行列式详解：从定义到应用-EW帮帮网

行列式详解：从定义到应用

引言

行列式是线性代数中的核心概念之一，它不仅是矩阵理论的重要组成部分，更是解决线性方程组、计算向量空间体积、判断矩阵可逆性等问题的关键工具。本文将从行列式的基本定义出发，系统地介绍其性质、计算方法和重要应用。

思维导图

mindmap
  root((行列式))
    定义
      二阶行列式
      三阶行列式
      n阶行列式
      余子式和代数余子式
    性质
      转置不变性
      行列交换变号
      线性性质
      乘积性质
    计算方法
      按行列展开
      化上三角矩阵
      利用性质简化
    特殊行列式
      范德蒙德行列式
      对角行列式
      上下三角行列式
    应用
      克拉默法则
      矩阵可逆性判断
      体积计算
      线性相关性判断

1. 行列式的定义

1.1 二阶行列式

最简单的行列式是二阶行列式，定义为：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$

这个公式可以理解为主对角线元素乘积减去副对角线元素乘积。

例如：
$\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{vmatrix} = 3 \times 4 - 2 \times 1 = 12 - 2 = 10$

1.2 三阶行列式

三阶行列式的计算可以使用萨吕斯（Sarrus）法则或按行（列）展开：

$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}$

1.3 余子式和代数余子式

对于n阶行列式中的元素 $a_{ij}$ ：

余子式 $M_{ij}$ ：去掉第i行第j列后得到的 $(n - 1)$ 阶行列式
代数余子式 $A_{ij}$ ： $A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$

1.4 n阶行列式的定义

n阶行列式可以按第i行展开定义为：

$\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}$

或按第j列展开定义为：

$\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}$

2. 行列式的重要性质

2.1 基本性质

转置不变性： $A^T| = |A|$
行列交换变号：交换两行（列），行列式变号
比例性：某一行（列）乘以k，行列式也乘以k
加法性：某一行（列）是两个向量之和，行列式等于两个行列式之和

2.2 重要推论

有零行（列）的行列式等于0
有两行（列）相同的行列式等于0
有两行（列）成比例的行列式等于0
某一行（列）的k倍加到另一行（列），行列式不变

2.3 乘积性质

$∣ A B ∣ = ∣ A ∣∣ B ∣$

这是行列式最重要的性质之一，对于理解矩阵的几何意义具有重要作用。

3. 行列式的计算方法

3.1 按行（列）展开法

这是定义性的计算方法，适用于任意阶数的行列式：

$\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} \quad \text{(按第i行展开)}$

计算技巧：选择零元素最多的行或列进行展开，可以大大简化计算。

3.2 化上三角矩阵法

利用行列式性质，通过行变换将矩阵化为上三角形式，此时行列式等于对角元素的乘积。

步骤：

用行变换将矩阵化为上三角形
记录行变换对行列式的影响
计算对角元素乘积

例子：
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 2 \end{vmatrix}$

通过行变换：
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -5 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \end{vmatrix}$

交换第二、三行（变号）：
$-\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & \frac{5}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & -5 \end{vmatrix} = -2 \times \frac{5}{2} \times (-5) = 25$

3.3 特殊行列式的计算

对角行列式

$\begin{vmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} = a_1a_2\cdots a_n$

范德蒙德行列式

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n}(x_j - x_i)$

4. 行列式的重要应用

4.1 克拉默法则

对于n元线性方程组 $A x = b$ ，当系数矩阵A的行列式 $\neq 0$ 时，方程组有唯一解：

$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$

其中 $A_i$ 是将A的第i列替换为常数列b得到的矩阵。

例子：解方程组
$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + 3y = 8 \end{cases}$

系数矩阵： $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ ， $∣ A ∣ = 6 - 1 = 5$

$\frac{\begin{vmatrix} 5 & 1 \\ 8 & 3 \end{vmatrix}}{5} = \frac{15 - 8}{5} = \frac{7}{5}$

$\frac{\begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 8 \end{vmatrix}}{5} = \frac{16 - 5}{5} = \frac{11}{5}$

4.2 矩阵可逆性判断

方阵A可逆的充要条件是 $\neq 0$ 。这为判断矩阵是否可逆提供了简便方法。

4.3 几何意义

在几何上，行列式具有重要的体积意义：

二阶行列式表示平行四边形的面积
三阶行列式表示平行六面体的体积
n阶行列式表示n维空间中超平行体的"体积"

4.4 线性相关性判断

向量组 $\{\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\}$ 线性相关的充要条件是以这些向量为列的矩阵的行列式等于0。

5. 学习建议和常见误区

5.1 学习建议

掌握基本计算：熟练掌握2阶、3阶行列式的计算
理解几何意义：将行列式与面积、体积联系起来理解
多练习性质应用：利用性质简化计算，避免机械展开
注意符号：行列式计算中符号错误是常见问题

5.2 常见误区

混淆矩阵和行列式：矩阵是数表，行列式是数值
忽视行列式性质：不利用性质直接展开，计算复杂
符号错误：在按行列展开时符号计算错误
几何意义理解不深：仅停留在计算层面，不理解几何背景

结语

行列式作为线性代数的基础概念，不仅具有重要的理论价值，更在实际应用中发挥着关键作用。从简单的二阶行列式到复杂的n阶行列式，从代数计算到几何意义，行列式为我们提供了理解线性关系的强有力工具。

掌握行列式的关键在于：

理解其定义和几何意义
熟练运用各种计算方法
灵活应用行列式性质
在实际问题中正确运用

随着学习的深入，你会发现行列式不仅是计算工具，更是理解线性代数美妙结构的窗口。它连接着代数与几何，抽象与具体，为进一步学习特征值、线性变换等高级概念奠定了坚实基础。

行列式详解：从定义到应用