【C++】高级分析递归函数编程题

💯前言

• 递归运算是模型统计和结构化计算中的基本方法，在计算任务中保持着致典场景。它通过归纳和备忘式技巧，能够有效地解决大规模和很大量的重复计算问题，特别在处理必须不断重复运算的情况中解决相关难题。
  本文对一个深层次的递归问题进行全面解析和扩展，通过详细分析模型，提供完整的解决思路、实现代码和应用场景。本文目标在于提升计算效率，展示备忘式递归在大数据处理和实际问题中的应用。通过学习此问题，学习者可熟练于大规模重复解算和备忘式技巧，为深入研究托底基础。
  C++ 参考手册
  

💯题目介绍

给定一个递归函数 f(x)，它的定义如下：

1. 当 $x=1$ 时，$f(x)=1$。
2. 当 $x>1$ 且为奇数时，递归计算两个值：
   $$f(x)=f\left(\frac{x-1}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)$$
3. 当 $x>1$ 且为偶数时，递归计算半值：
   $$f(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)$$

本模型给出了一种解法的逻辑条件，过程中充分考虑了奇偶性数值中的性质。

💯输入和输出格式

输入格式：

• 第一行是正整数 $T$ ，表示数据组数（$T\le 100$）。
• 之后 $T$ 行，每行输入一个正整数 $x$ ，范围： $x\le 10^9$。

输出格式：

• 对每组数据，输出一行结果，即 $f(x)$ 的值。

示例：

输入：
3
1
3
10

输出：
1
2
3

💯模型解析

1. 奇偶性分析

递归模型根据 $x$ 的奇偶性进行分析：

• 奇数情况：当 $x$ 为奇数时，通过将其分解为 $\frac{x-1}{2}$ 和 $\frac{x+1}{2}$，进行递归计算。这种计算方式将奇数进一步进行重组，通过维持模型方程的充分实施，处理加素区间的计算维度。

• 偶数情况：当 $x$ 为偶数时，递归直接变为 $\frac{x}{2}$，让全部计算算法至此缩短，同时模型的逻辑也可以短期事项优化。

2. 备忘式递归技巧

为了防止重复运算，在递归中使用 unordered_map 存储已经计算过的结果，即备忘式递归。它的工作原理如下：

1. 在计算之前，检查结果是否存在。
2. 若存在，直接返回结果。
3. 若不存在，递归计算，并将结果保存起来。

💯代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

unordered_map<long long, long long> dp; // 备忘式存储

long long f(long long x) {
    if (x == 1) return 1; 
    if (dp.find(x) != dp.end()) return dp[x];

    long long res;
    if (x % 2 == 0) {
        res = f(x / 2); 
    } else {
        res = f((x - 1) / 2) + f((x + 1) / 2);
    }
    dp[x] = res; 
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);

    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        long long x;
        cin >> x;
        cout << f(x) << "\n";
    }
    return 0;
}

💯小结

• 
  递归模型和备忘式技巧是解决大规模处理问题的重要手段。通过本文中的分析，可以完成备忘式递归的优化实现，大大提高运算效率。备忘式递归的思想在解决重复运算问题时具有普遍性，学习者可供之作为基础，为后继的处理大规模问题托底基础。
  本文通过代码实现和分析，完全解释了备忘式递归的逻辑，为处理实际问题提供了具体应用。缺乏此类技巧将导致重复计算添加大量运行时间，因此熟练掌握此类技术对于进阶研究和实际应用都具有深远意义。