【考研数学】五. 二重积分

发布于:2023-01-22 ⋅ 阅读:(7) ⋅ 点赞:(0) ⋅ 评论:(0)

五. 二重积分

基础知识点1:二重积分的概念

∫∫ 积分区域

f(x,y)被积函数 dxdy

基础知识点2:被积函数为1时,二重积分的意义

积分区域的面积

基础知识点3:二重积分的计算方法

如果积分区域D是“⚪”相关的,则使用极坐标系法来计算,否则就使用直角坐标系进行计算。而直角坐标系可分为 先x后y 或者 先y后x 法。从几何直觉来说,先对y积分可以先考虑。

极坐标系方法:

  1. 画积分区域D的图
  2. 将二重积分改写(极坐标或直角坐标) 累次积分计算
  3. 换被积函数,再被积函数中乘ρ
  4. 确定积分上下限
  5. 计算

直角坐标方法:

  1. 画图
  2. 换积分
  3. 算上下限
  4. 计算

如果是极坐标求r的上下限,通过x = rcos θ 以及 y = r sin θ 代入到 对应的 曲线方程中即可。(找到线段的最近 | 最远 的交点的曲线)

基础知识点4: 二重积分的三条性质

性质1:二重积分内的被积函数,出现常数a,a可以提出。

性质2:被积函数可拆成多项相加。

性质3:积分区域可拆成多项相加

设积分连续,求二次积分的值,若出现对称,可以消去。

核心考点1:二重积分是一个常数

3 + 二重积分 = f(x,y) , 那么f(x,y)是常数

核心考点2: 含绝对值的二重积分计算

令绝对值里面的东西为0,解出一条线,然后用那条线去拆分积分区域D

核心考点3:二重积分的对称性

  • 若积分区域D关于x轴对称
    • 若f(x,y)对 y 为奇函数,则二重积分∫∫f(x,y)dxdy = 0
    • 若f(x,y)对 y 为偶函数,则二重积分在D区域的∫∫f(x,y)dxdy = 2倍单侧D1 f(x,y)dxdy
  • 若积分区域D关于y轴对称
    • 若f(x,y)对 x 为奇函数,则二重积分∫∫f(x,y)dxdy = 0
    • 若f(x,y)对 x 为偶函数,则二重积分在D区域的∫∫f(x,y)dxdy = 2倍单侧D1 f(x,y)dxdy 、

核心考点4:二重积分的轮换对称性

任何一个二重积分都可以用轮换对称性

被积函数 && 积分区域中的x,y互换,新得到的二重积分与原二重积分相等。

类似下图:

请添加图片描述

若被积函数是一个分数,分母中x,y可以互换,积分区域中xy也对称,则可以使用轮换对称性。相加两次求两倍的二重积分和,最后除2即可。

核心考点5:交换积分次序

只需要将四条线围成的图画出来即可。

后面积分的是数值,先积分的可能是包含后积分的函数

若考研中已经给出了对x和对y的积分,且告诉了上下限,则需要交换积分次序。

不一定是一上来就直接交换积分次序,可能只是分段交换。

核心考点6: 形心

在这里插入图片描述

变形技巧:

如果出现了从0到Π,分子有x,主体函数都是三角函数,使用Π - x 换元。