考研数学（一）核心结论与易错点详细笔记
第一部分：高等数学
一、函数、极限、连续
(一) 重要结论与公式
等价无穷小替换 (仅限乘除运算，极限过程为 x → 0 或某特定值导致因子→0)：
sin x ~ xtan x ~ xarcsin x ~ xarctan x ~ x1 - cos x ~ (1/2)x²e^x - 1 ~ xln(1 + x) ~ x(1 + x)^α - 1 ~ αxa^x - 1 ~ x ln a(其中 a > 0, a ≠ 1)
重要极限：
lim (sin x / x) = 1(当 x → 0)lim (1 + 1/x)^x = e(当 x → ∞) 或lim (1 + α(x))^(1/α(x)) = e(当 α(x) → 0)变形：
lim (1 + kx)^(1/x) = e^k(当 x → 0)
洛必达法则使用条件：
0/0 型或 ∞/∞ 型未定式。
分子分母在去心邻域内可导。
lim (f'(x) / g'(x))存在或为无穷大。
泰勒公式 (麦克劳林公式是 x₀=0 的特殊情况)：
带佩亚诺余项 (局部，用于求极限、判断极值)：
f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + (f''(x₀)/2!)(x-x₀)² + ... + (f^(n)(x₀)/n!)(x-x₀)^n + o((x-x₀)^n)常用麦克劳林展开式：
e^x = 1 + x + x²/2! + ... + x^n/n! + o(x^n)sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - ... + (-1)^(k-1)x^(2k-1)/(2k-1)! + o(x^(2k))cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ... + (-1)^k x^(2k)/(2k)! + o(x^(2k+1))ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ... + (-1)^(n-1)x^n/n + o(x^n)(1+x)^α = 1 + αx + (α(α-1)/2!)x² + ... + (α(α-1)...(α-n+1)/n!)x^n + o(x^n)
闭区间上连续函数的性质：
有界性与最大值最小值定理：闭区间上的连续函数一定有界，且能取得最大值和最小值。
零点定理：若
f(x)在[a,b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点ξ ∈ (a,b)使得f(ξ) = 0。介值定理：若
f(x)在[a,b]上连续，则对任意介于f(a)与f(b)之间的数C(或m与M之间的数)，至少存在一点ξ ∈ [a,b]使得f(ξ) = C。
间断点分类：
第一类间断点：左右极限都存在。
可去间断点：
lim f(x)(x→x₀⁻) =lim f(x)(x→x₀⁺) ≠f(x₀)或f(x₀)无定义。跳跃间断点：
lim f(x)(x→x₀⁻) ≠lim f(x)(x→x₀⁺)。
第二类间断点：左右极限至少有一个不存在。
无穷间断点：极限为 ∞。
振荡间断点：极限不存在且不为 ∞ (如
sin(1/x)在 x=0)。
(二) 常见易错点与注意事项
等价无穷小替换：
只能在乘除时使用，加减法中要慎用或展开足够多项后使用。
lim (f(x)/g(x))若f(x) ~ f₁(x)，g(x) ~ g₁(x)，则lim (f(x)/g(x)) = lim (f₁(x)/g₁(x))。注意是哪个变量趋于哪个值时的等价。
洛必达法则：
使用前务必检查是否为 0/0 或 ∞/∞ 型。
如果求导后形式更复杂或极限仍不存在，考虑其他方法（等价无穷小、泰勒、重要极限、变量替换等）。
可以与其他方法结合使用，如先用等价无穷小简化再洛必达。
洛必达法则并非万能，有时求导会循环或更复杂。
泰勒公式：
注意展开到多少阶，通常是展开到不等价无穷小抵消的阶数。
余项
o(x^n)的理解。在比较阶数、求极限、判断极值点和拐点时非常有用。
极限的保号性：
若
lim f(x) = A > 0(或< 0)，则存在x₀的某去心邻域，当x在此邻域内时，f(x) > 0(或< 0)。反之，若在
x₀的某去心邻域内f(x) ≥ 0(或≤ 0)，且lim f(x) = A存在，则A ≥ 0(或A ≤ 0)。注意这里是>=，极限可能取到等号。
判断函数连续性：
分段函数在分段点的连续性需要判断左极限、右极限、函数值是否三者相等。
初等函数在其定义域内都是连续的。
无穷大与无界：
无穷大必定无界，但无界不一定是无穷大 (如
f(x) = x sin x当 x→∞ 时无界但非无穷大)。
变量代换求极限：
如令
t = 1/x，注意x → 0⁺对应t → +∞，x → 0⁻对应t → -∞。
二、一元函数微分学
(一) 重要结论与公式
导数定义：
f'(x₀) = lim (Δy/Δx)(Δx→0) =lim [f(x₀+Δx) - f(x₀)] / Δx(Δx→0)f'(x₀) = lim [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)(x→x₀)单侧导数：左导数
f'_-(x₀)，右导数f'_+(x₀)。可导充要条件是左右导数存在且相等。
基本求导公式与运算法则：(务必熟练掌握)
和差积商法则。
复合函数求导法则 (链式法则)。
反函数求导法则：
dy/dx = 1 / (dx/dy)。参数方程求导：
dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。二阶：d²y/dx² = d(dy/dx)/dt / (dx/dt)。隐函数求导：方程两边对x求导，注意y是x的函数。
微分中值定理：
罗尔定理：
f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)=f(b)⇒ 至少存在ξ ∈ (a,b)使f'(ξ)=0。拉格朗日中值定理：
f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导 ⇒ 至少存在ξ ∈ (a,b)使f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)。柯西中值定理：
f(x), g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，g'(x) ≠ 0⇒ 至少存在ξ ∈ (a,b)使[f(b)-f(a)] / [g(b)-g(a)] = f'(ξ) / g'(ξ)。
导数应用：
单调性：
f'(x) > 0⇒ 单调增；f'(x) < 0⇒ 单调减。极值：
必要条件：
f(x)在x₀处可导且取极值 ⇒f'(x₀)=0。第一充分条件：
x₀左侧f'(x)>0右侧f'(x)<0⇒x₀为极大值点 (反之为极小)。第二充分条件：
f'(x₀)=0且f''(x₀)<0⇒x₀为极大值点 (f''(x₀)>0为极小)。
凹凸性与拐点：
f''(x) > 0⇒ 曲线凹；f''(x) < 0⇒ 曲线凸。拐点必要条件：若
(x₀, f(x₀))是拐点且f''(x₀)存在 ⇒f''(x₀)=0。拐点充分条件：
f''(x₀)=0且f''(x)在x₀两侧异号 (或f'''(x₀) ≠ 0当f''(x₀)=0时)。
渐近线：
水平渐近线：
lim f(x) = A(x→∞) ⇒y=A。垂直渐近线：
lim f(x) = ∞(x→x₀) ⇒x=x₀。斜渐近线
y = kx + b：k = lim (f(x)/x)(x→∞)，b = lim (f(x) - kx)(x→∞)。
曲率与曲率半径：
曲率
K = |y''| / (1 + y'²)^(3/2)。曲率半径
ρ = 1/K。
(二) 常见易错点与注意事项
可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导 (如
y=|x|在x=0连续但不可导)。导数定义的应用：
lim [f(x₀+ah) - f(x₀+bh)] / h = (a-b)f'(x₀)(h→0)。题目中出现
f(x₀)，求f'(x₀)或相关极限，优先考虑导数定义。
分段函数在分段点的可导性：
首先保证在该点连续。
然后用导数定义求左右导数，判断是否相等。不能直接代入求导公式再看左右是否相等。
中值定理的辅助函数构造：
证明
f'(ξ) + g(ξ)f(ξ) = 0型，考虑F(x) = e^(∫g(x)dx) f(x)。证明
f'(ξ) = C型，考虑F(x) = f(x) - Cx。涉及
f(a), f(b), f(c)等多个点，可能需要多次使用中值定理或在不同区间使用。务必写清中值定理的使用条件。
极值点与最值点：
极值是局部概念，最值是全局概念。
闭区间上的连续函数求最值，需要比较所有极值点和端点的函数值。
驻点 (导数为0的点) 不一定是极值点 (如
y=x³在x=0)。不可导点也可能是极值点 (如y=|x|在x=0)。
参数方程求二阶导数：公式
d²y/dx² = d(dy/dx)/dt / (dx/dt)容易错写成分子是d²y/dt²。隐函数求导：
求完一阶导后，若要求二阶导，代入一阶导的表达式时，如果其中仍含有
y'，也要将其替换掉。对方程两边求导时，不要漏掉
y'。
斜渐近线：
k和b的极限过程必须一致 (同为 x→+∞ 或同为 x→-∞)。如果左右极限不一致，则可能存在两条不同的斜渐近线。
三、一元函数积分学
(一) 重要结论与公式
原函数与不定积分：
若
F'(x) = f(x)，则∫f(x)dx = F(x) + C。基本积分公式 (务必熟练)。
不定积分的性质：
∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx∫kf(x)dx = k∫f(x)dx(k为常数)
不定积分方法：
第一类换元法 (凑微分)。
第二类换元法：三角代换、根式代换等。务必注意换元后的积分限（定积分）或换回原变量（不定积分）。
分部积分法：
∫udv = uv - ∫vdu。选择u和dv的原则：“反对幂三指”（反三角函数、对数函数、幂函数、三角函数、指数函数，前者优先选作u）。
定积分定义：
∫[a,b] f(x)dx = lim (Σ f(ξᵢ)Δxᵢ)(λ→0, λ为区间最大长度)。定积分的性质：
∫[a,b] kf(x)dx = k∫[a,b] f(x)dx∫[a,b] [f(x)±g(x)]dx = ∫[a,b]f(x)dx ± ∫[a,b]g(x)dx∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx∫[a,a] f(x)dx = 0∫[a,b] f(x)dx = -∫[b,a] f(x)dx若在
[a,b]上f(x) ≤ g(x)，则∫[a,b] f(x)dx ≤ ∫[a,b] g(x)dx。估值定理：若
m ≤ f(x) ≤ M在[a,b]上，则m(b-a) ≤ ∫[a,b] f(x)dx ≤ M(b-a)。中值定理：若
f(x)在[a,b]连续，则至少存在ξ ∈ [a,b]使∫[a,b] f(x)dx = f(ξ)(b-a)。
牛顿-莱布尼茨公式：若
F'(x)=f(x)，则∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)。变限积分函数及其导数：
d/dx [∫[a,x] f(t)dt] = f(x)d/dx [∫[a,φ(x)] f(t)dt] = f(φ(x))φ'(x)d/dx [∫[ψ(x),φ(x)] f(t)dt] = f(φ(x))φ'(x) - f(ψ(x))ψ'(x)
对称区间上的积分性质 (奇偶性)：
若
f(x)为奇函数，则∫[-a,a] f(x)dx = 0。若
f(x)为偶函数，则∫[-a,a] f(x)dx = 2∫[0,a] f(x)dx。推广：
∫[0,π] xf(sin x)dx = (π/2)∫[0,π] f(sin x)dx(华里士公式相关)推广：
∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,b] f(a+b-x)dx
反常积分 (广义积分)：
无穷限反常积分：
∫[a,+∞) f(x)dx = lim (t→+∞) ∫[a,t] f(x)dx。∫[1,+∞) (1/x^p) dx：当p > 1时收敛，当p ≤ 1时发散。
无界函数反常积分：若
f(x)在x=b无界 (瑕点)，∫[a,b) f(x)dx = lim (ε→0⁺) ∫[a,b-ε] f(x)dx。∫[0,1) (1/x^p) dx：当p < 1时收敛，当p ≥ 1时发散。(注意与无穷限的区别)
定积分应用：
平面图形面积：直角坐标、极坐标。
旋转体体积：绕x轴、绕y轴。
平面曲线弧长：直角坐标、参数方程、极坐标。
物理应用：变力做功、压力、引力等 (数一较少直接考，但思想会融入)。
(二) 常见易错点与注意事项
不定积分结果：务必记得
+ C。换元法：
定积分换元后，积分限也要相应改变。
不定积分换元后，结果要换回原变量。
三角代换时，注意辅助角的范围，以及开方时的符号。
分部积分法：
∫udv中dv容易漏掉dx。循环积分的情况 (如
e^x sin x)，要移项求解。
牛顿-莱布尼茨公式使用条件：被积函数
f(x)在积分区间[a,b]上必须连续 (或只有有限个第一类间断点，可以分段积分)。如果含有第二类间断点，不能直接用。变限积分求导：
看清楚积分变量和求导变量。
如果积分上限或下限是复合函数，不要忘记乘以其导数。
对称区间积分性质的滥用：
必须是关于原点对称的区间
[-a,a]。∫[0, 2a] f(x)dx不一定等于2∫[0,a] f(x)dx，除非有周期性等特殊条件。
反常积分敛散性判断：
比较判别法：
0 ≤ f(x) ≤ g(x)，若∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛；若∫f(x)dx发散，则∫g(x)dx发散。极限比较判别法：
lim (f(x)/g(x)) = L(x→瑕点或∞)。若0 < L < +∞，则∫f(x)dx与∫g(x)dx同敛散。若L=0且∫g(x)dx收敛，则∫f(x)dx收敛。若L=+∞且∫g(x)dx发散，则∫f(x)dx发散。常用
1/x^p作为比较对象。
定积分求面积：
注意曲线在x轴上方还是下方，可能需要分段或取绝对值。
两曲线所围面积
∫[a,b] |f(x)-g(x)|dx，要确定上下关系。极坐标面积
(1/2)∫[α,β] r²(θ)dθ。
定积分求旋转体体积：
区分绕x轴还是绕y轴，公式不同。
“微元法”思想很重要：切片法(垂直于旋转轴)、柱壳法(平行于旋转轴)。
四、向量代数与空间解析几何 (Math I 专属)
(一) 重要结论与公式
向量线性运算：加减法、数乘。
数量积 (点积)：
a · b = |a||b|cosθ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。a ⊥ b ⇔ a · b = 0(若a,b非零向量)。
向量积 (叉积)：
a × b是一个向量，其模|a × b| = |a||b|sinθ(平行四边形面积)，方向符合右手定则。坐标表示：
a × b = (y₁z₂ - y₂z₁, z₁x₂ - z₂x₁, x₁y₂ - x₂y₁)(可用三阶行列式记忆)。a // b ⇔ a × b = 0(若a,b非零向量)。
混合积：
[a b c] = (a × b) · c。其绝对值为以a,b,c为棱的平行六面体体积。[a b c] = 0 ⇔ a, b, c共面。
平面方程：
点法式：
A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0(法向量n=(A,B,C)，过点(x₀,y₀,z₀))。一般式：
Ax + By + Cz + D = 0。截距式：
x/a + y/b + z/c = 1。
直线方程：
参数式：
x = x₀ + mt, y = y₀ + nt, z = z₀ + pt(方向向量s=(m,n,p)，过点(x₀,y₀,z₀))。对称式 (点向式)：
(x-x₀)/m = (y-y₀)/n = (z-z₀)/p。一般式：两平面方程联立。
点到平面的距离：
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / sqrt(A² + B² + C²)。两平面夹角：
cosθ = |n₁·n₂| / (|n₁||n₂|)。直线与平面夹角：
sinφ = |s·n| / (|s||n|)(φ为直线与平面夹角，s为直线方向向量，n为平面法向量)。常见二次曲面：球面、椭球面、柱面、锥面、旋转抛物面、双曲抛物面(马鞍面)、单叶双曲面、双叶双曲面 (了解标准方程和图形特征)。
(二) 常见易错点与注意事项
点积与叉积的混淆：点积是数量，叉积是向量。
叉积不满足交换律：
a × b = - (b × a)。平面法向量与直线方向向量的确定：
平面一般式
Ax+By+Cz+D=0的法向量是(A,B,C)。直线对称式分母是方向向量的分量。
两平面交线的方向向量是两平面法向量的叉积
s = n₁ × n₂。
直线方程对称式的分母为0的处理：若
m=0，则写成x-x₀=0, (y-y₀)/n = (z-z₀)/p。夹角公式中的绝对值：通常求锐角，所以数量积或向量积的模要取绝对值。
直线与平面的夹角是
sinφ而不是cosφ。可以画图理解，直线方向向量与平面法向量的夹角θ与线面角φ的关系是θ + φ = π/2或|θ - φ| = π/2。判别共面与共线：
三向量共面：混合积为0。
四点共面：如A,B,C,D，则向量 AB, AC, AD 共面。
三点共线：如A,B,C，则向量 AB // AC (即 AB × AC = 0)。
五、多元函数微分学
(一) 重要结论与公式
偏导数定义：
∂z/∂x |_(x₀,y₀) = lim (Δx→0) [f(x₀+Δx, y₀) - f(x₀,y₀)] / Δx∂z/∂y |_(x₀,y₀) = lim (Δy→0) [f(x₀, y₀+Δy) - f(x₀,y₀)] / Δy
全微分定义：
若
Δz = AΔx + BΔy + o(ρ)(其中ρ = sqrt(Δx² + Δy²))，则称函数z=f(x,y)在点(x₀,y₀)可微，且全微分为dz = AΔx + BΔy = (∂z/∂x)dx + (∂z/∂y)dy。可微 ⇒ 偏导数存在。偏导数存在不一定可微。
若偏导数连续 ⇒ 可微。
复合函数求偏导 (链式法则)：务必画出变量间的依赖关系图。
如
z = f(u,v),u = φ(x,y),v = ψ(x,y)，则∂z/∂x = (∂f/∂u)(∂u/∂x) + (∂f/∂v)(∂v/∂x)。
隐函数求偏导：
由
F(x,y,z) = 0确定的隐函数z=z(x,y)：∂z/∂x = - (F'_x / F'_z)，∂z/∂y = - (F'_y / F'_z)(前提F'_z ≠ 0)。由方程组确定的隐函数组求导：联立方程，分别对自变量求偏导，解线性方程组。
多元函数极值：
必要条件：若
f(x,y)在(x₀,y₀)处取极值且偏导数存在 ⇒f'_x(x₀,y₀)=0, f'_y(x₀,y₀)=0。充分条件：设
f'_x(x₀,y₀)=0, f'_y(x₀,y₀)=0。记A=f''_{xx}(x₀,y₀), B=f''_{xy}(x₀,y₀), C=f''_{yy}(x₀,y₀)。若
AC - B² > 0：A>0为极小值；A<0为极大值。若
AC - B² < 0：不是极值。若
AC - B² = 0：方法失效，需用定义或其他方法判断。
条件极值 (拉格朗日乘数法)：
求
z=f(x,y)在约束条件φ(x,y)=0下的极值。构造拉格朗日函数
L(x,y,λ) = f(x,y) + λφ(x,y)。令
L'_x = 0, L'_y = 0, L'_λ = 0(即φ(x,y)=0)，解出可能的极值点。(推广到多个变量、多个约束条件类似)
方向导数与梯度 (Math I 专属)：
方向导数：
∂f/∂l |_(x₀,y₀) = f'_x(x₀,y₀)cosα + f'_y(x₀,y₀)cosβ(l为方向，cosα, cosβ为方向余弦)。梯度：
grad f |_(x₀,y₀) = (f'_x(x₀,y₀), f'_y(x₀,y₀))是一个向量。梯度方向是函数增长最快的方向，梯度的模是最大方向导数值。
∂f/∂l = grad f · l⁰(l⁰为l方向的单位向量)。
(二) 常见易错点与注意事项
偏导数存在与连续、可微的关系：
偏导数存在不一定连续，也不一定可微。
偏导数连续 ⇒ 可微 ⇒ 连续 ⇒ 偏导数存在。
分段函数在分界线上/点上求偏导数，务必用定义。
全微分的计算：
dz与Δz的区别。dx=Δx, dy=Δy。复合函数求导的链式法则：
不要漏掉路径。
中间变量和最终变量要分清。对
f求偏导时，是对其直接自变量u,v求，而不是x,y。高阶偏导数，如
∂²z/∂x²，注意∂z/∂x仍然是x,y的函数，对其求x的偏导时要再次使用链式法则。
隐函数求导公式的条件：
F'_z ≠ 0。极值充分条件的判别：
AC-B²的符号是关键。当AC-B²=0时，不能下结论，考试一般不会考这种情况的判断，但要知道它是不确定的。拉格朗日乘数法只是找到可能的极值点，其是否真是极值点、是极大还是极小，有时需要结合实际意义或更高阶的条件判断（考研一般不涉及）。对于有界闭区域上的最值问题，还需要比较边界上的最值。
方向导数与梯度：
方向l必须是单位向量，如果不是，要先单位化。
梯度是一个向量，方向导数是一个数量。
六、多元函数积分学 (重积分、曲线积分、曲面积分 - Math I 重点)
(一) 重要结论与公式
二重积分：
性质：类似定积分性质 (线性、可加性、比较、中值等)。
计算：
直角坐标：化为二次积分 (先x后y或先y后x)。关键是确定积分限。
极坐标：
∬_D f(x,y)dxdy = ∬_D' f(rcosθ, rsinθ) rdrdθ。 Jacobianr不能丢。对称性：
若积分区域
D关于y轴对称，f(x,y)关于x为奇函数 ⇒ 积分为0；关于x为偶函数 ⇒ 2倍一侧。若积分区域
D关于x轴对称，f(x,y)关于y为奇函数 ⇒ 积分为0；关于y为偶函数 ⇒ 2倍一侧。若积分区域
D关于原点对称，f(x,y)为奇函数 (即f(-x,-y)=-f(x,y)) ⇒ 积分为0；f(x,y)为偶函数 (即f(-x,-y)=f(x,y)) ⇒ 不能直接简化。
轮换对称性：若
D关于y=x对称，且f(x,y)=f(y,x)，则∬_D f(x,y)dxdy = 2∬_{D₁} f(x,y)dxdy(D₁为D在y≤x的部分)。如果f(x,y)=-f(y,x)，则积分为0。
三重积分：
计算：
直角坐标：化为三次积分 (先一后二、先二后一)。投影法、切片法。
柱面坐标：
x=rcosθ, y=rsinθ, z=z。Jacobianr。球面坐标：
x=ρsinφcosθ, y=ρsinφsinθ, z=ρcosφ。Jacobianρ²sinφ。
对称性：类似二重积分。
第一类曲线积分 (对弧长的曲线积分)：
∫_L f(x,y)ds或∫_L f(x,y,z)ds。计算：化为对参数
t(或x,y,θ) 的定积分。ds = sqrt(x'(t)² + y'(t)²)dt或sqrt(1+y'(x)²)dx或sqrt(r²(θ)+r'²(θ))dθ。物理意义：变密度曲线的质量。
第二类曲线积分 (对坐标的曲线积分)：
∫_L P(x,y)dx + Q(x,y)dy或∫_L Pdx + Qdy + Rdz。计算：化为对参数
t的定积分。dx = x'(t)dt, dy = y'(t)dt。物理意义：变力沿曲线所做的功。
格林公式 (平面)：
∮_L Pdx + Qdy = ∬_D (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy。条件：
L为分段光滑的简单闭曲线，正向。P,Q在D及其边界上有连续一阶偏导数。应用：计算曲线积分、计算面积
(1/2)∮_L xdy - ydx。平面上曲线积分与路径无关的条件 (等价)：
∮_L Pdx + Qdy = 0对区域内任意闭路L。∫_L Pdx + Qdy与路径无关，只与起止点有关。Pdx + Qdy是某函数u(x,y)的全微分，即∂u/∂x = P, ∂u/∂y = Q。∂P/∂y = ∂Q/∂x在单连通区域内。
第一类曲面积分 (对面积的曲面积分)：
∬_Σ f(x,y,z)dS。计算：化为对投影区域
Dxy(或Dyz, Dxz) 的二重积分。dS = sqrt(1 + (∂z/∂x)² + (∂z/∂y)²)dxdy(若曲面为z=z(x,y))。物理意义：变密度曲面的质量。
第二类曲面积分 (对坐标的曲面积分，通量)：
∬_Σ P(x,y,z)dydz + Q(x,y,z)dzdx + R(x,y,z)dxdy。计算：
投影法：分别将三个分量投影到相应的坐标平面上，化为二重积分。注意取号(法向量与相应轴的夹角是锐角取正，钝角取负)。
参数法：若曲面有参数方程。
物理意义：向量场穿过曲面的通量。
高斯公式 (空间)：
∯_Σ P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∭_Ω (∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z)dV。条件：
Σ为分段光滑的封闭曲面，外侧。P,Q,R在Ω及其边界上有连续一阶偏导数。应用：计算曲面积分、计算散度。
斯托克斯公式 (空间)：
∮_Γ Pdx + Qdy + Rdz = ∬_Σ (∂R/∂y - ∂Q/∂z)dydz + (∂P/∂z - ∂R/∂x)dzdx + (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy。即
∮_Γ A·dr = ∬_Σ rot(A)·dS(其中A=(P,Q,R))。条件：
Σ是以空间闭曲线Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的方向与Σ的法向量方向符合右手规则。P,Q,R有连续一阶偏导数。应用：计算空间曲线积分、计算旋度。
空间曲线积分与路径无关的条件 (等价)：类似平面情况，增加
∂P/∂z = ∂R/∂x,∂Q/∂z = ∂R/∂y(即rot A = 0)。
(二) 常见易错点与注意事项
二重积分、三重积分的积分限确定：
画图是关键！准确画出积分区域或积分体。
先一后二(或先二后一)的顺序选择有时会影响计算难度。
极坐标/柱面坐标/球面坐标的适用情形：区域或被积函数有
x²+y²(极、柱)，x²+y²+z²(球) 形式，或积分区域是圆、扇形、球、锥等。Jacobian行列式不要漏掉：
r(极、柱)，ρ²sinφ(球)。球面坐标中
φ(天顶角) 的范围是[0, π]，θ(方位角) 的范围是[0, 2π]。
对称性的应用：
不仅要求积分区域对称，还要看被积函数的奇偶性。
务必是关于某个轴或原点对称，以及被积函数关于相应的变量有奇偶性。
曲线积分、曲面积分中
ds和dS的计算：公式要记准，不要混淆。
参数方程下的
ds, dS要会求。
第二类曲线/曲面积分的方向问题：
曲线积分：曲线的始末方向。闭曲线的正向 (区域在左)。
曲面积分：曲面的法向量方向 (上侧/下侧，内侧/外侧)。投影法计算时，符号取决于法向量与投影面法向量(坐标轴方向)的夹角。
格林公式、高斯公式、斯托克斯公式的使用条件：
格林：平面、闭曲线、正向、偏导连续。
高斯：空间、闭曲面、外侧、偏导连续。
斯托克斯：空间、开曲面、边界曲线、方向符合右手螺旋、偏导连续。
如果条件不满足 (如不是闭曲线/曲面)，可以尝试“补线/面”再应用公式，然后减去补上线/面的积分。
与路径无关的判断：
平面：
∂P/∂y = ∂Q/∂x，且区域是单连通的。空间：
rot A = 0(即∂Q/∂x = ∂P/∂y,∂R/∂y = ∂Q/∂z,∂P/∂z = ∂R/∂x)，且区域是单连通的。若与路径无关，可以改道积分，选择最简单的路径。
高斯公式和斯托克斯公式中旋度和散度的计算：
散度
div A = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z(数量)。旋度
rot A = (∂R/∂y - ∂Q/∂z, ∂P/∂z - ∂R/∂x, ∂Q/∂x - ∂P/∂y)(向量)。
“掏洞”问题：若格林公式或高斯公式的区域内有奇点 (偏导数不存在)，需要挖去奇点的小邻域，在剩余区域用公式，再单独处理小邻域边界上的积分。
七、无穷级数
(一) 重要结论与公式
级数收敛的必要条件：若
Σu_n收敛，则lim u_n = 0(n→∞)。逆否命题：若lim u_n ≠ 0或极限不存在，则Σu_n发散。正项级数敛散性判别法：
比较判别法：
若
u_n ≤ v_n，Σv_n收敛 ⇒Σu_n收敛。若
u_n ≥ v_n ≥ 0，Σv_n发散 ⇒Σu_n发散。
比较判别法的极限形式：
lim (u_n/v_n) = L(n→∞)。若
0 < L < +∞，则Σu_n与Σv_n同敛散。若
L=0且Σv_n收敛 ⇒Σu_n收敛。若
L=+∞且Σv_n发散 ⇒Σu_n发散。
比值判别法 (达朗贝尔)：
lim |u_(n+1)/u_n| = ρ。ρ<1收敛，ρ>1发散，ρ=1失效。根值判别法 (柯西)：
lim sup |u_n|^(1/n) = ρ(或lim |u_n|^(1/n) = ρ若极限存在)。ρ<1收敛，ρ>1发散，ρ=1失效。积分判别法：若
f(x)在[1,+∞)上非负、单调减，u_n = f(n)，则Σu_n与∫[1,+∞) f(x)dx同敛散。常用比较级数：p-级数
Σ(1/n^p)(p>1收敛，p≤1发散)，几何级数Σaq^(n-1)(|q|<1收敛，|q|≥1发散)。
交错级数与莱布尼茨判别法：
Σ(-1)^(n-1)u_n(其中u_n > 0)，若满足：1)u_n单调递减；2)lim u_n = 0，则级数收敛。
绝对收敛与条件收敛：
若
Σ|u_n|收敛，则称Σu_n绝对收敛。绝对收敛一定收敛。若
Σu_n收敛，但Σ|u_n|发散，则称Σu_n条件收敛。
幂级数
Σ a_n x^n：收敛半径 R：
R = lim |a_n / a_(n+1)|(n→∞) (若极限存在)。R = 1 / (lim sup |a_n|^(1/n))(n→∞) (柯西-阿达马公式)。
收敛域：
(-R, R)内绝对收敛，|x|>R发散，端点x=±R单独讨论。
幂级数的和函数性质 (在收敛域内)：
和函数
S(x)连续。可逐项求导：
S'(x) = Σ na_n x^(n-1)，收敛半径不变。可逐项积分：
∫[0,x] S(t)dt = Σ (a_n / (n+1)) x^(n+1)，收敛半径不变。
函数展开成幂级数 (泰勒级数)：
f(x) = Σ [f^(n)(x₀)/n!] (x-x₀)^n。常用函数的麦克劳林级数 (见前面泰勒公式部分)。
将函数展开为幂级数的方法：
直接用泰勒级数定义 (求各阶导数)。
利用已知函数的麦克劳林展开式进行代换、四则运算、逐项积分、逐项求导。
傅里叶级数 (Math I 专属)：周期为
2π的函数f(x)f(x) ~ a₀/2 + Σ[n=1,∞] (a_n cos(nx) + b_n sin(nx))a₀ = (1/π)∫[-π,π] f(x)dxa_n = (1/π)∫[-π,π] f(x)cos(nx)dxb_n = (1/π)∫[-π,π] f(x)sin(nx)dx若
f(x)为奇函数，a_n=0(包括a₀)，为正弦级数。若
f(x)为偶函数，b_n=0，为余弦级数。周期为
2L的函数：将nx换成nπx/L，积分区间换成[-L,L]，系数分母π换成L。收敛定理 (狄利克雷)：若
f(x)周期为2L，在[-L,L]上分段单调或只有有限个极值点，且只有有限个第一类间断点，则其傅里叶级数收敛，且：在连续点
x处，和为f(x)。在间断点
x₀处，和为(1/2)[f(x₀⁻) + f(x₀⁺)]。
(二) 常见易错点与注意事项
必要条件的应用：
lim u_n = 0只是必要条件，不是充分条件 (如调和级数Σ1/n发散但lim 1/n = 0)。正项级数判别法的选择：
一般先看通项是否趋于0。
通项含
n!或a^n(底数固定，指数为n) 时，优先考虑比值法。通项含
u_n^v_n(底数指数都含n) 时，优先考虑根值法。通项是有理分式或易于与
1/n^p比较时，用比较判别法的极限形式。ρ=1时，比值法和根值法失效，需用其他方法。
莱布尼茨判别法的条件：两条都要满足，尤其是单调递减。
绝对收敛与条件收敛的判断顺序：一般先判断绝对收敛性 (即
Σ|u_n|是否收敛)。若绝对收敛，则原级数收敛。若Σ|u_n|发散，再看原级数是否满足条件收敛的判别法 (如交错级数的莱布尼茨判别法)。幂级数收敛半径的计算：
公式要记准，
a_n是x^n的系数。如果级数是Σ a_n (x-x₀)^n，收敛半径不变，收敛中心是x₀。如果幂级数缺项，不能直接用比值法求
a_n/a_(n+1)，要用柯西-阿达马公式或转化为不缺项的形式。
幂级数收敛域的端点讨论：务必单独代入
x=±R，判断这两个常数项级数的敛散性。函数展开成幂级数：
注意展开点是哪里 (默认麦克劳林是
x₀=0)。利用已知展开式时，变量代换后的范围要符合原展开式的收敛域。
逐项积分或求导，收敛半径不变，但端点敛散性可能改变，有时需要重新讨论新级数在端点的敛散性。
傅里叶级数系数的计算：
a₀前面是1/π(或1/L)，和函数中是a₀/2。奇偶性应用：可以简化积分计算。奇函数在
[-L,L]的积分为0，偶函数在[-L,L]的积分为2倍[0,L]的积分。周期延拓：如果函数只在
[0,L]定义，可以进行奇延拓或偶延拓到[-L,L]再展开。收敛定理中，间断点处的和函数值是左右极限的平均值。
八、常微分方程
(一) 重要结论与公式
基本概念：阶、解、通解、特解、初始条件。
可分离变量的方程：
dy/dx = f(x)g(y)⇒dy/g(y) = f(x)dx。齐次方程：
dy/dx = φ(y/x)。令u = y/x，则y = ux,dy/dx = u + x(du/dx)，代入化为可分离变量方程。一阶线性微分方程：
y' + P(x)y = Q(x)通解公式：
y = e^(-∫P(x)dx) [∫Q(x)e^(∫P(x)dx) dx + C]。伯努利方程：
y' + P(x)y = Q(x)y^n(n≠0,1)。令z = y^(1-n)，化为关于z的一阶线性方程。
可降阶的二阶方程：
y'' = f(x)：直接积分两次。y'' = f(x, y')：令p = y'，则y'' = p'，化为关于p的一阶方程p' = f(x,p)。y'' = f(y, y')：令p = y'，则y'' = p(dp/dy)，化为关于p作为y的函数的一阶方程p(dp/dy) = f(y,p)。
高阶线性微分方程：
解的结构：
齐次线性方程
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0：若y₁(x), y₂(x)是其两个线性无关的特解，则通解为y = C₁y₁(x) + C₂y₂(x)。非齐次线性方程
y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)：通解 = 对应齐次方程通解 + 非齐次方程本身的一个特解 (Y = y_h + y_p)。
叠加原理：若
y*₁是... = f₁(x)的特解，y*₂是... = f₂(x)的特解，则y*₁ + y*₂是... = f₁(x) + f₂(x)的特解。
常系数齐次线性微分方程：
y'' + py' + qy = 0(p,q为常数)。特征方程：
r² + pr + q = 0。特征根与通解：
两不等实根
r₁, r₂⇒y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x)。两相等实根
r₁ = r₂ = r⇒y = (C₁ + C₂x)e^(rx)。一对共轭复根
α ± iβ⇒y = e^(αx) (C₁cos(βx) + C₂sin(βx))。
常系数非齐次线性微分方程特解的求法 (待定系数法)：
y'' + py' + qy = f(x)。若
f(x) = P_m(x)e^(λx)(P_m(x)是m次多项式)：设特解
y_p = x^k Q_m(x)e^(λx)(Q_m(x)是m次待定多项式)。k的取值：若
λ不是特征方程的根，k=0。若
λ是特征方程的单根，k=1。若
λ是特征方程的重根，k=2。
若
f(x) = e^(λx) [P_l(x)cos(ωx) + P_n(x)sin(ωx)](P_l, P_n是l,n次多项式)：设特解
y_p = x^k e^(λx) [R_m(x)cos(ωx) + S_m(x)sin(ωx)](R_m, S_m是m次待定多项式，m = max(l,n))。k的取值：若
λ ± iω不是特征方程的根，k=0。若
λ ± iω是特征方程的根，k=1。
欧拉方程 (Math I 专属，较少考)：
x²y'' + pxy' + qy = f(x)(p,q为常数)。令
x = e^t(若x>0) 或x = -e^t(若x<0)，即t = ln|x|。化为关于t的常系数线性微分方程。
xy' = Dy(D=d/dt)x²y'' = D(D-1)y
(二) 常见易错点与注意事项
可分离变量方程积分后：不要忘记加任意常数
C。一阶线性方程通解公式：
e^(∫P(x)dx)和e^(-∫P(x)dx)中的不定积分可以不加C(会被最终的C吸收)。公式容易记错符号。
伯努利方程代换：
z = y^(1-n)，求z'时不要出错。可降阶方程中
y'' = p(dp/dy)的使用：适用于不显含
x的y'' = f(y,y')型。积分后得到
p关于y的关系，再代回p=dy/dx分离变量求解。
常系数齐次线性方程的特征根：
计算特征根要准确，特别是判别式
Δ = p² - 4q的情况。共轭复根
α ± iβ时，通解形式e^(αx)(C₁cos(βx) + C₂sin(βx))，不要漏掉e^(αx)或把α, β弄混。
待定系数法求特解：
k的取值是关键，取决于λ(或λ±iω) 是否为特征根以及是几重根。如果
f(x)是三角函数形式，特解必须同时包含cos(ωx)和sin(ωx)，即使f(x)只含其中一项 (除非λ=0且特征根不含虚部，同时ω对应的虚根是0)。多项式的次数要设对。
解的结构与叠加原理：
最终通解是齐次通解加非齐次特解。
如果右端
f(x)是几项之和，可以分别求对应各项的特解再相加。
初始条件的使用：代入通解确定任意常数
C(或C₁, C₂)。如果是求特解，则代入时要注意把对应的齐次解也考虑进去。
第二部分：线性代数
一、行列式
(一) 重要结论与公式
行列式定义：
n阶行列式是n!项的代数和，每项是不同行不同列元素的乘积，符号由列标排列的逆序数决定。行列式性质：
|A^T| = |A|(行列式转置值不变)。互换两行(列)，行列式变号。
某行(列)有公因子
k，可提到行列式外。若某行(列)元素全为0，则行列式为0。
若有两行(列)元素成比例或相同，则行列式为0。
某行(列)的
k倍加到另一行(列)上，行列式值不变 (最重要的性质，用于化简计算)。若某行(列)是两数之和，可拆成两个行列式之和。
行列式按行(列)展开定理：
|A| = Σ a_ij A_ij(对任意行i或列j，A_ij是代数余子式)。Σ a_ik A_jk = 0(i≠j) 或Σ a_ki A_kj = 0(i≠j) (某行元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为0)。
特殊行列式：
上(下)三角形行列式 / 对角行列式：值等于主对角线元素之积。
范德蒙行列式：
Π (x_j - x_i)(1 ≤ i < j ≤ n)。分块矩阵行列式：
| A O | = |A||D|| C D || A B | = |A||D|| O D || O A | = (-1)^(mn) |A||B|(A为m阶，B为n阶)| B O |
克拉默法则：若线性方程组
Ax=b的系数行列式|A| ≠ 0，则方程组有唯一解x_j = |A_j| / |A|(A_j是用b替换A的第j列得到的矩阵)。
(二) 常见易错点与注意事项
行列式是一个数，矩阵是一个数表。
性质的应用：
|kA| = k^n |A|(n是阶数)，不要误写成k|A|。行列式某行(列)提取公因子
k，是提出一个k；矩阵提取公因子k，是每个元素都除以k。化三角形计算行列式时，互换行要变号。
按行(列)展开定理：
注意代数余子式
A_ij = (-1)^(i+j) M_ij的符号。异乘变零的性质在证明和计算中常用。
范德蒙行列式：注意行的形式，以及展开式的连乘顺序，避免符号错误。
分块矩阵行列式公式：注意副对角线分块为零矩阵时的公式和条件。
二、矩阵
(一) 重要结论与公式
矩阵运算：加减、数乘、乘法。
矩阵乘法满足结合律、分配律，不满足交换律和消去律。
(AB)^T = B^T A^T。(A+B)^T = A^T + B^T。(kA)^T = kA^T。
逆矩阵：
若
AB = BA = E，则B是A的逆矩阵，记为A⁻¹。A可逆的充要条件是|A| ≠ 0。A⁻¹ = (1/|A|) A*(其中A*是伴随矩阵)。性质：
(A⁻¹)⁻¹ = A，(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹，(A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T，(kA)⁻¹ = (1/k)A⁻¹(k≠0)。
伴随矩阵
A*：由代数余子式A_ji构成的矩阵 (即A_ij放在(j,i)位置)。AA* = A*A = |A|E。|A*| = |A|^(n-1)(n为阶数)。(A*)* = |A|^(n-2) A(n≥2)。若
A可逆，则(A*)⁻¹ = (A⁻¹)* = (1/|A|) A。
矩阵的初等变换与初等矩阵：
初等行(列)变换：互换两行(列)
r_i ↔ r_j；某行(列)乘以非零数k r_i；某行(列)的k倍加到另一行(列)r_i + k r_j。初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到。初等矩阵都可逆。
左乘初等矩阵相当于对该矩阵进行相应的初等行变换；右乘初等矩阵相当于进行相应的初等列变换。
任何可逆矩阵都可以表示为有限个初等矩阵的乘积。
矩阵的秩
r(A)：矩阵中非零子式的最高阶数。r(A^T) = r(A)。初等变换不改变矩阵的秩。
r(A+B) ≤ r(A) + r(B)。r(AB) ≤ min(r(A), r(B))。若
P,Q可逆，则r(PAQ) = r(A)。max(|r(A)-r(B)|) ≤ r(A±B)。若
A是m×n矩阵，则r(A) ≤ min(m,n)。n阶方阵A可逆 ⇔r(A) = n(满秩)。
(二) 常见易错点与注意事项
矩阵乘法没有交换律：
AB ≠ BA一般成立。AB=O不能推出A=O或B=O。AB=AC且A≠O不能推出B=C(除非A可逆)。伴随矩阵
A*的定义：元素是代数余子式A_ij，但放在(j,i)位置，即A* = (A_ji)。求逆矩阵的方法：
用公式
A⁻¹ = (1/|A|) A*(适用于低阶矩阵)。用初等行变换
(A | E) → (E | A⁻¹)。
矩阵的秩：
行阶梯形矩阵中非零行的行数即为秩。
与向量组的秩、方程组解的判定紧密相关。
|AB| = |A||B|，但一般|A+B| ≠ |A|+|B|。
三、向量
(一) 重要结论与公式
n维向量：
n个数组成的有序数组。行向量、列向量。线性组合与线性表示：若
β = k₁α₁ + k₂α₂ + ... + k_sα_s，则称β是向量组α₁, ..., α_s的线性组合，或称β可由α₁, ..., α_s线性表示。线性相关与线性无关：
若存在不全为零的数
k₁, ..., k_s使k₁α₁ + ... + k_sα_s = 0，则称向量组α₁, ..., α_s线性相关。否则称线性无关。判定：
向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。
s个n维向量α₁, ..., α_s线性相关 ⇔ 矩阵A = (α₁, ..., α_s)的秩r(A) < s。s个n维向量α₁, ..., α_s线性无关 ⇔ 矩阵A = (α₁, ..., α_s)的秩r(A) = s。若
s > n(向量个数 > 向量维数)，则向量组必线性相关。含零向量的向量组必线性相关。
向量组的部分组线性相关，则整个向量组线性相关。
向量组线性无关，则其任何部分组都线性无关。
向量组的秩
r(α₁, ..., α_s)：向量组中极大线性无关组所含向量的个数。r(α₁, ..., α_s) = r(A)，其中A是以这些向量为列(或行)向量构成的矩阵。
极大线性无关组：向量组
α₁, ..., α_s的一个部分组α_i₁, ..., α_i_r满足：1) 自身线性无关；2) 原向量组中任一向量均可由该部分组线性表示。向量空间 (Math I 专属，了解概念)：
基：向量空间中一个极大线性无关组。
维数：基中所含向量的个数。
坐标：向量在某组基下的线性表示系数。
基变换与坐标变换公式：
X = P Y(X为旧基下坐标，Y为新基下坐标，P为从旧基到新基的过渡矩阵)。
内积、长度(范数)、正交 (Math I 专属)：
内积
(α, β) = α^T β = x₁y₁ + ... + x_n y_n。长度
||α|| = sqrt((α,α))。α ⊥ β ⇔ (α, β) = 0。施密特正交化：将一组线性无关的向量
α₁, ..., α_s化为一组标准正交向量ε₁, ..., ε_s。β₁ = α₁β₂ = α₂ - [(α₂,β₁)/(β₁,β₁)]β₁β₃ = α₃ - [(α₃,β₁)/(β₁,β₁)]β₁ - [(α₃,β₂)/(β₂,β₂)]β₂...单位化：
ε_i = β_i / ||β_i||。
(二) 常见易错点与注意事项
线性相关/无关的判定：
核心是
k₁α₁ + ... + k_sα_s = 0中系数是否全为0。转化为矩阵的秩来判断是最常用的方法。
向量组的秩与矩阵的秩的联系：要能灵活转换。
极大线性无关组不唯一，但所含向量个数 (即秩) 唯一。
线性表示的唯一性：当向量组
α₁, ..., α_s线性无关时，任何可由它们线性表示的向量β的表示法是唯一的。向量组等价：若向量组(I)可由向量组(II)线性表示，且向量组(II)也可由向量组(I)线性表示，则称它们等价。等价的向量组有相同的秩。
施密特正交化：公式较复杂，计算要细心，特别是减去的投影项的系数。
四、线性方程组
(一) 重要结论与公式
克拉默法则 (见行列式部分)：仅适用于系数矩阵为方阵且行列式不为0的情况。
n元线性方程组
Ax=b解的判定：有解的充要条件：
r(A) = r(A|b)(增广矩阵的秩)。若
r(A) = r(A|b) = n(n为未知数个数)，则方程组有唯一解。若
r(A) = r(A|b) < n，则方程组有无穷多解。通解结构为x = ξ₀ + k₁η₁ + ... + k_(n-r)η_(n-r)，其中ξ₀是一个特解，η₁, ..., η_(n-r)是对应齐次方程组Ax=0的一个基础解系。
若
r(A) < r(A|b)，则方程组无解。
齐次线性方程组
Ax=0：必有零解。
有非零解的充要条件：
r(A) < n。基础解系：齐次方程组解空间的一组基。所含向量个数为
n - r(A)。
非齐次线性方程组解的结构：
若
ξ₁, ξ₂是Ax=b的两个解，则ξ₁ - ξ₂是Ax=0的解。若
ξ₀是Ax=b的一个特解，η是Ax=0的解，则ξ₀ + η也是Ax=b的解。
(二) 常见易错点与注意事项
判断解的情况：核心是比较
r(A)和r(A|b)以及未知数个数n。求基础解系：
对系数矩阵
A进行初等行变换化为行阶梯形。找出自由未知量 (个数为
n-r(A))。分别令一个自由未知量为1，其余为0，解出对应的基础解系向量。
求非齐次方程组的特解：
通常在化简增广矩阵
(A|b)的过程中得到。令自由未知量为0，解出主元。
写通解时：不要漏掉特解或齐次通解部分，自由未知量的系数
k_i要写上。Ax=0有非零解 ⇔|A|=0(当A为方阵时)。这是非常重要的等价条件。
五、特征值与特征向量
(一) 重要结论与公式
定义：若
Aξ = λξ(ξ≠0)，则λ是方阵A的特征值，ξ是对应于λ的特征向量。特征方程：
|A - λE| = 0。解此方程得到特征值。特征向量的求解：对每个特征值
λ₀，解齐次线性方程组(A - λ₀E)x = 0，其非零解即为对应于λ₀的特征向量。基础解系构成特征向量空间的基。性质：
Σ λ_i = Σ a_ii = tr(A)(特征值之和等于矩阵的迹)。Π λ_i = |A|(特征值之积等于行列式)。若
λ是A的特征值，则：kλ是kA的特征值。λ^m是A^m的特征值。φ(λ)是φ(A)的特征值 (其中φ(A)是A的多项式)。1/λ是A⁻¹的特征值 (若A可逆，λ≠0)。λ是A^T的特征值。对应的特征向量不变 (除了
A^T可能不同)。
不同特征值对应的特征向量线性无关。
若
k重特征根，则对应线性无关的特征向量个数≤ k。
相似矩阵：若存在可逆矩阵
P使P⁻¹AP = B，则称A与B相似，记为A ~ B。相似矩阵有相同的特征多项式、特征值、行列式、迹、秩。
若
A ~ Λ(Λ为对角阵)，则称A可对角化。Λ的主对角元是A的特征值。
矩阵可对角化的充要条件：
n阶方阵A有n个线性无关的特征向量。对每个
k_i重特征根，恰有k_i个线性无关的特征向量 (即特征子空间的维数等于特征值的重数)。充分条件：若
n阶方阵A有n个互不相同的特征值，则A必可对角化。
实对称矩阵的对角化：
实对称矩阵的特征值必为实数。
实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交。
实对称矩阵必可相似对角化，且存在正交矩阵
Q(即Q⁻¹ = Q^T) 使Q^T A Q = Q⁻¹ A Q = Λ(Λ为对角阵)。求正交矩阵
Q：对每个特征值求出特征向量，若有重根，则对应的特征向量要做施密特正交化，然后单位化所有特征向量，按列排成Q。
(二) 常见易错点与注意事项
特征向量
ξ必须是非零向量。计算特征值：解特征方程
|A-λE|=0时，行列式计算不要出错。求解特征向量：解齐次方程组
(A-λE)x=0，得到的是基础解系，任意非零线性组合都是特征向量。一般写基础解系。相似不一定等价，等价不一定相似 (等价是
PAQ=B，P,Q可逆；秩是唯一不变量)。判断可对角化：
关键看线性无关特征向量的个数是否等于矩阵的阶数。
对于重根，要检验其对应线性无关特征向量的个数。
实对称矩阵：
其对角化是重点，必可用正交矩阵对角化。
不同特征值对应的特征向量已正交，相同特征值对应的线性无关特征向量需要进行施密特正交化，再单位化。
六、二次型
(一) 重要结论与公式
二次型及其矩阵表示：
f(x₁, ..., x_n) = X^T A X，其中A是实对称矩阵。合同变换：用可逆线性变换
X = CY代入二次型X^T A X，得到Y^T (C^T A C) Y。称A与B = C^T A C合同。合同变换不改变二次型的秩和正(负)惯性指数。
化二次型为标准形 (平方和)：
配方法。
正交变换法：对实对称矩阵
A，求正交矩阵Q使Q^T A Q = Λ(对角阵，对角元为特征值)。令X = QY，则X^T A X = Y^T Λ Y = λ₁y₁² + ... + λ_n y_n²。
惯性定理：二次型化为标准形不唯一，但标准形中正项个数 (正惯性指数
p)、负项个数 (负惯性指数q) 是唯一的。秩r = p+q。正定二次型 (或正定矩阵)：
定义：对任意非零向量
X，都有X^T A X > 0。判别：
A的所有特征值均大于0。A的所有顺序主子式均大于0。A合同于单位矩阵E(即标准形中p=n, q=0)。
负定：所有特征值 < 0；所有奇数阶顺序主子式 < 0，偶数阶顺序主子式 > 0。
半正定：所有特征值 ≥ 0；所有主子式 ≥ 0 (顺序主子式 ≥ 0 不足以判别半正定)。
(二) 常见易错点与注意事项
二次型的矩阵
A必须是对称矩阵。如果题目给出非对称形式，先化为对称形式 (如2x₁x₂对应矩阵元素a₁₂=a₂₁=1)。配方法：
优先配含平方项的。若无平方项，做辅助变换如
x₁=y₁-y₂, x₂=y₁+y₂产生平方项。每次配完一个变量的平方项后，剩余部分不能再含有该变量。
正交变换法：得到的标准形系数是特征值，变换矩阵
X=QY中的Q是由单位正交特征向量构成的。判断正定性：
顺序主子式是从左上角开始取的
1×1, 2×2, ..., n×n子式。特征值法是最根本的方法。
不要把正定和行列式大于0混淆 (行列式大于0只是必要非充分条件，除非低阶)。
标准形和规范形：标准形是
Σd_i y_i²，规范形是Σy_i² - Σy_j²(系数为±1,0)。
第三部分：概率论与数理统计
一、随机事件与概率
(一) 重要结论与公式
事件关系与运算：包含、相等、和、积、差、互不相容(互斥)、对立(互逆)。
德摩根律：
(A∪B)⁻ = A⁻∩B⁻，(A∩B)⁻ = A⁻∪B⁻。
概率性质：
0 ≤ P(A) ≤ 1。P(∅) = 0，P(Ω) = 1。有限可加性：若
A₁, ..., A_n互不相容，则P(∪A_i) = ΣP(A_i)。P(A⁻) = 1 - P(A)。减法公式：
P(A-B) = P(A) - P(AB)。加法公式：
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)。P(A∪B∪C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(AB)-P(AC)-P(BC) + P(ABC)。
条件概率：
P(B|A) = P(AB) / P(A)(其中P(A)>0)。乘法公式：
P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)。P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|AB)。
全概率公式：若
B₁, ..., B_n是样本空间的一个划分且P(B_i)>0，则对任意事件A，P(A) = Σ P(B_i)P(A|B_i)。贝叶斯公式 (逆概公式)：
P(B_j|A) = [P(B_j)P(A|B_j)] / [Σ P(B_i)P(A|B_i)]。事件的独立性：
A,B独立 ⇔P(AB) = P(A)P(B)。若
A,B独立，则A与B⁻，A⁻与B，A⁻与B⁻均独立。A,B,C两两独立不一定相互独立。A,B,C相互独立 ⇔P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C)。
n重伯努利试验 (独立重复试验)：
事件A在n次试验中发生k次的概率：
P_n(k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)(其中p为单次试验A发生的概率)。
(二) 常见易错点与注意事项
互不相容与相互独立：
互不相容：
AB = ∅，P(AB) = 0。相互独立：
P(AB) = P(A)P(B)。若
P(A)>0, P(B)>0，则互不相容与相互独立不能同时成立。
条件概率的理解：
P(B|A)是在A发生的条件下B发生的概率，样本空间缩小为A。全概率公式与贝叶斯公式的应用场景：
全概率：求最终结果的概率 (分阶段或按原因)。
贝叶斯：已知结果，求某个原因的概率 (执果索因)。
事件独立性的判断：严格用定义
P(AB)=P(A)P(B)，不能想当然。古典概型与几何概型：
古典概型：样本点有限、等可能性。
几何概型：无限样本点、等可能性 (长度、面积、体积)。
二、一维随机变量及其分布
(一) 重要结论与公式
分布函数
F(x) = P(X ≤ x)：性质：1)
0 ≤ F(x) ≤ 1；2)F(x)单调不减；3)F(-∞)=0, F(+∞)=1；4) 右连续。P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a)。P(X = a) = F(a) - F(a⁻)(分布函数在a点的左跳跃值)。
离散型随机变量：分布列
P(X=x_k) = p_k。Σp_k=1, p_k≥0。连续型随机变量：概率密度函数
f(x)。性质：1)
f(x) ≥ 0；2)∫[-∞,+∞] f(x)dx = 1。F(x) = ∫[-∞,x] f(t)dt。f(x) = F'(x)(在f(x)连续点处)。P(a < X ≤ b) = ∫[a,b] f(x)dx。P(X=a) = 0对于连续型随机变量。
常见分布：
0-1分布 (伯努利分布)
X~B(1,p)：P(X=k) = p^k(1-p)^(1-k)(k=0,1)。E(X)=p, D(X)=p(1-p)。二项分布
X~B(n,p)：P(X=k) = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)。E(X)=np, D(X)=np(1-p)。泊松分布
X~P(λ)：P(X=k) = (λ^k e^(-λ)) / k!。E(X)=λ, D(X)=λ。(泊松定理：当n很大，p很小，np=λ适中时，二项分布近似泊松分布)。几何分布
X~G(p)：首次成功在第k次试验，P(X=k) = (1-p)^(k-1)p。E(X)=1/p, D(X)=(1-p)/p²。均匀分布
X~U(a,b)：f(x) = 1/(b-a)fora<x<b, else 0。E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)²/12。指数分布
X~E(λ)：f(x) = λe^(-λx)forx>0, else 0。E(X)=1/λ, D(X)=1/λ²。 (具有无记忆性)正态分布 (高斯分布)
X~N(μ,σ²)：f(x) = (1/(sqrt(2π)σ)) e^(-(x-μ)²/(2σ²))。E(X)=μ, D(X)=σ²。标准正态分布
Z~N(0,1)：Φ(z) = P(Z≤z)。φ(z)为其密度。X~N(μ,σ²) ⇒ (X-μ)/σ ~ N(0,1)。Φ(-a) = 1 - Φ(a)。
随机变量函数的分布：
若
Y=g(X)，离散型：直接根据X的取值和g的对应关系求Y的分布列。
连续型：
分布函数法 (最通用)：
F_Y(y) = P(Y≤y) = P(g(X)≤y)，转化为关于X的概率，再用X的分布函数或密度函数表示。然后f_Y(y) = F'_Y(y)。公式法 (若
g(x)严格单调可导，反函数为h(y))：f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)|。
(二) 常见易错点与注意事项
分布函数与概率密度的关系：
F(x)是概率，f(x)是密度，不是概率。分布函数的性质：右连续，单调不减，界限0和1。
概率密度函数的性质：非负，积分为1。
常见分布的参数意义、期望、方差要记牢。
正态分布的标准化：
P(X≤a) = P((X-μ)/σ ≤ (a-μ)/σ) = Φ((a-μ)/σ)。查表或利用对称性。随机变量函数分布的求解：
分布函数法中，
P(g(X)≤y)转化为P(X ∈ {x|g(x)≤y})时，解不等式g(x)≤y是关键，要考虑g(x)的单调性。公式法
f_Y(y) = f_X(h(y)) |h'(y)|，别忘了绝对值|h'(y)|。
三、多维随机变量及其分布 (二维为主)
(一) 重要结论与公式
联合分布函数
F(x,y) = P(X≤x, Y≤y)。性质类似一维，但对每个变量单调不减、右连续。
F(-∞,y)=F(x,-∞)=0, F(+∞,+∞)=1。P(x₁<X≤x₂, y₁<Y≤y₂) = F(x₂,y₂) - F(x₁,y₂) - F(x₂,y₁) + F(x₁,y₁)。
联合分布列 (离散型)
P(X=x_i, Y=y_j) = p_ij。ΣΣp_ij=1, p_ij≥0。联合概率密度 (连续型)
f(x,y)。性质：1)
f(x,y) ≥ 0；2)∬ f(x,y)dxdy = 1(积分为全平面)。F(x,y) = ∫[-∞,x]∫[-∞,y] f(u,v)dvdu。f(x,y) = ∂²F(x,y) / (∂x∂y)(在连续点)。P((X,Y)∈D) = ∬_D f(x,y)dxdy。
边缘分布：
边缘分布函数：
F_X(x) = F(x,+∞)，F_Y(y) = F(+∞,y)。边缘分布列 (离散)：
p_i· = P(X=x_i) = Σ_j p_ij，p·_j = P(Y=y_j) = Σ_i p_ij。边缘概率密度 (连续)：
f_X(x) = ∫[-∞,+∞] f(x,y)dy，f_Y(y) = ∫[-∞,+∞] f(x,y)dx。
条件分布：
离散型：
P(X=x_i | Y=y_j) = p_ij / p·_j(若p·_j > 0)。连续型：
f_{X|Y}(x|y) = f(x,y) / f_Y(y)(若f_Y(y) > 0)。
随机变量的独立性：
F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)⇔X,Y独立。离散型：
p_ij = p_i· p·_j对所有i,j⇔X,Y独立。连续型：
f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)(几乎处处) ⇔X,Y独立。(若联合密度可分离变量且积分限互不依赖，则独立)。
二维随机变量函数的分布：
Z=g(X,Y)。离散型：列出(X,Y)所有取值，计算对应Z的取值和概率。
连续型：
Z = X+Y：卷积公式f_Z(z) = ∫[-∞,+∞] f_X(x)f_Y(z-x)dx(若X,Y独立)。M = max(X,Y), N = min(X,Y)(若X,Y独立)：F_M(z) = P(max(X,Y)≤z) = P(X≤z, Y≤z) = F_X(z)F_Y(z)。F_N(z) = P(min(X,Y)≤z) = 1 - P(min(X,Y)>z) = 1 - P(X>z, Y>z) = 1 - [1-F_X(z)][1-F_Y(z)]。
常见二维分布：
二维均匀分布：在区域D上
f(x,y) = 1/S_D(S_D为D的面积)。二维正态分布
(X,Y)~N(μ₁,μ₂,σ₁²,σ₂²,ρ)：边缘分布仍为正态：
X~N(μ₁,σ₁²), Y~N(μ₂,σ₂²)。X,Y独立的充要条件是ρ=0(仅对正态分布成立)。
(二) 常见易错点与注意事项
联合分布函数的性质和计算
P(x₁<X≤x₂, y₁<Y≤y₂)的公式要准确。边缘密度是对另一个变量在整个取值范围积分，积分限不要搞错。
条件密度的分母是边缘密度，不能为0。
判断独立性：
f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)是充要条件。若联合密度
f(x,y)可写成g(x)h(y)形式，且x,y的取值范围是矩形区域 (即x的范围与y无关，y的范围与x无关)，则X,Y独立。
卷积公式：
仅当X,Y独立时使用。
积分变量是x，
z-x是代入f_Y的变量。积分限由f_X(x)和f_Y(z-x)的非零区域共同决定。
max/min函数的分布函数法是关键。
四、随机变量的数字特征
(一) 重要结论与公式
数学期望 (均值) E(X)：
离散型：
E(X) = Σ x_k p_k。连续型：
E(X) = ∫[-∞,+∞] xf(x)dx。性质：
E(C) = C(C为常数)。E(CX) = CE(X)。E(X+Y) = E(X) + E(Y)。若
X,Y独立，则E(XY) = E(X)E(Y)(反之不一定成立)。
函数期望：
E(g(X)) = Σ g(x_k)p_k或∫g(x)f(x)dx。E(g(X,Y)) = ΣΣg(x_i,y_j)p_ij或∬g(x,y)f(x,y)dxdy。
方差 D(X) 或 Var(X)：
D(X) = E[ (X - E(X))² ] = E(X²) - [E(X)]²。性质：
D(C) = 0。D(CX) = C²D(X)。D(X+C) = D(X)。D(X+Y) = D(X) + D(Y) + 2Cov(X,Y)。若
X,Y独立，则D(X±Y) = D(X) + D(Y)。
标准差
σ(X) = sqrt(D(X))。切比雪夫不等式：对任意
ε > 0，P(|X-E(X)| ≥ ε) ≤ D(X)/ε²或P(|X-E(X)| < ε) ≥ 1 - D(X)/ε²。
协方差 Cov(X,Y)：
Cov(X,Y) = E[ (X-E(X))(Y-E(Y)) ] = E(XY) - E(X)E(Y)。性质：
Cov(X,Y) = Cov(Y,X)。Cov(aX,bY) = abCov(X,Y)。Cov(X₁+X₂, Y) = Cov(X₁,Y) + Cov(X₂,Y)。Cov(X,C) = 0。D(X) = Cov(X,X)。D(X±Y) = D(X) + D(Y) ± 2Cov(X,Y)。
相关系数 ρ_XY：
ρ_XY = Cov(X,Y) / (sqrt(D(X))sqrt(D(Y)))。性质：
|ρ_XY| ≤ 1。|ρ_XY| = 1⇔X,Y存在线性关系Y=aX+b(a≠0) 几乎必然成立。a>0时ρ=1，a<0时ρ=-1。若
X,Y独立 ⇒Cov(X,Y)=0⇒ρ_XY=0(X,Y不相关)。反之不一定成立。但对于二维正态分布，
ρ_XY=0⇔X,Y独立。
矩：
k阶原点矩：
E(X^k)。k阶中心矩：
E[ (X-E(X))^k ]。协方差是X和Y的二阶混合中心矩。
重要分布的期望和方差 (见一维随机变量部分)。
(二) 常见易错点与注意事项
E(XY) = E(X)E(Y)仅在X,Y独立时成立。不相关时E(XY)不一定等于E(X)E(Y)(除非Cov(X,Y)=0定义如此)。D(X±Y) = D(X) + D(Y)仅在X,Y独立 (或不相关) 时成立。一般要加/减2Cov(X,Y)。D(CX) = C²D(X)，平方不要漏。相关系数
ρ_XY = 0只表示X,Y不相关 (无线性关系)，不代表它们一定独立。除非是二维正态分布。计算
E(g(X,Y))或Cov(X,Y)时，如果X,Y不独立，必须用联合分布。方差的计算公式
E(X²) - [E(X)]²更常用。
五、大数定律与中心极限定理
(一) 重要结论与公式
大数定律 (依概率收敛)：描述了大量随机现象平均结果的稳定性。
切比雪夫大数定律 (较弱，但条件宽)：若随机变量序列
X₁, X₂, ...相互独立 (或不相关)，方差存在且一致有上界 (D(X_i)≤C)，则(1/n)ΣX_i依概率收敛于(1/n)ΣE(X_i)。特别地，若E(X_i)=μ, D(X_i)=σ²(同分布或期望方差相同)，则X̄ = (1/n)ΣX_i依概率收敛于μ。伯努利大数定律：
f_n = n_A/n(n次独立重复试验中事件A发生的频率) 依概率收敛于p = P(A)。辛钦大数定律 (条件更强，结论更常用)：若
X₁, X₂, ...独立同分布且期望E(X_i)=μ存在，则X̄依概率收敛于μ。
中心极限定理 (按分布收敛)：描述了大量独立随机变量之和的分布近似于正态分布。
林德伯格-列维中心极限定理 (独立同分布)：若
X₁, X₂, ...独立同分布，E(X_i)=μ, D(X_i)=σ²>0，则当n充分大时，Z_n = (ΣX_i - nμ) / (sqrt(n)σ) = (X̄ - μ) / (σ/sqrt(n))近似服从标准正态分布N(0,1)。即ΣX_i近似服从N(nμ, nσ²)，X̄近似服从N(μ, σ²/n)。棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理 (二项分布的正态近似)：若
Y_n ~ B(n,p)，则当n充分大时，Z_n = (Y_n - np) / sqrt(np(1-p))近似服从N(0,1)。(通常要求np≥5且n(1-p)≥5)
(二) 常见易错点与注意事项
大数定律是依概率收敛，即
P(|X̄_n - μ| < ε) → 1(n→∞)。中心极限定理是按分布收敛，即
X̄_n(或和) 的分布函数逼近正态分布的分布函数。使用中心极限定理时：
看清是求和
ΣX_i的近似分布还是均值X̄的近似分布，对应的期望和方差不同。标准化过程
(变量 - 期望) / 标准差要正确。如果是二项分布近似，
μ=np, σ²=np(1-p)。
中心极限定理的条件是n充分大，题目中会暗示或直接说明。
六、数理统计的基本概念
(一) 重要结论与公式
总体与样本：
总体：研究对象的全体。
个体：总体中的每个成员。
样本
(X₁, ..., X_n)：从总体中抽取的n个个体。简单随机样本：要求样本中各
X_i相互独立且与总体X同分布 (IID)。样本值
(x₁, ..., x_n)：样本的一次观测结果。
统计量：不含任何未知参数的样本的函数。如样本均值、样本方差、样本k阶原点矩等。
样本均值：
X̄ = (1/n)ΣX_i。样本方差：
S² = (1/(n-1))Σ(X_i - X̄)² = (1/(n-1))[ΣX_i² - n(X̄)²]。样本标准差：
S = sqrt(S²)。样本k阶(原点)矩：
A_k = (1/n)ΣX_i^k。样本k阶中心矩：
B_k = (1/n)Σ(X_i - X̄)^k。
常用统计量的性质 (基于IID样本)：
E(X̄) = E(X) = μ。D(X̄) = D(X)/n = σ²/n。E(S²) = D(X) = σ²(S²是总体方差的无偏估计)。E(A_k) = E(X^k)(k阶样本原点矩是k阶总体原点矩的无偏估计)。
三大抽样分布 (正态总体)：
χ²分布 (卡方分布)：若
X₁, ..., X_n独立同服从N(0,1)，则ΣX_i² ~ χ²(n)(自由度为n)。性质：1)
E(χ²(n)) = n,D(χ²(n)) = 2n。 2) 可加性：若U~χ²(n₁), V~χ²(n₂)且U,V独立，则U+V ~ χ²(n₁+n₂)。重要结论：设样本
(X₁,...,X_n)来自正态总体N(μ,σ²)，(n-1)S²/σ² ~ χ²(n-1)。X̄与S²相互独立。
t分布 (学生分布)：若
X~N(0,1), Y~χ²(n)且X,Y独立，则T = X / sqrt(Y/n) ~ t(n)。性质：关于y轴对称，
E(T)=0(n>1)，D(T)=n/(n-2)(n>2)。当n充分大时，t分布近似N(0,1)。重要结论：设样本
(X₁,...,X_n)来自正态总体N(μ,σ²)，(X̄ - μ) / (S/sqrt(n)) ~ t(n-1)。
F分布：若
U~χ²(n₁), V~χ²(n₂)且U,V独立，则F = (U/n₁) / (V/n₂) ~ F(n₁,n₂)(第一自由度n₁, 第二自由度n₂)。性质：若
F ~ F(n₁,n₂)，则1/F ~ F(n₂,n₁)。F_(1-α)(n₁,n₂) = 1 / F_α(n₂,n₁)。重要结论：设两独立样本分别来自正态总体
N(μ₁,σ₁²)和N(μ₂,σ₂²)，样本方差为S₁², S₂²，(S₁²/σ₁²) / (S₂²/σ₂²) ~ F(n₁-1, n₂-1)。
(二) 常见易错点与注意事项
样本方差
S²的分母是n-1，不是n。(1/n)Σ(X_i - X̄)²不是总体方差的无偏估计。E(S²) = σ²，但E(S) ≠ σ。三大抽样分布的构造条件和自由度要记准确。
χ²分布：标准正态的平方和。(n-1)S²/σ²的自由度是n-1。t分布：标准正态 / (开根号的卡方除以其自由度)。(X̄-μ)/(S/√n)的自由度是n-1。F分布：两个独立的卡方变量分别除以其自由度后的比值。(S₁²/σ₁²)/(S₂²/σ₂²)的自由度是(n₁-1, n₂-1)。
X̄与S²的独立性是正态总体的重要性质，在构造统计量时常用。
七、参数估计
(一) 重要结论与公式
点估计：用样本构造一个统计量来估计总体未知参数。
矩估计法：用样本矩估计总体矩，再解出参数的估计。
常用：
X̄估计μ；A₂ = (1/n)ΣX_i²估计E(X²)。若估计
θ，则令总体k阶矩 (含θ) = 样本k阶矩，解出θ。
最大似然估计法 (MLE)：
写出似然函数
L(θ) = Π f(x_i; θ)(离散型是Π P(X=x_i; θ))。取对数
ln L(θ)。令
d(ln L(θ))/dθ = 0(或对多个参数求偏导等于0)，解出θ的估计值θ̂。(有时需要验证是极大值点)。
估计量的评价标准：
无偏性：
E(θ̂) = θ。有效性 (最小方差性)：在所有无偏估计中，
D(θ̂)最小。一致性 (相合性)：
θ̂依概率收敛于θ。
区间估计 (正态总体)：
单个总体
N(μ,σ²)：μ的区间估计：
σ²已知：用Z = (X̄-μ)/(σ/√n) ~ N(0,1)构造。σ²未知：用T = (X̄-μ)/(S/√n) ~ t(n-1)构造。
σ²的区间估计：用
χ² = (n-1)S²/σ² ~ χ²(n-1)构造。
两个总体
N(μ₁,σ₁²)和N(μ₂,σ₂²)，独立样本：μ₁-μ₂的区间估计：
σ₁², σ₂²均已知：用Z统计量。σ₁², σ₂²均未知但相等 (σ₁²=σ₂²=σ²)：用T统计量，合并方差S_w² = [(n₁-1)S₁² + (n₂-1)S₂²] / (n₁+n₂-2)。σ₁², σ₂²均未知且不一定相等：近似t分布 (较复杂，考研一般不涉及)。
σ₁²/σ₂²的区间估计：用
F = (S₁²/σ₁²) / (S₂²/σ₂²) ~ F(n₁-1, n₂-1)构造。
(二) 常见易错点与注意事项
矩估计法：
是用样本矩估计总体矩，不是直接用样本值去凑。
一阶矩
E(X)用X̄估计，二阶原点矩E(X²)用A₂=(1/n)ΣX_i²估计。
最大似然估计法：
似然函数是样本联合密度(或概率)函数，看成参数
θ的函数。求导后解方程，可能需要讨论参数的取值范围。
如果参数的取值范围依赖于样本 (如均匀分布
U(0,θ)的θ必须大于等于max(X_i))，那么导数可能无法直接给出最大值点，需要结合单调性在边界处取值。
无偏性判断：
E(X̄)=μ，E(S²)=σ²。注意S²的分母是n-1才无偏。区间估计的枢轴量选择：
枢轴量的分布不能依赖未知参数。
根据已知条件 (如
σ²是否已知) 选择正确的统计量 (Z, T, χ², F)。查分位数表时注意自由度和概率
α/2或1-α/2。
八、假设检验 (Math I 了解基本思想和单个正态总体的检验)
(一) 重要结论与公式 (主要针对正态总体参数的检验)
基本思想：小概率原理。先假设原假设
H₀成立，如果根据样本观测值计算出的检验统计量的值落入了拒绝域 (即发生了小概率事件)，则拒绝H₀，否则接受H₀。两类错误：
第一类错误 (弃真)：
H₀为真但被拒绝。P(第一类错误) = α(显著性水平)。第二类错误 (取伪)：
H₀为假但被接受。P(第二类错误) = β。
检验步骤：
提出原假设
H₀和备择假设H₁。选择检验统计量，并确定在
H₀为真时的抽样分布。给定显著性水平
α，确定拒绝域的临界值。根据样本值计算检验统计量的观测值。
作出判断：若观测值落入拒绝域，则拒绝
H₀；否则接受H₀。
单个正态总体
N(μ,σ²)参数的检验：μ的检验 (Z检验或t检验)：
H₀: μ = μ₀σ²已知：检验统计量Z = (X̄-μ₀)/(σ/√n) ~ N(0,1)。σ²未知：检验统计量T = (X̄-μ₀)/(S/√n) ~ t(n-1)。拒绝域根据
H₁的形式 (双边、左边、右边) 确定。
σ²的检验 (χ²检验)：
H₀: σ² = σ₀²检验统计量
χ² = (n-1)S²/σ₀² ~ χ²(n-1)。拒绝域根据
H₁的形式确定。
(二) 常见易错点与注意事项
原假设
H₀通常是被保护、希望推翻的假设，或者等号总在原假设中。显著性水平
α是犯第一类错误的最大概率，是事先给定的。根据备择假设
H₁的形式确定是双边检验还是单边检验，从而确定拒绝域。H₁: μ ≠ μ₀⇒ 双边，拒绝域在两侧，每侧概率α/2。H₁: μ > μ₀⇒ 右边，拒绝域在右侧，概率α。H₁: μ < μ₀⇒ 左边，拒绝域在左侧，概率α。
不要把“接受H₀”等同于“H₀为真”，只是证据不足以拒绝它。
p值法：若p值 < α，则拒绝H₀。p值是当H₀为真时，得到现有样本观测结果或更极端结果的概率。(考研较少直接要求计算p值，但理解其思想有益)。