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矩阵扩展算法——简单的算卷积
接着上文，矩阵进行更深入的学习就需要学习更多的处理了，矩阵被运用在很多的领域，这里简单以计算机图形处理的重要概念——卷积，为例进行说明：
卷积。用一个模板去和另一个图片对比，进行卷积运算。目的是使目标与目标之间的差距变得更大。卷积在数字图像处理中最常见的应用为锐化和边缘提取，此外，在人工智能中的图像处理也极为常见，这里的运算介绍不提供繁杂的公式（相信短时间内也看不懂）使用Zero padding，unit strides（零填充，单位滑动）的计算方式进行举例。
（图片来自外国的学术论坛datascience）
对于此类计算，有两个矩阵a和b，矩阵a是原矩阵，b是卷积核，他们的运算过程是，首先对b矩阵进行倒置，如：
接着，再将待处理矩阵的部分与卷积核进行逐个进行相对应的运算，本例子由于按照边缘’零’处理的方式，因此边缘全部按照0进行运算，如图运算的过程为：0*1+0*2+0*3+0*2+1*1+2*2+0*1+1*2+2*1=9，这样的一个值计算完成后，对每一个值再度进行运算即可。
以卷积核为3*3为例，代码样例为：
#include <stdio.h>
#define MAXN 105
int n, m;
int org[MAXN][MAXN] = {0};
int ker[3][3] = {0};
int ans[MAXN][MAXN] = {0};
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
// 输入待处理的矩阵
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
scanf("%d", &org[i][j]);
}
}
// 以倒置的方式输入卷积核
for (int i = 2; i >= 0; i--) {
scanf("%d %d %d", &ker[i][2], &ker[i][1], &ker[i][0]);
}
// 卷积运算
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
int tmp = 0;
for (int a = 0; a < 3; a++) {
for (int b = 0; b < 3; b++) {
tmp += (ker[a][b] * org[i - 1 + a][j - 1 + b]);
}
}
ans[i][j] = tmp;
}
}
// 结果输出
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) {
printf("%d ", ans[i][j]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
杂谈
从前文的代码实现可以看出，矩阵在整个计算机中使用非常广泛，而其实现方式又无不与二维数组这个概念相对应，二维数组是最简单的矩阵表示方式，其便利性可以让我们设计出相当多的矩阵相关的算法，与一维的运算不同，二维的运算无论从理解出发还是计算乃至代码设计出发，都复杂了许多，这就需要充分的数学知识做铺垫，也希望读者能够细细理解代数这一门学科的奥妙。
矩阵
代码示例:
#include<stdlib.h>
#include<stdio.h>
#include<stdbool.h>
// 对于该题也可以把数组设为arr[7][7],count[7],设为全局变量更好，方便函数传参
int SumMax(int** arr, int n)// 计算矩阵中列的最大值
{
int max = -1000;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int sum = 0;
for (int j = 0; j < n; j++)
{
sum += arr[j][i];
}
max = sum > max ? sum : max;
}
return max;
}
void RightRotate(int** arr, int n, int i)// 实现右移一次
{
int temp = arr[i][n - 1];
for (int k = n - 2; k >= 0; k--)
{
arr[i][k + 1] = arr[i][k];
}
arr[i][0] = temp;
}
int main()
{
int n;
while (scanf("%d", &n) != EOF && n != -1)// -1结束
{
// 定义一个二维数组，为n*n的矩阵
int** arr = (int**)malloc(n * sizeof(int*));
for (int i = 0; i < n; i++)
{
arr[i] = (int*)malloc(n * sizeof(int));
}
// 定义一个一维数组，用来储存每一行需移动的次数
int* count = (int*)malloc(n * sizeof(int));
// 初始化数据
for (int i = 0; i < n; i++)
{
count[i] = 0;
for (int j = 0; j < n; j++)
{
scanf("%d", &arr[i][j]);
}
}
int min = 100000;
if (n == 1)
{
min = arr[0][0];
}
else
{
bool flag = true;
while (flag)
{
flag = false;// 用于终止循环，当第二行右移完之后
for (int i = n - 1; i >= 1; i--)// 实现第i行的右移，一直到第二行即可
{
RightRotate(arr, n, i);
if (count[i] < n)// 每一行最多移动n次
{
count[i]++;
min = SumMax(arr, n) < min ? SumMax(arr, n) : min;
for (int j = i + 1; j < n; j++)count[j] = 0;// 将i行后面移动的次数重置为0，再重新进行每行的右移
flag = true;
break;
}
}
}
}
// 或者像下面这样一次循环，注意一下不同之处
while (flag)
{
flag = false;// 用于终止循环，当第一行右移完之后
for (int i = n - 1; i >= 0; i--)// 实现第i行的右移，一直到第一行即可
{
RightRotate(arr, n, i);
if (count[i] < n)// 每一行最多移动n次
{
count[i]++;
min = SumMax(arr, n) < min ? SumMax(arr, n) : min;
for (int j = i + 1; j < n; j++)count[j] = 0;// 将i行后面移动的次数重置为0，再重新进行每行的右移
flag = true;
break;
}
}
}
printf("%d\n", min);
// 动态申请内存后释放，养成一个好习惯
free(arr);
free(count);
arr = NULL;
count = NULL;
}
return 0;
}矩阵的幂
代码示例:
#include<iostream>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
class M
{
public:
LL data[101][101];
M()
{
memset(data,0,sizeof(data));
}
};
M *Mul(M *m1,M *m2)
{
M *ans=new M();
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
for(int k=0;k<2;k++)
ans->data[i][j]+=m1->data[i][k]*m2->data[k][j];
return ans;
}
M *mPow(M *m,int p)
{
M *E=new M();
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
if(i==j)
E->data[i][j]=1;
while(p!=0)
{
if((p&1))
E=Mul(E,m);
m=Mul(m,m);
p>>=1;
}
return E;
}
int main()
{
int n;
M *res=new M(),*a=new M();
a->data[0][0]=0;
a->data[0][1]=1;
a->data[1][0]=2;
a->data[1][1]=3;
while(cin>>n)
{
res=mPow(a,n);
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=0;j<2;j++)
cout<<res->data[i][j]<<" ";
cout<<endl;
memset(res,0,sizeof(res));
}
return 0;
}矩阵转置
代码示例:
#include<stdio.h>
int main()
{
int a[100][100];
int n,i,j;
scanf("%d",&n);
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
for(i=0;i<n;i++)
{
for(j=0;j<n;j++)
{
printf("%d ",a[j][i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}