金融中的线性优化：投资组合分配与求解器 - Part 2

在上一篇文章中，我们探讨了金融中的线性特性。我们隐含地假设线性关系可以解决CAPM和APT定价模型。但如果证券数量增加并出现某些限制时怎么办？如何处理这样一个基于约束的系统？线性优化在这里大放异彩，因为它专注于在给定约束下最小化（如波动率）或最大化（如利润）目标函数。在本文中，我们将探讨线性优化技术如何推动投资组合分配和其他金融决策。我们还将看到Python和开源求解器如CBC如何让这些方法变得易于实现。

线性优化

线性优化通过在给定约束下最大化或最小化目标函数，帮助实现投资组合的最优分配。

示例问题

最大化：$ f(x, y) = 3x + 2y $
约束条件：

• $ 2x + y \leq 100 $
• $ x + y \leq 80 $
• $ x \leq 40 $
• $ x, y \geq 0 $

我们可以使用PuLP（pip install pulp）来解决这个问题。PuLP是一个线性规划库，支持多种优化求解器（如CBC、GLPK、CPLEX、Gurobi等）。其一大优势是可以用数学符号定义优化问题。

例如，定义决策变量：

x = pulp.LpVariable("x", lowBound=0)
y = pulp.LpVariable("y", lowBound=0)

其中x和y称为决策变量，是我们要优化的对象。lowBound=0确保变量非负。实际中，这类变量常用于投资组合权重。

定义优化问题：

problem = pulp.LpProblem("Maximization Problem", pulp.LpMaximize)

pulp.LpMaximize表示我们要最大化目标函数。也可以用pulp.LpMinimize来最小化目标函数。

接下来设置目标函数：

problem += 3*x + 2*y, "Objective Function"

这表示我们要最大化f(x, y) = 3x + 2y。例如，这可以用来最大化收益或利润。

然后添加约束条件：

problem += 2*x + y <= 100, "Constraint 1"
problem += x + y <= 80, "Constraint 2"
problem += x <= 40, "Constraint 3"

这意味着两个资产的权重之和必须小于等于100，且权重之和还要小于等于80。我们还可以添加更多约束。

最后调用.solve()来求解问题：

problem.solve()

整合如下：

problem += 3*x + 2*y, "Objective Function"
problem += 2*x + y <= 100, "Constraint 1"
problem += x + y <= 80, "Constraint 2"
problem += x <= 40, "Constraint 3"

定义完整问题：

# Python实现
import pulp

# 定义变量
x = pulp.LpVariable("x", lowBound=0)
y = pulp.LpVariable("y", lowBound=0)

# 定义问题
problem = pulp.LpProblem("Maximization Problem", pulp.LpMaximize)
problem += 3*x + 2*y, "Objective Function"
problem += 2*x + y <= 100, "Constraint 1"
problem += x + y <= 80,</