leetcode69. x 的平方根，二分法

leetcode69. x 的平方根

给你一个非负整数 x ，计算并返回 x 的 算术平方根 。
由于返回类型是整数，结果只保留 整数部分 ，小数部分将被 舍去 。
注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow(x, 0.5) 或者 x ** 0.5 。

示例 1：
输入：x = 4
输出：2

示例 2：
输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842…, 由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

题目分析

这道题目要求我们实现一个函数mySqrt，返回给定整数x的平方根的整数部分。这里的关键是只返回整数部分，不需要考虑小数部分。题目可以通过二分查找的方法来解决，因为平方根具有单调性，即如果mid是x的平方根，那么比mid小的数不可能是x的平方根，比mid大的数也不可能是x的平方根。

二分法原理与步骤

原理

1. 有序性假设：二分法适用于已排序的数组或列表。
2. 范围缩小：通过比较中间元素与目标元素，不断将搜索范围分成两半。
3. 迭代/递归过程：通过迭代或递归方式实现，每次迭代或递归调用都在更小的范围内搜索。

步骤

1. 初始化：设定两个指针low和high，分别指向数据集的开始和结束位置。
2. 计算中间位置：mid = low + (high - low) / 2。
3. 比较中间元素：
   • 如果中间元素等于目标值，搜索成功。
   • 如果中间元素小于目标值，设置low = mid + 1。
   • 如果中间元素大于目标值，设置high = mid - 1。
4. 迭代或递归：根据比较结果更新low和high，然后重复步骤2和3，直到找到目标元素或low > high。

应用场景

• 用于已排序数据集的快速查找。
• 如数据库索引、查找算法（如平方根查找）等。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(log n)，每次比较将搜索范围减半。
• 空间复杂度：O(1)，只需常数级别额外空间。

注意事项

• 只适用于有序数据集。
• 小心处理边界条件，避免死循环或遗漏元素。
• 计算中间位置时使用low + (high - low) / 2以避免整数溢出。

总体思维导图

算法步骤

1. 初始化两个变量i和j，分别代表查找范围的下界和上界，初始时i=1，j=x。
2. 进行二分查找，计算中间值mid。
3. 检查x/mid与mid的关系：
   • 如果x/mid等于mid，说明找到平方根，返回mid。
   • 如果x/mid大于mid，说明平方根在mid的右侧，将i更新为mid+1。
   • 如果x/mid小于mid，说明平方根在mid的左侧，将j更新为mid-1。
4. 重复步骤2和3，直到i大于j。
5. 返回j，即为x的平方根的整数部分。

算法流程图

算法分析

• 时间复杂度：O(logx)，因为每次迭代都将搜索范围减半。
• 空间复杂度：O(1)，使用了常数空间。
• 易错点：在计算mid时，应避免直接使用(i+j)/2，以防止整数溢出。正确的做法是使用i+(j-i)/2。
• 注意点：在判断x/mid与mid的关系时，应使用整数除法，即x/mid。

相似题目