量子力学的核心公设与框架
量子态与波函数 (Quantum State & Wave Function):
- 公设: 一个量子系统的状态由一个态矢量（state vector）完全描述。在位置表象下，这个态矢量通常表示为一个复值函数，称为波函数，记作 Ψ(r, t)。其中 r 是位置坐标 (x, y, z)，t 是时间。
- 物理意义: 波函数本身没有直接的经典对应物理量。其模的平方 |Ψ(r, t)|² 具有核心物理意义：
P(**r**, t) = |Ψ(**r**, t)|²
表示在时刻t，在位置 r 处找到该粒子的概率密度。这就是玻恩诠释 (Born Rule)。 - 归一化: 因为粒子必须在空间的某个地方，所以波函数必须满足归一化条件：
∫ |Ψ(**r**, t)|² d³r = 1
积分范围是整个空间。这保证了找到粒子的总概率为 1 (100%)。 - 叠加原理 (Superposition Principle): 如果 Ψ₁ 和 Ψ₂ 是系统可能的状态，那么它们的任意线性组合 Ψ = c₁Ψ₁ + c₂Ψ₂ (其中 c₁, c₂ 是复数，且 |c₁|² + |c₂|² = 1 以保持归一化) 也是系统的一个可能状态。这是量子态区别于经典态的最根本特性之一。粒子可以同时“处于”多个状态的叠加态。
动力学演化 - 薛定谔方程 (Dynamics - Schrödinger Equation):
- 公设: 一个不与外界相互作用的量子系统的态矢量（或波函数）随时间的演化由含时薛定谔方程决定：
iℏ ∂Ψ(**r**, t)/∂t = Ĥ Ψ(**r**, t) - 解释:
i: 虚数单位 (√-1)ℏ(h-bar): 约化普朗克常数 (ℏ = h / 2π, h ≈ 6.626 × 10⁻³⁴ J·s)，是量子效应的基本尺度。∂Ψ/∂t: 波函数对时间的偏导数，描述了波函数随时间的变化率。Ĥ: 哈密顿算符 (Hamiltonian Operator)。它是系统的总能量算符，其具体形式取决于系统的性质（粒子质量、势能场等）。
- 重要性: 薛定谔方程是量子世界的“牛顿第二定律”。给定一个初始时刻的波函数 Ψ(r, 0) 和系统的哈密顿量 Ĥ，原则上可以通过求解这个方程预测未来任何时刻的波函数 Ψ(r, t)，从而知道系统状态随时间的演化。
- 定态薛定谔方程 (Time-Independent Schrödinger Equation): 当系统的哈密顿量 Ĥ 不显含时间时，存在特殊的解，称为定态。定态波函数可以写成一个空间函数和一个时间函数的乘积：
Ψ(**r**, t) = ψ(**r**) * e^(-iEt/ℏ)
其中 ψ(r) 满足定态薛定谔方程：
Ĥ ψ(**r**) = E ψ(**r**)
这是一个本征方程：Ĥ是哈密顿算符（一个作用在函数上的数学操作）。ψ(**r**)是 Ĥ 的本征函数 (Eigenfunction)。E是 Ĥ 的本征值 (Eigenvalue)，具有能量的量纲，对应于系统在该定态下具有的确定总能量。
求解定态薛定谔方程是量子力学解决许多问题（如原子结构）的关键步骤。
- 公设: 一个不与外界相互作用的量子系统的态矢量（或波函数）随时间的演化由含时薛定谔方程决定：