教学文章
路径
路径由控制点定义，这些控制点将路径描述为一系列链接的线段。
路径控制点
将路径控制点连接起来，就是路径。
Bezier 曲线的初衷就是用尽可能少的数据表示出复杂的图形。
皮埃尔·贝塞尔的想法是，在设计时，先用多段线构成模型的基本框架，再拟合出光滑的曲线逼近这个框架。
这个多边形上的顶点称为控制顶点，简称控制点。
(在路径中，框架就是控制点连接起来组成的线段框架，逼近的拟合曲线就是bezier曲线)
bezier曲线
bezier曲线怎么逼近拟合路径
比例---t----抛物线的三切线定理
二阶bezier曲线中，由F点画出的曲线就是bezier曲线。
线性插值
在线性插值中，假设有两个点 P0 和 P1，其中 P0 的坐标为 (x0, y0)，P1 的坐标为(x1, y1)，需要将这两个点之间的中间值 P 的坐标计算出来。则P的坐标可以按如下公式进行计算：
P = (1-t) * P0 + t * P1
其中，t 是插值参数，t 取值范围为 [0, 1]。当 t=0 时，P 的坐标为 P0 的坐标；当 t=1 时，P 的坐标为 P1 的坐标。在 t 取其他中间值时，将会计算两点之间的中间值 P 的坐标，从而实现两点之间的平滑过渡。这一公式适用于许多类型的数据，例如位置、速度、颜色、渐变、旋转角度等。
也就是随着t的变大，会逐渐计算出P0到P1之间的t值所在的值表示的点的坐标。
bezier控制点和路径控制点
路径上的控制点是不是就是bezier控制点？
机器人最终是沿着bezier曲线移动还是沿着路径移动
smoothness
机器人中的 smoothness（平滑度）通常指的是机器人运动轨迹的平滑性。在机器人路径规划和控制中，平滑度被认为是一个非常重要的性能指标，因为过高的平滑度意味着一种更加自然、更加高效的移动方式，降低对机器人的损耗，提高机器人的精度和稳定性。
为了实现机器人运动轨迹的平滑，机器人控制系统通常会使用基于数学模型的方法进行规划和控制。其中，Bezier 曲线是一种广泛应用于机器人轨迹规划和控制中的平滑曲线，它可以通过调整曲线上控制点的位置和权重来实现轨迹的平滑，使得机器人在不同姿态和速度下的运动更加流畅。
smoothness（平滑度）用什么指标来表示
在机器人运动控制中，有几种不同的指标可以用来表示平滑度，以下是常见的指标：
1. 最大加速度/最大角加速度：表示机器人的加速度或角加速度变化的最大值，这些数值越小，表示产生的加速度或角加速度的变化越慢，轨迹越平滑。
2. 最大速度/最大角速度：表示机器人的移动速度或旋转速度的最大值，这些数值越小，表示机器人的移动和旋转越慢，以一种更平滑的方式完成工作。
3. 加速度/角加速度变化率：表示机器人加速度或角加速度变化的速度，这些数值越小，表示机器人的变化速度越缓慢，轨迹越平滑。
4. 轨迹的弧度变化率（Curvature）：弧度变化率指的是在轨迹上相邻两点之间的曲率变化速率，该指标可以用来衡量轨迹的弯曲程度，数值越低表示轨迹越平滑。
5. 路径长度变化率（Path length variation）：路径长度变化率指的是在轨迹上相邻两点之间的位移大小的变化率，该指标可以衡量轨迹的平滑度，数值越小表示轨迹越平滑。
在实际应用中，选择良好的平滑度指标需要根据机器人的特性和实际应用需求来决定。不同的指标对机器人性能的影响可能不同，因此需要基于具体问题选择合适的指标，以实现平衡性能和平滑度。