红黑树的定义
红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，通过特定的规则维持树的平衡。红黑树在每个结点上都增加一个存储位表示结点的颜色，结点的颜色可以是红色或者黑色，然后做出一下规定：
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
通过这五条规则的限制，红黑树就可以保证树中没有一条路径会比其他路径的两倍还长，红黑树将这种状态视为为平衡。为什么通过这几条规则就能做到呢？其重点在于规则4，即对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点，这样的话不难想到，最短路径的情况就是一条路径上面全是黑色结点；而通过规则3我们可以知道，一条路径上的红节点是不能连续存在的，又因为规则4的限制，我们要想让一条路径尽可能地长就只有往黑节点的间隙插入红节点，但是红节点不能连续，所以就是一个黑节点接一个红结点。最短路径是全黑，最长路径是一个黑接一个红，不难想象，最长路径不会超过最短路径的两倍，最多也就是两倍。
红黑树的部分模拟实现
#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include<iostream>
using namespace std;
enum Color
{
red,
black
};
template<class Key, class Value>
struct RB_Node
{
typedef RB_Node<Key, Value> Node;
RB_Node(Key k, Value v, Color c) :
_key(k),
_value(v),
_color(c)
{
}
Node* _parent = nullptr;
Node* _left = nullptr;
Node* _right = nullptr;
Key _key = 0;
Value _value = 0;
Color _color = red;
};
template<class Key, class Value>
class RB_Tree
{
public:
int rotation_num = 0;
typedef RB_Node<Key, Value> Node;
bool insert(Key k, Value v)
{
if (!_root)
{
_root = new Node(k, v, black);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key == k) return false;
parent = cur;
if (cur->_key > k) cur = cur->_left;
else cur = cur->_right;
}
cur = new Node(k, v, red);
if (parent->_key > cur->_key)
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
while (parent)
{
if (parent->_color == black) break;
Node* pparent = parent->_parent;
Node* uncle = nullptr;
if (pparent->_key > parent->_key) uncle = pparent->_right;
else uncle = pparent->_left;
if (!uncle || uncle->_color == black)
{
if (pparent->_key > parent->_key)
{
if (parent->_key > cur->_key)
{
Rrotation(parent);
parent->_color = black;
pparent->_color = red;
}
else
{
LRrotation(parent);
cur->_color = black;
pparent->_color = red;
}
}
else
{
if (parent->_key < cur->_key)
{
Lrotation(parent);
parent->_color = black;
pparent->_color = red;
}
else
{
RLrotation(parent);
cur->_color = black;
pparent->_color = red;
}
}
if (parent == _root) parent->_color = black;
break;
}
else if (uncle->_color == red)
{
uncle->_color = parent->_color = black;
pparent->_color = red;
if (pparent == _root)
{
pparent->_color = black;
break;
}
cur = pparent;
parent = pparent->_parent;
}
}
return true;
}
//void inorder()//中序打印
//{
// _inorder(root);
//}
//int high()//树的高度
//{
// return _high(root);
//}
//void check()//检查结点平衡
//{
// _check(root);
//}
bool CheckColour(Node* root, int blacknum, int benchmark)
{
if (root == nullptr)
{
if (blacknum != benchmark)
return false;
return true;
}
if (root->_color == black)
{
++blacknum;
}
if (root->_color == red && root->_parent && root->_parent->_color == red)
{
cout << root->_key << "出现连续红色节点" << endl;
return false;
}
return CheckColour(root->_left, blacknum, benchmark)
&& CheckColour(root->_right, blacknum, benchmark);
}
bool IsBalance()
{
return IsBalance(_root);
}
bool IsBalance(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return true;
if (root->_color != black)
{
return false;
}
// 基准值
int benchmark = 0;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_color == black)
++benchmark;
cur = cur->_left;
}
return CheckColour(root, 0, benchmark);
}
int Height()
{
return Height(_root);
}
int Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = Height(root->_left);
int rightHeight = Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
private:
//int _check(Node* cur)
//{
// if (!cur) return 0;
// int lret = _check(cur->_left);
// int rret = _check(cur->_right);
// if (lret != rret) cout << cur->_key << " : 错误" << endl;
// if (cur->_color == black) return lret + 1;
// return lret;
//}
//int _high(Node* cur)
//{
// if (!cur) return 0;
// int releft = _high(cur->_left);
// int reright = _high(cur->_right);
// return releft > reright ? releft + 1 : reright + 1;
//}
//void _inorder(Node* cur)
//{
// if (!cur) return;
// _inorder(cur->_left);
// cout << cur->_key << endl;
// _inorder(cur->_right);
//}
void LRrotation(Node* cur)
{
Lrotation(cur->_right);
cur = cur->_parent;
Rrotation(cur);
}
void RLrotation(Node* cur)
{
Rrotation(cur->_left);
cur = cur->_parent;
Lrotation(cur);
}
void Lrotation(Node* cur)
{
rotation_num++;
Node* parent = cur->_parent;
Node* pparent = parent->_parent;
Node* cur_left = cur->_left;
parent->_right = cur_left; //左右节点更新
cur->_left = parent;
if (cur_left) cur_left->_parent = parent; //父节点的更新
parent->_parent = cur;
cur->_parent = pparent;
if (pparent) //判断是不是空
{
if (pparent->_key > cur->_key) pparent->_left = cur; //父节点的父节点更新
else pparent->_right = cur;
}
else
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr; //解耦
}
//cur->_color = black; //颜色更新
//parent->_color = red;
}
void Rrotation(Node* cur)
{
rotation_num++;
Node* parent = cur->_parent;
Node* pparent = parent->_parent;
//Node* son = cur->_left;
Node* cur_right = cur->_right;
parent->_left = cur_right; //左右节点更新
cur->_right = parent;
if (cur_right) cur_right->_parent = parent; //父节点的更新
parent->_parent = cur;
cur->_parent = pparent;
if (pparent) //判断是不是空
{
if (pparent->_key > cur->_key) pparent->_left = cur; //父节点的父节点更新
else pparent->_right = cur;
}
else
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr; //解耦
}
//cur->_color = black; //颜色更新
//parent->_color = red;
}
Node* _root = nullptr;
};
对于红黑树来说，其最核心的无疑就是插入和删除函数，这里笔者能力有限，只实现了插入函数。
首先搞个枚举定义红跟黑两种状态，在结点中引入颜色变量，颜色默认为红色。因为要维持对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点 ，所以黑色节点是不会轻易添加的，默认就是添加红结点。
颜色的向上更新
插入函数的插入逻辑的实现与普通二叉搜索树无异，这里不过多赘述，这里重点讲讲颜色的更新方式。首先我们看向下面这张图，
我们在插入红结点时，会遇到这两种情况，一种是父结点为红色，一种是父结点为黑色。当父结点为黑色时，红节点的插入不会破坏任何规则，当父结点为红色时，红结点的插入会破坏如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的规则，这时我们应该怎么办呢？把父结点或者子结点的颜色变成黑色吗？不行，因为要维持对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点的规则，擅自增加黑结点会破坏这种规则，那应该怎么办呢？我们看向下面这张图，
方块就是结点连接的子树，这样这张图就能代表更为普遍的情况。可以看到，当出现连续红结点冲突时，我们应该将父结点与叔叔结点一起变成黑色，再将爷爷结点变成红色，之后我们应该看向爷爷结点的父结点，如果又出现了连续红结点，就应该继续这个过程，向上更新颜色。
上面讲的这种情况是在叔叔结点为红的情况下的做法，但是叔叔结点也可能为黑或者直接不存在，这时就没法直接用变色的套路了。AVL树中我们遇到平衡因子为2或-2时，就表示树不平衡了，需要使用旋转函数，这里也是如此，当父结点为红而叔叔结点为黑或不存在时，就表明父结点所在的子树的高度大于叔叔结点所在子树的高度，因为父结点所在的子树红节点更多，而且由于是一路向上变色而来的，父结点所在的子树就是一红一黑这种最长的排法，所以可以认为此时的红黑树已经是一种不平衡的状态了，以至于无法正常向上变色了，这时我们采取和AVL树一样的做法，那就是动用旋转算法。
旋转算法
单旋算法
红黑树的旋转算法与AVL树的一模一样，但是AVL需要在旋转后改变平衡因子，而红黑树则需要改变结点的颜色，更新策略如下，
这是叔叔结点为黑的情况，如果叔叔节点不存在，根据红黑树的性质，则一定是下面这个样子，
son一定是新插入的结点，这种情况可以与叔叔节点为黑的情况一起处理，都是通用的。当然我这里举例的都是左子树高的情况，把我画的图镜像过来就是右子树高的情况。对于左子树高的情况我们用右旋，右子树高的情况我们用左旋，与AVL树一致，旋转的思路我在介绍AVL树的文章中写过了，这里不过多赘述，直接上代码，
void Lrotation(Node* cur) //左单旋
{
rotation_num++;
Node* parent = cur->_parent;
Node* pparent = parent->_parent;
Node* cur_left = cur->_left;
parent->_right = cur_left; //左右节点更新
cur->_left = parent;
if (cur_left) cur_left->_parent = parent; //父节点的更新
parent->_parent = cur;
cur->_parent = pparent;
if (pparent) //判断是不是空
{
if (pparent->_key > cur->_key) pparent->_left = cur; //父节点的父节点更新
else pparent->_right = cur;
}
else
{
_root = cur; //更新根结点
cur->_parent = nullptr; //解耦
}
//cur->_color = black; //颜色更新
//parent->_color = red;
}
void Rrotation(Node* cur) //右单旋
{
rotation_num++;
Node* parent = cur->_parent;
Node* pparent = parent->_parent;
//Node* son = cur->_left;
Node* cur_right = cur->_right;
parent->_left = cur_right; //左右节点更新
cur->_right = parent;
if (cur_right) cur_right->_parent = parent; //父节点的更新
parent->_parent = cur;
cur->_parent = pparent;
if (pparent) //判断是不是空
{
if (pparent->_key > cur->_key) pparent->_left = cur; //父节点的父节点更新
else pparent->_right = cur;
}
else
{
_root = cur;
cur->_parent = nullptr; //解耦
}
//cur->_color = black; //颜色更新
//parent->_color = red;
}
双旋算法
AVL树中出现折线形时使用单旋函数就不管用了，对于红黑树也是一样，
使用单旋同样就不管用了，
需要使用双旋来解决问题，
双旋算法的思路与AVL也是一致的，这里不过多赘述，双旋完之后注意变色就行，这里因为son结点变成了黑色，所以同样不需要再向上变色了。
void LRrotation(Node* cur)
{
Lrotation(cur->_right);
cur = cur->_parent;
Rrotation(cur);
}
void RLrotation(Node* cur)
{
Rrotation(cur->_left);
cur = cur->_parent;
Lrotation(cur);
}
这样insert函数就完成了，
bool insert(Key k, Value v)
{
if (!_root)
{
_root = new Node(k, v, black);
return true;
}
Node* cur = _root;
Node* parent = nullptr;
while (cur)
{
if (cur->_key == k) return false;
parent = cur;
if (cur->_key > k) cur = cur->_left;
else cur = cur->_right;
}
cur = new Node(k, v, red);
if (parent->_key > cur->_key)
{
parent->_left = cur;
cur->_parent = parent;
}
else
{
parent->_right = cur;
cur->_parent = parent;
}
while (parent)
{
if (parent->_color == black) break;
Node* pparent = parent->_parent;
Node* uncle = nullptr;
if (pparent->_key > parent->_key) uncle = pparent->_right;
else uncle = pparent->_left;
if (!uncle || uncle->_color == black)
{
if (pparent->_key > parent->_key)
{
if (parent->_key > cur->_key)
{
Rrotation(parent);
parent->_color = black;
pparent->_color = red;
}
else
{
LRrotation(parent);
cur->_color = black;
pparent->_color = red;
}
}
else
{
if (parent->_key < cur->_key)
{
Lrotation(parent);
parent->_color = black;
pparent->_color = red;
}
else
{
RLrotation(parent);
cur->_color = black;
pparent->_color = red;
}
}
if (parent == _root) parent->_color = black;
break;
}
else if (uncle->_color == red)
{
uncle->_color = parent->_color = black;
pparent->_color = red;
if (pparent == _root)
{
pparent->_color = black;
break;
}
cur = pparent;
parent = pparent->_parent;
}
}
return true;
}
除了插入函数之外，我还写了一些其他的函数来测试插入函数的正确与否，大家可以用作参考，实现思路较为简单，不做过多赘述。
红黑树与AVL树的对比
红黑树与AVL树都属于自平衡的二叉搜索树，两者都有自己的一套维护手段，但对于平衡的维护方面，红黑树允许最长路径达到最短路径的两倍，而AVL只允许两子树的高度差最多为1，所以AVL毫无疑问在维护平衡方面是比红黑树严格得多的，所以我们可以预见在相同一组随机数据（得足够多，太少可能看不出差异）插入后AVL树一定排的比红黑要满，AVL树的高度也一定比红黑树要低，所以AVL树在插入后的查找效率是比红黑略高的，但是，我们应该明白为了这点查找效率AVL树付出了多少代价，我这里写了一组测试函数，用我写的红黑与AVL放进来测试，我在AVL和红黑中都放了有个记录旋转次数的变量，每调用一次旋转函数，就++这个变量，又写了一个函数递归计算树的高度，
void test()
{
RB_Tree<int, int> x;
AVL_Tree<int, int> y;
for (int i = 0; i < 10000000; ++i)
{
int tmp = rand() % 10000000 + i;
x.insert(tmp, 0);
y.insert(tmp, 0);
}
cout << "RB : " << "旋转次数 : " << x.rotation_num << " 高度 : " << x.Height() << endl;
cout << "AVL : " << "旋转次数 : " << y.rotation_num << " 高度 : " << y.high() << endl;
}
int main()
{
srand(time(NULL));
test();
return 0;
}
我这里用了一组十分可观的数据量，跑出来的结果是，
我们可以看到红黑树的高度比AVL大了7，但是红黑树比AVL少旋转了约74万次，计算机多查找7层眨眼间的工夫就能完成，但多旋转74万次计算机可就要跑好一会了。所以我们可以明白，除非需要极其频繁的查找或需要极致的查找效率，不然AVL为了那点查找效率所付出的代价是得不偿失的。事实上，在实际运用中，红黑的实用性也是远远大于AVL，c++中set和map的底层用的就是红黑而不是AVL，java中的TreeMap也是如此。