当 $\alpha =0.01$，求 $t\sim t(12)$ 单侧上限分位点。
（3）当 $\alpha =0.1$，求 $t\sim t(29)$ 单侧下限分位点。

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解：
（1）当 $\alpha =0.05$ 时，$t\sim t(17)$ 的双侧分位点为 $\pm t_{0.025}(17)=\pm 2.1098$
（2）当 $\alpha =0.01$ 时，$t\sim t(12)$ 的单侧上限分位点为 $t_{0.01}(12)=2.6810$
（3）当 $\alpha =0.1$ 时，$t\sim t(29)$ 的单侧下限分位点为 $t_{0.9}(29)=-t_{0.1}(29)=-1.3114$

例5：
$X,Y,Z$ 相互独立，均服从 $N(0,1)$ 分布，则：
$$X^2+Y^2+Z^2\sim {\chi }^2(3)$$ $$\frac{X}{\sqrt{\frac{X^2+Y^2}{2}}}\sim t(2)$$

2.5 $F(n,m)$ 分布

• 定义：
  $U\sim {\chi }^2(n_1)$，$V\sim {\chi }^2(n_2)$，$U$ 与 $V$ 独立，则称：
  $$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}$$服从自由度为 $(n_1,n_2)$ 的 $F$分布，记为 $F(n_1,n_2)$。
• 性质：
  • 若 $X\sim F(n_1,n_2)$，则 $\frac{1}{X}\sim F(n_2,n_1)$
  • $F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$
  • 若 $t\sim t(n)$，则 $t^2=(\frac{X}{\sqrt{Y/n}}{)}^2=\frac{X^2/1}{Y/n}\sim F(1,n)$
• 分位点： （以 $\alpha =0.05$ 为例）
  • 双侧分位点： $F_{0.975}(n,m)=\frac{1}{F_{0.025}(m,n)}$ 及 $F_{0.025}(n,m)$
    • 非小概率事件区间： { 1 F 0.025 ( m , n ) , F 0.025 ( n , m ) } \{ \frac 1{F_{0.025}(m, n)}, F_{0.025}(n, m) \} {F0.025​(m,n)1​,F0.025​(n,m)}
    • 小概率事件区间： { 0 , 1 F 0.025 ( m , n ) } ∪ { F 0.025 ( n , m ) , + ∞ } \{ 0, \frac{1}{F_{0.025}(m, n)} \} \cup \{ F_{0.025}(n, m), +\infty \} {0,F0.025​(m,n)1​}∪{F0.025​(n,m),+∞}
  • 单侧上限分位点 （过高异常）：$F_{0.05}(n,m)$
    • 非小概率事件区间： { 0 , F 0.05 ( n , m ) } \{ 0, F_{0.05}(n, m) \} {0,F0.05​(n,m)}
    • 小概率事件区间： { F 0.05 ( n , m ) , + ∞ } \{ F_{0.05}(n, m), +\infty \} {F0.05​(n,m),+∞}
  • 单侧下限分位点 （过低异常）：$F_{0.95}(n,m)=\frac{1}{F_{0.05}(m,n)}$
    • 非小概率事件区间： { 1 F 0.05 ( m , n ) , + ∞ } \{ \frac 1{F_{0.05}(m, n)}, +\infty \} {F0.05​(m,n)1​,+∞}
    • 小概率事件区间： { 0 , 1 F 0.05 ( m , n ) } \{ 0, \frac 1{F_{0.05}(m, n)} \} {0,F0.05​(m,n)1​}

例6：
（1）当 $\alpha =0.05$，求 $X\sim F(9,15)$ 双侧分位点。
（2）当 $\alpha =0.001$，求 $X\sim F(13,11)$ 单侧下限分位点。
（3）当 $\alpha =0.025$，求 $X\sim F(25,17)$ 单侧上限分位点。

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解：
（1）当 $\alpha =0.05$，$X\sim F(9,15)$时，双侧分位点为：
$$\begin{array}{rl}& F_{0.975}(9,15)=\frac{1}{F_{0.025}(15,9)}=\frac{1}{3.77}\\ & F_{0.025}(9,15)=3.12\end{array}$$（2）当 $\alpha =0.001$，$X\sim F(13,11)$ 单侧下限分位点为：
$$F_{0.99}(13,11)=\frac{1}{F_{0.01}(11,13)}=\frac{2}{4.1+3.96}$$（3）当 $\alpha =0.025$，$X\sim F(25,17)$ 单侧上限分位点为：
$$F_{0.025}(25,17)=2.56$$

例7：
总体 $X\sim N(0,1)$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 是样本，下列统计量各服从什么分布？
（1）$X_1^2+X_2^2$（2）$\frac{X_1-X_2}{\sqrt{X_3^2+X_4^2}}$（3）$\frac{X_2}{|X_6|}$（4）$\frac{(\frac{n}{3}-1){\sum }_{i=1}^3{X}_i^2}{{\sum }_{i=4}^n{X}_i^2}$

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解：
（1）$X_1^2+X_2^2\sim {\chi }^2(2)$
（2）$$\begin{array}{rl}{X}_1-X_2& \sim N(0,2)\\ \frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}& \sim N(0,1)\\ X_3^2+X_4^2& \sim {\chi }^2(2)\end{array}$$ $X_1,\cdots ,X_n$ 相互独立，则：
$$\frac{X_1-X_2}{\sqrt{X_3^2+X_4^2}}=\frac{\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}}}{\sqrt{\frac{X_3^2+X_4^2}{2}}}\sim t(2)$$
（3）$$X_2\sim N(0,1)X_6^2\sim {\chi }^2(1)$$$$\frac{X_2}{|X_6|}=\frac{X_2}{\sqrt{\frac{X_6^2}{1}}}\sim t(1)$$
（4）$$\sum _{i=1}^3{X}_i^2\sim {\chi }^2(3),\sum _{i=4}^n{X}_i^2\sim {\chi }^2(n-3)$$ $$\begin{array}{r}\frac{(\frac{n}{3}-1){\sum }_{i=1}^3{X}_i^2}{{\sum }_{i=4}^n{X}_i^2}=\frac{\frac{{\sum }_{i=1}^3{X}_i^2}{3}}{\frac{{\sum }_{i=4}^n{X}_i^2}{n-3}}\sim F(3,n-3)\end{array}$$

三、正态总体的抽样分布

3.1 定理一：$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$（$\sigma$已知）

3.1.1 $\mu \Leftarrow \bar{X}$ 分布

总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为样本，构造样本均数 ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$，则：
$$\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)\text{（}\sigma \text{已知）}$$

证明：
$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，由正态分布的可加性有：
$$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim N(n\mu ,n{\sigma }^2)⟹\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})⟹\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

3.1.2 $p\Leftarrow k/n$ 分布

总体 $X\sim B(1,p)$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为样本，构造样本均数 ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i=\frac{k}{n}$
$$\Rightarrow \frac{k/n-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\sim N(0,1)$$

证明：
$X\sim B(1,p)$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 相互独立，由中心极限定理得：
∑ i = 1 n X i ∼ N { n p , n p ( 1 − p ) } ⇒ 1 n ∑ i = 1 n X i = k n ∼ N ( p , p ( 1 − p ) n ) ⇒ k / n − p p ( 1 − p ) / n ∼ N ( 0 , 1 ) \sum_{i=1}^nX_i\sim N\{np, np(1-p)\} \\ \begin{aligned}&\Rightarrow \frac 1n \sum_{i=1}^nX_i=\frac kn \sim N(p, \frac{p(1-p)}{n}) \\ &\Rightarrow \frac{k/n-p}{\sqrt{p(1-p)/n}}\sim N(0, 1)\end{aligned} i=1∑n​Xi​∼N{np,np(1−p)}​⇒n1​i=1∑n​Xi​=nk​∼N(p,np(1−p)​)⇒p(1−p)/n ​k/n−p​∼N(0,1)​

3.2 定理二：$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

${\sigma }^2\Leftarrow S^2$ 分布

总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为样本，构造样本均数 ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$，样本方差 $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-{\bar{X}}_n{)}^2$，则有：
（1）$\bar{X}$ 与 $S^2$ 独立；
（2）$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$

3.3 定理三：$\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n)$（$\sigma$未知）

$\mu \Leftarrow \bar{X}$分布

总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$X_1，X_2，\cdots ,X_n$ 为样本，构造样本均数 ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$，样本方差 $S^2=\frac{1}{n-1}{\sum }_{i=1}^n(X_i-{\bar{X}}_n{)}^2$，则有：
$$t=\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

证明：
$$\begin{array}{rl}& X\sim N(0,1)\\ & Y\sim {\chi }^2(n)\\ & X\text{与}Y\text{独立}\end{array}\}⟹\frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}}\sim t(n)$$ 总体 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，$X_1,X_2,\cdots ,X_n$ 为样本，样本均数 ${\bar{X}}_n=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n{X}_i$
$${\bar{X}}_n\sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})⟹\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$ $$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$ 且 $\bar{X}$ 与 $S^2$ 相互独立，则：
$$t=\frac{\frac{{\bar{X}}_n-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\frac{1}{n-1}}}=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

3.4 定理四：$\frac{S_1^2/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n_1,n_2)$

${\mu }_1-{\mu }_2\Leftarrow \bar{X}-\bar{Y}$分布；${\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2\Leftarrow S_1^2/S_2^2$分布

总体 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，样本 $X_1,X_2,\cdots ,X_n$，样本均数 ${\bar{X}}_n$，样本方差 $S_1^2$
总体 $Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，样本 $Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m$，样本均数 ${\bar{Y}}_m$，样本方差 $S_2^2$
且 $X$ 与 $Y$ 独立，则有：
（1）$$\frac{({\bar{X}}_n-{\bar{Y}}_m)-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{{\sigma }_1^2/n+{\sigma }_2^2/m}}\sim N(0,1)\text{（}{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2\text{已知）}$$（2）$$\frac{({\bar{X}}_n-{\bar{Y}}_m)-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_w\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim t(n+m-2)\text{（}{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2\text{未知）}$$ $$⟨S_w^2=\frac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2}⟩$$（3）$$\frac{S_1^2/S_2^2}{{\sigma }_1^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n-1,m-1)$$

3.5 定理汇总

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