【概率论】分布函数的定义与应用：从直观到数学形式

分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率论与数理统计中的核心概念，它用一个函数全面描述了随机变量取值的概率分布情况。在本文中，我们将从直观感受开始，逐步引入分布函数的定义、性质以及离散型和连续型分布函数的区别，并结合实例加深理解。

1. 分布函数的直观引入

1.1 从一个例子出发

假设你正在研究学生的考试成绩分布，绘制了成绩的频率直方图。通过直方图，你可以看到分数落在不同区间的频率，但如果你想知道“分数不超过某个值的学生比例”，该如何计算？

答案是：累积频率。

1.2 累积分布与分布函数

累积频率是一种描述“至多取某值”的概率的方法。将这种累积概率用数学函数表示，就得到了分布函数。

例如，当分数范围为0到100时，假设分布函数$F(x)$表示分数小于等于$x$的概率，则：

• $F(60)$表示分数小于等于60的学生比例。

• $F(100)=1$，表示所有学生都拿到了不超过100的分数。

2. 分布函数的定义

2.1 数学定义

对于一个随机变量$X$，分布函数$F(x)$定义为：

$$F(x)=P(X\le x)$$

即$F(x)$是$X$取值“小于等于$x$”的概率。它反映了随机变量取值的累计概率分布。

2.2 分布函数的图像

通过绘制$F(x)$的图像，可以更直观地观察其增长趋势。通常，$F(x)$表现为递增的曲线或阶梯状函数，具体形态取决于随机变量的类型。

3. 分布函数的性质

分布函数具有以下重要性质：

1. 单调非减性：

对任意$x_1\le x_2$，有$F(x_1)\le F(x_2)$。这是因为概率不会减少。

2. 界限：

$$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x)=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }F(x)=1$$

表示$X$的取值范围包含所有可能性。

3. 右连续性：

分布函数$F(x)$在每个$x$处都是右连续的，即：

$$\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }F(x)=F(x_0)$$
连续性随机变量同时还是左连续的

4. 离散型与连续型分布函数

4.1 离散型分布函数

离散型随机变量的分布函数$F(x)$通过求和表示：

$$F(x)=\sum _{x_i\le x}P(X=x_i)$$

特点：阶梯状函数，每个阶跃对应某个具体值的概率。

案例：掷一颗骰子，随机变量$X$表示骰子点数。分布函数为：

• $F(1)=P(X\le 1)=1/6$

• $F(2)=P(X\le 2)=2/6$

以此类推，分布函数的图像是逐步递增的阶梯状。

4.2 连续型分布函数

连续型随机变量的分布函数$F(x)$通过积分表示：

$$F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt$$

其中$f(x)$是概率密度函数（PDF）。

特点：平滑曲线，分布函数是概率密度函数的积分。

案例：均匀分布在$[0,1]$上的随机变量，其概率密度函数为$f(x)=1$（$x\in [0,1]$）。分布函数为：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ x,& 0\le x\le 1\\ 1,& x>1\end{array}$$

5. 应用与计算

5.1 由分布函数计算概率

通过分布函数可以直接计算随机变量的区间概率：

$$P(a\le X\le b)=F(b)-F(a)$$

例题：已知$F(x)$为标准正态分布的分布函数，求$P(-1\le X\le 1)$：

$$P(-1\le X\le 1)=F(1)-F(-1)$$

5.2 分布函数求导

对于连续型随机变量，分布函数的导数就是概率密度函数：

$$f(x)=\frac{d}{dx}F(x)$$

例题：已知$F(x)=x^2$（$0\le x\le 1$），求概率密度函数$f(x)$：

$$f(x)=\frac{d}{dx}F(x)=2x$$

6. 总结与展望

本文从直观实例出发，逐步引入分布函数的定义、性质和计算方法。我们不仅探讨了离散型与连续型分布函数的差异，还通过实例展示了分布函数的应用。

在实际应用中，分布函数被广泛用于统计分析、数据建模和工程问题中。未来的内容中，我们将进一步探讨分布函数与统计学其他概念（如分位数、概率图）的联系。