信奥赛CSP-J复赛集训（模拟算法专题）（2）：P7071 [CSP-J2020] 优秀的拆分

信奥赛CSP-J复赛集训（模拟算法专题）（2）：P7071 [CSP-J2020] 优秀的拆分

题目描述

一般来说，一个正整数可以拆分成若干个正整数的和。

例如，$1=1$，$10=1+2+3+4$ 等。对于正整数 $n$ 的一种特定拆分，我们称它为“优秀的”，当且仅当在这种拆分下，$n$ 被分解为了若干个不同的 $2$ 的正整数次幂。注意，一个数 $x$ 能被表示成 $2$ 的正整数次幂，当且仅当 $x$ 能通过正整数个 $2$ 相乘在一起得到。

例如，$10=8+2=2^3+2^1$ 是一个优秀的拆分。但是，$7=4+2+1=2^2+2^1+2^0$ 就不是一个优秀的拆分，因为 $1$ 不是 $2$ 的正整数次幂。

现在，给定正整数 $n$，你需要判断这个数的所有拆分中，是否存在优秀的拆分。若存在，请你给出具体的拆分方案。

输入格式

输入只有一行，一个整数 $n$，代表需要判断的数。

输出格式

如果这个数的所有拆分中，存在优秀的拆分。那么，你需要从大到小输出这个拆分中的每一个数，相邻两个数之间用一个空格隔开。可以证明，在规定了拆分数字的顺序后，该拆分方案是唯一的。

若不存在优秀的拆分，输出 -1。

输入输出样例 #1

输入 #1

6

输出 #1

4 2

输入输出样例 #2

输入 #2

7

输出 #2

-1

说明/提示

样例 1 解释

$6=4+2=2^2+2^1$ 是一个优秀的拆分。注意，$6=2+2+2$ 不是一个优秀的拆分，因为拆分成的 $3$ 个数不满足每个数互不相同。

数据规模与约定

• 对于 $20\%$ 的数据，$n\le 10$。
• 对于另外 $20\%$ 的数据，保证 $n$ 为奇数。
• 对于另外 $20\%$ 的数据，保证 $n$ 为 $2$ 的正整数次幂。
• 对于 $80\%$ 的数据，$n\le 1024$。
• 对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le {10}^7$。
  以下是添加了注释的代码，并附有详细的功能分析：

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;

int main() {
    cin >> n; // 读取输入的整数n

    // 若n为奇数，无法分解为不同2的正整数次幂之和，直接输出-1
    if (n % 2 == 1) {
        cout << -1;
        return 0;
    }

    // 从最大的2的正整数次幂开始尝试分解（2^30到2^1）
    for (int i = 30; i >= 1; i--) {
        int ans = pow(2, i); // 计算当前2的幂次值
        if (n >= ans) {
            cout << ans << " "; // 输出当前幂次值
            n -= ans; // 从n中减去已选中的值
        }
    }
    return 0;
}

功能分析

1. 核心目标
   将输入的偶数 n 分解为互不相同的2的正整数次幂（如2,4,8等）之和，并按从大到小的顺序输出这些数。若输入为奇数，直接输出 -1。

2. 处理奇数情况
   由于所有2的正整数次幂均为偶数，它们的和必然为偶数。因此，当输入 n 为奇数时，直接输出 -1。

3. 贪心分解策略

   • 从大到小尝试：从最大的可能的2次幂（2^30）开始，依次尝试减去能容纳的最大幂次。
   • 保证唯一性：每次选中一个幂次后，剩余部分继续用更小的幂次填充，确保分解结果中的每个数唯一且有序。

4. 示例分析

   • 输入 n=10：
     分解过程为 8（2^3） + 2（2^1），输出 8 2。
   • 输入 n=6：
     分解为 4（2^2） + 2（2^1），输出 4 2。
   • 输入 n=5：
     奇数无法分解，输出 -1。

文末彩蛋：

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